Operación binaria

Esquema d'una operación binaria.

Defínese como operación binaria (o llei de composición)​ aquella operación matemática, que precisa de l'operador y dos operandos (argumentos) por el que calculese un valor.

Formalmente, daos trés conxuntos A, B y C una operación binaria productu, representando la operación pol signu ∘ , ye una aplicación qu'asigna a cada par de valores a de A y b de B un solu valor c de C, que podemos representar:

$\begin{array}{cccc}\circ :& A\times B& ⟶& C\\ & (a,b)& ⟼& c\end{array}$

En particular, A, B y C podríen ser el mesmu conxuntu, que denotamos A. Polo tanto, una operación binaria nel conxuntu A ye una aplicación d'elementos del productu cartesianu A×A na A.

Esisten dos tipos d'operaciones binaries, les operaciones binaries internes y les operaciones binaries esternes.

Notación

Una operación binaria ∘ ente dos elementos, a y b, de dos conxuntos, A y B, puede denotase por:

$a\circ b=c,\circ (a,b)=c,(a,b)\stackrel{\circ }{\to }c$

siendo la primera la más común.

Exemplu d'operación binaria

La suma (+) de númberos naturales ye un exemplu d'operación binaria interna nel conxunto $N$.

$\begin{array}{cccc}+:& N\times N& ⟶& N\\ & (a,b)& ⟼& c=a+b\end{array}$

y tenemos que:

$2+3=5,+(2,3)=5,(2,3)\stackrel{+}{\to }5$

Tipos

Según los conxuntos A, B y C podemos estremar dos tipos d'operaciones, les internes nes qu'A = B = C, y les esternes que son toles demás. Denomínase Llei de Composición a un subtipo d'operación binaria.

Esquema de les tipos d'operaciones binaries en castellanu

Operación binaria interna

Si a cada par de valores (a, b) de $A$ la operación correspuéndelu a un valor c de A:

$\begin{array}{cccc}⊛:& A\times A& ⟶& A\\ & (a,b)& ⟼& c=a⊛b\end{array}$

dizse qu'esta operación ye interna, tamién se llama llei de composición interna.

Operación binaria esterna

Si la operación nun ye interna entós ye esterna, pudiéndose presentar los siguientes casos:

• Si a cada par de valores a de A y b de B, asígnase-y un valor c de A,

$\begin{array}{cccc}\star :& A\times B& ⟶& A\\ & (a,b)& ⟼& c=a\star b\end{array}$

a esta operación tamién se denomina llei de composición esterna.

• Si la operación ye de la forma:

$\begin{array}{cccc}\star :& A\times A& ⟶& B\\ & (a,b)& ⟼& c=a\star b\end{array}$

na qu'a cada par de valores a, b de A asígnase-y un c de B, esta operación nun se denomina llei de composición.

• Si la operación asigna a cada par de valores a de A y b de B un c de C, siendo A, B y C conxuntos distintos:

$\begin{array}{cccc}\star :& A\times B& ⟶& C\\ & (a,b)& ⟼& c=a\star b\end{array}$

ye'l casu más xeneral, y tampoco se denomina llei de composición.

Propiedaes d'una operación binaria

Dáu un conxuntu A non vacíu y definida una aplicación de $A\times A$ sobre A, onde a cada par ordenáu (a,b) asígnase-y un valor c de A, que representamos: $(A,\odot )$

$\begin{array}{cccc}\odot :& A\times A& ⟶& A\\ & (a,b)& ⟼& c=a\odot b\end{array}$

Puede tener les siguientes propiedaes:

Conmutatividá

Plantía:AP Dizse que $\odot$ tien la propiedá conmutativa na A si cumplese:

$\mathrm{\forall }a,b\in A:a\odot b=b\odot a$

Para tou a, b de A, cumplese que la resultancia d'operar a con b ye igual al d'operar b con a.

De la mesma podemos dicir que la llei de composición interna $\odot$, nun ye conmutativa na A si:

$\mathrm{\exists }a,b\in A:a\odot b\ne b\odot a$

Si esiste dalgún a, b na A, que cumple que la resultancia d'operar a con b ye distintu d'operar b con a.

Anticonmutatividá

La operación $\odot$ en A ye anticonmutativa si:

$\mathrm{\forall }a,b\in A:a\odot b=-(b\odot a)$

Para tou a, b de A, cúmplese que la resultancia d'operar a con b ye igual al opuestu d'operar b con a.

Asociatividá

Plantía:AP Dizse que $(A,\odot )$ ye asociativa si, solu si:

$\mathrm{\forall }a,b,c\in A:(a\odot b)\odot c=a\odot (b\odot c)$

Para tou a, b, c de A cumplese qu'operando a con b y la resultancia con c ye igual a operar a cola resultancia d'operar b con c.

Tamién puede dicise que la operación $\odot$ nun ye asociativa si cumplese:

$\mathrm{\exists }a,b,c\in A:(a\odot b)\odot c\ne a\odot (b\odot c)$

Esisten a, b, c na A que cumplen qu'operando a con b y la resultancia con c ye distintu d'operar a cola resultancia d'operar b con c.

Propiedaes de dos operaciones binaries

Dáu un conxuntu A non vacíu y definíes dos aplicación d'A por A sobre A, onde a cada par ordenáu (a,b) asígnase-y cola operación $\odot$ un valor c de A y con la operación $⊚$ el valor d de A que representamos: $(A,\odot ,⊚)$.

$\begin{array}{cccc}\odot :& A\times A& ⟶& A\\ & (a,b)& ⟼& c=a\odot b\end{array}\begin{array}{cccc}⊚:& A\times A& ⟶& A\\ & (a,b)& ⟼& d=a⊚b\end{array}$

Pueden tener les siguientes propiedaes:

Distributividá

Plantía:AP Dizse qu'una operación binaria ye distributiva si y solu si ye distributiva pela esquierda y pela derecha.

Distributividá pela esquierda

Dizse que la operación $\odot$ ye distributiva pela esquierda de $⊚$ si cumplese:

$\mathrm{\forall }a,b,c\in A:a\odot (b⊚c)=(a\odot b)⊚(a\odot c)$

Distributividá pela derecha

Dizse que la operación $\odot$ ye distributiva pela derecha de $\circ$ si cumplse:

$\mathrm{\forall }a,b,c\in A:(a⊚b)\odot c=(a\odot c)⊚(b\odot c)$

Elementos distinguidos

Elementu neutru

Plantía:AP Un elemento e ye elementu neutru en $(A,\odot )$ si ye elementu neutru pela derecha y pela esquierda.

$\mathrm{\forall }a\in A,\mathrm{\exists }e\in A:e\odot a=a\odot e=a$

Elementu neutru pela derecha

Vamos dicir que l'elementu e, ye l'elementu neutru pela derecha si:

$\mathrm{\forall }a\in A,\mathrm{\exists }e\in A:e\odot a=a$

Elementu neutru pela esquierda

Vamos dicir que l'elementu e, ye l'elementu neutru pela esquierda si:

$\mathrm{\forall }a\in A,\mathrm{\exists }e\in A:a\odot e=a$

Unicidá del elementu neutru

El elementu neutru ye únicu. Demuestrase por reducción al absurdo. Vamos suponer que esisten dos elementos neutros, e y e'.

• Por ser e l'elementu neutro, pa to tou a cumplese que e$\odot$a=a.
• Por ser e' l'elemtu neutru, pa tou a cumplese que e'$\odot$a=a.

Polo tanto, e$\odot$a=e'$\odot$a y ye claru que e=e'.

Elementu simétricu

Plantía:AP Dizse que $\bar{a}$ ye simétricu de $a$ si:

$\bar{a}\odot a=a\odot \bar{a}=e$

onde e ye l'elementu neutru.

Elementu involutivu

Dizse que $d\in A$ ye elementu involutivu si:

$d\odot d=d$

Elementu absorbente

Plantía:AP Dizse que $s\in A$ ye elementu absorbente si:

$\mathrm{\forall }a\in A:s\odot a=a\odot s=s$

Operación inversa

Sía A un conxuntu con una operación binaria $(a,\odot )$:

$\begin{array}{cccc}\odot :& A\times A& ⟶& A\\ & (a,b)& ⟼& c=a\odot b\end{array}$

polo que quepe la ecuación:

$\mathrm{\forall }a,b\in A,\mathrm{\exists }c\in A:a\odot b=c$

Si:

$a\odot b=c$

Si A almite elementos simétricos, defínese:

$a\odot b\odot \bar{b}=c\odot \bar{b}$

Arrexuntando:

$a\odot (b\odot \bar{b})=c\odot \bar{b}$

onde e ye l'elementu neutru:

$a\odot e=c\odot \bar{b}$

simplificando:

$a=c\odot \bar{b}$

La operación inversa seria $\bar{\odot }$

$a=c\bar{\odot }b$

Otres propiedaes

Simplificación o cancelativa

Sía A cola operación  si ab =ac implica que b=c, dizse que se simplificó a pela esquierda. Y si de ba =ca deduzse b=c y dizse que se simplificó pela derecha. Si puede simplificase per dambos llaos falase de simplificación o cancelación.

Divisores del cero

Sía'l conxuntu A y l'operación * , siendo a ≠ 0, b≠ 0 deduzse qu'ab = 0 , dizse qu'a y b son divisores del 0.

Ver tamién

• Otres operaciones:
  • Operación nularia
  • Operación unaria
  • Operación ternaria

Enllaces esternos

• Operaciones binarias por Jose Ignacio Farran Martin (Universidá de Valladolid)
• Estructuras Algebraicas por Aldo Jiménez Arteaga (Universidá Veracruzana)