Númberu natural

De testwiki
Saltar a navegación Saltar a la gueta

Plantía:Ficha xenérica

Los númberos naturales pueden usase pa cuntar (una mazana, dos manzanes, tres manzanes, …).

En matemátiques, un númberu natural ye cualesquier de los númberos que s'usen para cuntar los elementos de ciertos conxuntos,[1][2] como tamién n'operaciones elementales de cálculu. Son aquellos númberos naturales que sirven pa cuntar elementos polo que son enteros por casu: 1,2,3,4,5,6,7,8,9...∞ Por definición convencional va dicise que cualquier miembru del siguiente conxuntu, ℕ = {1, 2, 3, 4, …}, ye un númberu natural.[2] De dos númberos vecinos cualesquier, el que s'atopa a la derecha llámase siguiente o socesivu,[3] polo que'l conxuntu de los númberos naturales ye ordenáu ya infinitu.

El conxuntu de tolos númberos naturales iguales o menores que ciertu númberu natural k, esto ye, el conxuntu {1,2,…,k−1,k}, llámase segmentu d'una socesión natural y se denota |1,k| o bien [k].[3]

Convenios de notación

Yá que los númberos naturales utilizar pa cuntar elementos, el cero puede considerase'l númberu que correspuende a l'ausencia de los mesmos; dependiendo del área de la ciencia, el conxuntu de los númberos naturales puede presentase entós de dos maneres distintes: Plantía:Definición onde la Plantía:Unicode de natural suelse escribir en "negrina de cayuela".

Históricamente l'usu del cero como numberal foi introducíu n'Europa nel sieglu XII. Esto nun quier dicir qu'antes non s'utilizara'l númberu cero como numberal, yá que cola invención del sistema de numberación Hindi (na India) incluyóse'l númberu cero como numberal. Col tiempu, esti sistema de numberación tamién foi usáu polos árabes; d'esti fechu vien que pasara de llamase sistema de numberación Hindi a denominase sistema de numberación arábigu-índicu. Cola conquista musulmana de la península ibérica nel sieglu XII, el sistema de numberación arábigu-índicu empezó a usase n'Europa y pasó a llamase sistema de numberación arábigu-índicu occidental o sistema de numberación decimal, que inclúi'l cero como numberal, pero aun así nun se consideraba a esti como un númberu natural.

Sicasí, col desenvolvimientu de la teoría de conxuntos nel sieglu XIX, el cero incluyir nes definiciones conjuntistas de los númberos naturales. Esta convención prevalez en dicha disciplina,[4] y otres, como la teoría de la computación.[5] En particular, l'estándar DIN 5473 adopta esta definición.[5] Sicasí, na actualidá dambos convenios conviven.[6]

Pa estremar dambes definiciones dacuando introdúcense símbolos distintos. Por casu, si nun s'inclúi'l cero nos naturales, al conxuntu de los númberos naturales ensin el cero llamar conxuntu de los enteros positivos y se lo denota como Plantía:Math. Alternativamente tamién s'utiliza Plantía:Math}.[7]

Otra manera, cuando'l 0 considérase un númberu natural (cosa que ye conveniente, por casu, en divisibilidad y teoría de númberos), al conxuntu de los naturales col cero llamar conxuntu de los númberos cardinales y se lo denota Plantía:Math.

Historia

Primero que surdieren los númberos naturales pa la representación de cantidaes, l'home usó otros métodos pa cuntar, utilizando pa ello oxetos como piedres, palitos de madera, nuedos de cuerdes, o a cencielles los deos (ver sistema de numberación unario). Más palantre empezaron a apaecer los símbolos gráficos como señales pa cuntar, por casu marques nuna vara o a cencielles trazos específicos sobre'l sable (vease güesu d'Ishango). Pero foi en Mesopotamia alredor del añu 4000 e. C. onde apaecen les primeres muertes de los númberos que consistieron en grabaos de señales en forma de cuñas sobre pequeños tableros de magre emplegando pa ello un palito aguyáu. D'equí'l nome d'escritura cuneiforme. Esti sistema de numberación foi adoptáu más tarde, anque con símbolos gráficos distintos, na Grecia Antigua y na Antigua Roma. Na Grecia antigua emplegábense a cencielles les lletres de la so alfabetu, ente que na antigua Roma, amás de les lletres, utilizáronse dellos símbolos.

Quien asitió al conxuntu de los númberos naturales sobre lo qu'empezaba a ser una base sólida,foi Richard Dedekind nel sieglu XIX. Esti derivar d'una serie de postulaos (lo qu'implicaba que la esistencia del conxuntu de númberos naturales dar por cierta), que dempués precisó Peano dientro d'una lóxica de segundu orde, resultando asina los famosos cinco postulaos que lleven el so nome. Frege foi cimeru a dambos, demostrando la esistencia del sistema de númberos naturales partiendo de principios más fuertes. Lamentablemente la teoría de Frege perdió, por dicir, la so credibilidá, y hubo que buscar un nuevu métodu. Foi Zermelo quien demostró la esistencia del conxuntu de númberos naturales, dientro de la so teoría de conxuntos y principalmente por aciu l'usu del axoma de infinitud, que, con un cambéu d'esti fecha por Adolf Fraenkel, dexa construyir el conxuntu de númberos naturales como ordinales según von Neumann.

Delles carauterístiques de los númberos naturales son:

  1. Tou númberu mayor que 1 (o mayor que 0 en casu de considerar el 0 como natural) va dempués d'otru númberu natural.
  2. Ente dos númberos naturales siempres hai un númberu finito de naturales (interpretación de conxuntu non trupu).
  3. Dau un númberu natural cualesquier, siempres esiste otru natural mayor qu'esti (interpretación de conxuntu infinitu).
  4. Ente'l númberu natural a y el so socesor a+1 nun esiste nengún númberu natural.

Construcciones axomátiques

Históricamente, realizáronse propuestes pa axiomatizar la noción habitual de númberos naturales, d'ente les que destaquen les de Peano y la construcción a partir de la teoría de conxuntos.

Axomes de Peano

Plantía:AP

  • Si n ye un númberu natural, entós el socesor de n tamién ye un númberu natural.
  • El 1 nun ye'l socesor de nengún númberu natural.
  • Si hai dos númberos naturales n y m col mesmu socesor, entós n y m son el mesmu númberu natural.
  • Si'l 1 pertenez a un conxuntu de númberos A, y amás siempres se verifica que: dau un númberu natural cualesquier que tea en A, el so socesor tamién pertenez a A; entós A contién al conxuntu de tolos númberos naturales. Este ye l'axoma d'inducción, que prinda la idea d'inducción matemática.

Versión de Bush-Obreanu

El sistema de Peano foi simplificáu.[8]

Definición en teoría de conxuntos

En teoría de conxuntos definir al conxuntu de los númberos naturales como'l mínimu conxuntu que ye inductivu. La idea ye que pueda cuntase faciendo una biyección dende un númberu natural hasta'l conxuntu d'oxetos que quier cuntase. Esto ye, pa dar la definición de númberu 2, ríquese dar un exemplu d'un conxuntu que contenga precisamente dos elementos. Esta definición foi apurrida por Bertrand Russell, y más tarde simplificada por Von Neumann quien propunxo que'l candidatu pa 2 fuera'l conxuntu que contién solo a 1 y a 0.

Formalmente, un conxuntu Plantía:Math dizse que ye un númberu natural si cumple # Pa cada Plantía:Math, Plantía:Math

  1. La rellación Plantía:Math} ye un orde total estrictu en Plantía:Math
  2. Tou subconxuntu non vacíu de Plantía:Math tien elementos mínimu y máximu nel orde Plantía:Math

Inténtase pos, definir un conxuntu de númberos naturales onde cada elementu respete les convenciones anteriores. Primero búscase un conxuntu que sía'l representante del Plantía:Math, lo cual ye fácil yá que sabemos que Plantía:Math nun contién elementos. Depués defínense los siguientes elementos d'una manera atélite col usu del conceutu de socesor.

Definir según Halmos- entós que'l conxuntu vacíu ye un númberu natural que se denota por Plantía:Math y que cada númberu natural Plantía:Math tien un socesor denotado como Plantía:Math. Estes idees queden formalizaes por aciu les siguientes espresiones:

Plantía:Math
Plantía:Math}

D'esta manera, cada elementu de dalgún númberu natural ye un númberu natural; esto ye, un antecesor d'él. Por casu:

Plantía:Math
Plantía:Math
Plantía:Math
⋮

Esto dexa establecer una rellación d'orde ente los elementos del conxuntu a pesar de qu'un conxuntu ye por naturaleza un agregáu d'elementos desordenaos. Defínese esta rellación por aciu la espresión:

Plantía:Math

ye dicir qu'un númberu Plantía:Math ye menor o igual que Plantía:Math si y solu si Plantía:Math contién a tolos elementos de Plantía:Math.

Tamién puede usase otra definición más inmediata a partir del fechu de que cada númberu natural consta de los sos antecesores. Asina Plantía:Math si y solu si Plantía:Math.

Esa ye la construcción formal de los naturales que garantiza la so esistencia como conxuntu a la lluz del desenvolvimientu axomáticu Zermelo-Fraenkel. El postuláu de los conxuntos infinitos asegura la validez de la téunica de demostración conocida como inducción matemática.

Un teorema demuestra que cualquier conxuntu que sía inductivu contién a tolos númberos naturales, ye dicir que si Plantía:Math ye un conxuntu inductivu, entós Plantía:Math. Esto significa que, n'efeutu, Plantía:Math ye'l mínimu conxuntu inductivu.

Defínese la suma por inducción por aciu:

Plantía:Math
Plantía:Math

Lo que convierte a los númberos naturales Plantía:Math nun monoide conmutativu con elementu neutru 0, el llamáu Monoide Llibre con un xenerador. Esti monoide satisfai la propiedá cancelativa y polo tanto puede incluyise nun grupu matemáticu. El menor grupu que contién a los naturales ye'l de los númberos enteros.

De manera análoga, la multiplicación × definir por aciu les espresiones:

Plantía:Math
Plantía:Math

Esto convierte Plantía:Math (esto ye, ℕ con esta nueva operación), nun monoide conmutativu.

Otra forma de construcción de Plantía:Unicode ye la siguiente: Sía ℱ la clase de tolos conxuntos y vamos definir una rellación binaria Plantía:Math "ser equipotente" de la siguiente manera: Daos Plantía:Math y Plantía:Math dizse qu'A R B ↔ Esiste una aplicación biyectiva de Plantía:Math sobre Plantía:Math, esto ye, esiste Plantía:Math biyectiva. Claramente puede demostrase qu'esta rellación verifica les propiedaes reflexiva, simétrica y transitiva depués ye una rellación d'equivalencia al conxuntu cociente Plantía:Math} vamos llamar cardinales y a los cardinales finitos va llamáse-yos númberos naturales.Les operaciones de suma y productu de cardinales defínense como'l cardinal de la unión y el productu cartesianu de los conxuntos representantes y verifica toles propiedaes por que Plantía:Math sía un semianillo conmutativu y unitariu.

Operaciones colos númberos naturales

Les operaciones matemátiques que se definen nel conxuntu de los númberos naturales son la suma , la multiplicación y la división.

La suma y la multiplicación de númberos naturales son operaciones conmutatives y asociatives, esto ye:

  • Pa sumar —o multiplicar— trés o más númberos naturales, nun fai falta arrexuntar los númberos d'una manera específica yá que Plantía:Math (propiedá asociativa). Esto ye lo que da sentíu a espresiones como Plantía:Math.

Al construyir la operación de multiplicación de númberos naturales, puede reparase claramente que la adición o suma y la multiplicación son operaciones compatibles, pos la multiplicación sería una adición de cantidaes iguales y gracies a esta compatibilidá puede desenvolvese la propiedá distributiva, que s'espresa de la forma:

Plantía:Math

Aparte, estos dos operaciones cumplen coles propiedaes de:

Propiedaes de los númberos naturales

Los númberos naturales tán totalmente ordenaos. La rellación d'orde Plantía:Math puede redefinise asina: Plantía:Math si y solu si esiste otru númberu natural Plantía:Math que cumple Plantía:Math. Esti orde ye compatible con toles operaciones aritmétiques yá que si Plantía:Math, Plantía:Math y Plantía:Math son númberos naturales y Plantía:Math, entós cumplir:

Plantía:Math
Plantía:Math

Una propiedá importante del conxuntu de los númberos naturales ye que ye un conxuntu bien ordenáu

  1. Pa cualquier elementu Plantía:Math de Plantía:Math esisti Plantía:Math en Plantía:Math tal que Plantía:Math

Nos númberos naturales esiste'l algoritmu de la división. Daos dos númberos naturales Plantía:Math y Plantía:Math, si Plantía:Math, podemos atopar otros dos númberos naturales Plantía:Math y Plantía:Math, denominaos cociente y restu respeutivamente, tales que:

Plantía:Math y Plantía:Math

Los númberos Plantía:Math y Plantía:Math tán unívocamente determinaos por Plantía:Math y Plantía:Math.

Otres propiedaes más complexes de los númberos naturales, como la distribución de los númberos primos por casu, son estudiaes pola teoría de númberos.

Rellación d'orde La rellación

socesor da-y una estructura d'orde.[9]

Conceutos globales y d'estructura

Usu de los númberos naturales

Los númberos naturales, son usaos pa dos propósitos fundamentalmente: pa describir la posición d'un elementu nuna secuencia ordenada, como se xeneraliza col conceutu de númberu ordinal, y p'especificar el tamañu d'un conxuntu finito, que de la mesma se xeneraliza nel conceutu de númberu cardinal (teoría de conxuntos). Nel mundu de lo finito, dambos conceutos son coincidentes: los ordinales finitos son iguales a Plantía:Math según los cardinales finitos. Cuando movemos más allá de lo finito, dambos conceutos son distintos.

Plantía:Math.

Sustracción o resta con númberos naturales

Asumir que Plantía:Math} y sía Plantía:Math}, sía Plantía:Math una aplicación de Plantía:Math en Plantía:Math, tal que Plantía:Math, onde Plantía:Math tán en Plantía:Math y Plantía:Math ta en Plantía:Math. A l'aplicación Plantía:Math de Plantía:Math sobre Plantía:Math llámase sustracción o resta en Plantía:Math. La diferencia Plantía:Math, solo ye posible nel casu que Plantía:Math.

Proposiciones

Observación

  1. Una operación en Plantía:Math definen dellos matemáticos como una aplicación de Plantía:Math en Plantía:Math. Si acepta esto, la sustracción nun ye una operación nel conxuntu de los naturales.[14]
  2. Si define una aplicación en Plantía:Math, parte mesma de Plantía:Math, en Plantía:Math tal aplicación llámase operación parcialmente definida en Plantía:Math. Almitíu lo anterior, la sustracción ye una operación parcialmente definida nos númberos naturales.[15]

Topologización de N

Nel conxuntu Plantía:Math de los naturales cabo la topoloxía discreta y la cofinita, tamién dalguna topoloxía d'orde.[16]

Principiu de permanencia

Ye un teorema venceyáu al sistema de los númberos naturales y les sos ampliaciones aplicativas. Esta proposición espresa que les propiedaes de cálculu avezaos pa los númberos naturales, tamién son llexítimes pa los númberos estructurados por aciu operaciones inverses. Como exemplu: según el principiu de permanencia, les propiedaes de la potenciación siguen válides entá nel casu de númberos con esponentes fraccionarios.

  • (ab)5 = a⁵b⁵ ⇒ (ab)2/3 = a2/3 b2/3 ente otres lleis de la potenciación.[17]

Ver tamién

Referencies

Plantía:Llistaref

Bibliografía

Enllaces esternos

Plantía:Wikcionariu


Plantía:TradubotPlantía:Control d'autoridaes

  1. ↑ Por casu, los elementos del intervalu abiertu <0; 1> non pueden cuntase
  2. ↑ 2,0 2,1 Plantía:Cita llibru
  3. ↑ 3,0 3,1 Tsipkin, A. G. Manual de Matemátiques, Edirorial Mir, Moscú (1985), traducción de T. I. Shopovalova
  4. ↑ Veanse testos como Plantía:Cita llibru Plantía:Cita llibru o Plantía:Cita llibru
  5. ↑ 5,0 5,1 Vease Plantía:Harvsp.
  6. ↑ Vease Plantía:Cita web
  7. ↑ Plantía:Cita llibru, p. 27.
  8. ↑ Tal como se presenta na 'discutiniu' d'esti artículu
  9. ↑ Consultar en discutiniu d'artículu
  10. ↑ Rojas: "Algebra I"
  11. ↑ Munkres: "Topoloxía" 2ª edición
  12. ↑ Haaser: "Analís real"
  13. ↑ "Conceutu de númberu" (1970) Trejo, César, publicación de la OEA; Universidá Nacional de Buenos Aires
  14. ↑ Ayres: Álxebra mooderna, compendiu Schaumm
  15. ↑ Carranza: Álxebra, Studium, Lima,1973
  16. ↑ Munkres: Topoloxía ISBN 978-84-205-3180-9
  17. ↑ Diccionarios RIODUERO. Matemática. ISBN 84-220-0832-7
Sacáu de «https://ast.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=Númberu_natural&oldid=802»