Teoría de conxuntos

Hipótesis del continuu. La coleición de tolos conxuntos de númberos naturales P(N) tien la llamada potencia del continuu: tantos les funciones como (por casu) puntos nuna recta. El so estudiu ye unu de los principales problemes na teoría de conxuntos.

La teoría de conxuntos ye una caña de les matemátiques qu'estudia les propiedaes y rellaciones de los conxuntos: coleiciones astractes d'oxetos, consideraes como oxetos en sí mesmes. Los conxuntos y les sos operaciones más elementales son una ferramienta básico na formulación de cualquier teoría matemática.

Sicasí, la teoría de los conxuntos ye lo suficientemente rica como pa construyir el restu d'oxetos y estructures d'interés en matemátiques: númberos, funciones, figures xeométriques,...; y xunto cola lóxica dexa estudiar los fundamentos d'aquella. Na actualidá acéptase que'l conxuntu d'axomes de la teoría de Zermelo-Fraenkel ye abonda pa desenvolver tola matemática.

Amás, la mesma teoría de conxuntos ye oxetu d'estudiu per se, non yá como ferramienta auxiliar. Nesta disciplina ye habitual que se presenten casos de propiedaes indemostrables o contradictories, como la hipótesis del continuu o la esistencia d'un cardinal inaccesible. Por esta razón, los sos razonamientos y téuniques sofitar en gran midida na lóxica.

El desenvolvimientu históricu de la teoría de conxuntos atribuyir a Georg Cantor, qu'empezó a investigar cuestiones conjuntistas «pures» del infinitu na segunda metá del sieglu XIX, precedíu por delles idees de Bernhard Bolzano ya influyíu por Richard Dedekind. El descubrimientu de les paradoxes de la teoría cantoriana, de conxuntos, formalizada por Gottlob Frege, favoreció los trabayos de Bertrand Russell, Ernst Zermelo, Abraham Fraenkel y otros a principios del sieglu XX.

Teoría básica de conxuntos

Plantía:AP La teoría de conxuntos más elemental ye una de les ferramientes básiques del llinguaxe matemáticu. Daos unos elementos, unos oxetos matemáticos como númberos o polígonos por casu, puede imaxinase una coleición determinada d'estos oxetos, un conxuntu. Cada unu d'estos elementos pertenecen al conxuntu, y esta noción de pertenencia ye la rellación relativa a conxuntos más básica. Los mesmos conxuntos pueden imaxinase de la mesma como elementos d'otros conxuntos. La pertenencia d'un elementu Plantía:Math a un conxuntu Plantía:Math indícase como Plantía:Math.

Una rellación ente conxuntos derivada de la rellación de pertenencia ye la rellación d'inclusión. Una subcolección d'elementos Plantía:Math d'un conxuntu dau Plantía:Math ye un subconxuntu de Plantía:Math, ya indícase como Plantía:Math.

Exemplos.

• Los conxuntos numbéricos avezaos en matemátiques son: el conxuntu de los númberos naturales Plantía:Math, el de los númberos enteros Plantía:Math, el de los númberos racionales Plantía:Math, el de los númberos reales Plantía:Math y el de los númberos complexos Plantía:Math. Cada unu ye subconxuntu del siguiente:

• El espaciu tridimensional Plantía:Math ye un conxuntu d'oxetos elementales denominaos puntos Plantía:Math, Plantía:Math. Les rectes Plantía:Math y planos Plantía:Math son conxuntos de puntos de la mesma, y en particular son subconxuntos de Plantía:Math, Plantía:Math y Plantía:Math.

Álxebra de conxuntos

Plantía:AP Esisten unes operaciones básiques que dexen manipoliar los conxuntos y los sos elementos, similares a les operaciones aritmétiques, constituyendo la álxebra de conxuntos:

• Unión. La unión de dos conxuntos Plantía:Math y Plantía:Math ye'l conxuntu Plantía:Math que contién cada elementu que ta a lo menos n'unu d'ellos.
• Interseición. La interseición de dos conxuntos Plantía:Math y Plantía:Math ye'l conxuntu Plantía:Math que contién tolos elementos comunes de Plantía:Math y Plantía:Math.
• Diferencia. La estrema ente dos conxuntos Plantía:Math y Plantía:Math ye'l conxuntu Plantía:Math que contién tolos elementos de Plantía:Math que nun pertenecen a Plantía:Math.
• Complementu. El complementu d'un conxuntu Plantía:Math ye'l conxuntu Plantía:Math que contién tolos elementos (respectu de dalgún conxuntu referencial) que nun pertenecen a Plantía:Math.

• Diferencia simétrica La diferencia simétrica de dos conxuntos Plantía:Math y Plantía:Math ye'l conxuntu Plantía:Math con tolos elementos que pertenecen, o bien a Plantía:Math, o bien a Plantía:Math, pero non a dambos al empar.
• Productu cartesianu. El productu cartesianu de dos conxuntos Plantía:Math y Plantía:Math ye'l conxuntu Plantía:Math que contién tolos pares ordenaos Plantía:Math que'l so primer elementu Plantía:Math pertenez a Plantía:Math y el so segundu elementu Plantía:Math pertenez a Plantía:Math.

Teoría axomática de conxuntos

La teoría informal de conxuntos apela a la intuición pa determinar cómo se porten los conxuntos. Sicasí, ye senciellu plantegar cuestiones alrodiu de les propiedaes d'estos que lleven a contradicción si razonar d'esta manera, como la famosa paradoxa de Russell. Históricamente ésta foi una de les razones pal desenvolvimientu de les teoríes axomátiques de conxuntos, siendo otra l'interés en determinar esautamente qué enunciaos alrodiu de los conxuntos precisen que s'asuma'l polémicu axoma d'elección pa ser demostraos.

Les teoríes axomátiques de conxuntos son coleiciones precises d'axomes escoyíos pa poder derivar toles propiedaes de los conxuntos col suficiente rigor matemático. Dellos exemplos conocíos son:

• La teoría de conxuntos de Zermelo-Fraenkel
• La teoría de conxuntos de Neumann-Bernays-Gödel
• La teoría de conxuntos de Morse-Kelley

Ver tamién

• Álxebra de conxuntos
• Conxuntu
• Equipotencia de conxuntos
• Teoría de grupos

Bibliografía

• Plantía:Enllaz rotu.
• Plantía:Cita web{ INGLISH}