Conxuntu

Plantía:Ficha xenérica En matemátiques, un conxuntu ye una coleición d'elementos considerada en sí mesma como un oxetu. Los elementos d'un conxuntu, pueden ser les siguientes: persones, númberos, colores, lletres, figures, etc. Dizse qu'un elementu (o miembru) pertenez al conxuntu si ta definíu como incluyíu de dalguna manera dientro d'él.

Exemplu: el conxuntu de los colores del arcu la vieya ye:

Plantía:Math

Un conxuntu suel definise por aciu una propiedá que tolos sos elementos tienen. Por casu, pa los númberos naturales, si considérase la propiedá de ser un númberu primu, el conxuntu de los númberos primos ye:

Plantía:Math

Un conxuntu queda definíu namái polos sos miembros y por namás. En particular, un conxuntu puede escribise como una llista d'elementos, pero camudar l'orde de dicha llista o añader elementos repitíos nun define un conxuntu nuevu. Por casu:

Plantía:Math

Los conxuntos pueden ser finitos o infinitos. El conxuntu de los númberos naturales ye infinitu, pero'l conxuntu de los planetes nel Sistema Solar ye finito (tien ocho elementos). Amás, los conxuntos pueden combinase por aciu operaciones, de manera similar a les operaciones con númberos.

Los conxuntos son un conceutu primitivu, nel sentíu de que nun ye posible definilos en términos de nociones más elementales, polo que'l so estudiu puede realizase de manera informal, apelando a la intuición y a la lóxica. Per otru llau, son el conceutu fundamental de la matemática: por aciu ellos puede formulase'l restu d'oxetos matemáticos, como los númberos y les funciones, ente otros. El so estudiu detalláu riqui pos la introducción d'axomes y conduz a la teoría de conxuntos.

Historia

El conceutu de conxuntu como oxetu astractu nun empezó a emplegase en matemátiques hasta'l sieglu XIX, a midida que estenábense les duldes sobre la noción d'infinitu.^[1] Los trabayos de Bernard Bolzano y Bernhard Riemann yá conteníen idees rellacionaes con una visión conjuntista de la matemática. Les contribuciones de Richard Dedekind a la álxebra taben formulaes en términos claramente conjuntistas, qu'entá prevalecen na matemática moderna: rellaciones d'equivalencia, particiones, homomorfismos, etc., y él mesmu explicitó les hipótesis y operaciones relatives a conxuntos que precisó nel so trabayu.

La teoría de conxuntos como disciplina independiente atribúyese usualmente a Georg Cantor el gran creador de les matematicas. Empezando coles sos investigaciones sobre conxuntos numbéricos, desenvolvió un estudiu sobre los conxuntos infinitos y les sos propiedaes. La influencia de Dedekind y Cantor empezó a ser determinante a finales del sieglu XIX, nel procesu de «axiomatización» de la matemática, nel que tolos oxetos matemáticos, como los númberos, les funciones y les diverses estructures, fueron construyíos con base nos conxuntos.

Definición

Plantía:Caxa de cita

Un conxuntu ye una coleición bien definida d'oxetos, entendiendo que dichos oxetos pueden ser cualquier cosa: númberos, persones, lletres, otros conxuntos, etc. Dalgunos exemplos son:

Plantía:Math ye'l conxuntu de los númberos naturales menores que 5.

Plantía:Math ye'l conxuntu de los colores verde, blancu y colloráu.

Plantía:Math ye'l conxuntu de les vocales a, y, i, o y o.

Plantía:Math ye'l conxuntu de los palos de la baraxa francesa.

Los conxuntos se denotan davezu por lletres mayúscules. Los oxetos que componen el conxuntu llámense elementos o miembros. Dizse que «pertenecen» al conxuntu y se denota por aciu el símbolu Plantía:Unicode:^{[n 1]} la espresión Plantía:Math lléese entós como «Plantía:Math ta en Plantía:Math», «Plantía:Math pertenez a Plantía:Math», «Plantía:Math contién a Plantía:Math», etc. Pa la noción contraria úsase'l símbolu Plantía:Unicode. Por casu:

Plantía:Math , Plantía:Math

Plantía:Math, Plantía:Math

Notación

**Rellación de pertenencia.** El conxuntu Plantía:Math ye un conxuntu de polígonos. Na imaxe, dalgunes de les figures pertenecen a dichu conxuntu, pero otres non.

Esisten delles maneres de referise a un conxuntu. Nel exemplu anterior, pa los conxuntos Plantía:Math y Plantía:Math úsase una definición intensiva o por comprensión, onde s'especifica una propiedá que tolos sos elementos tienen. Sicasí, pa los conxuntos Plantía:Math y Plantía:Math úsase una definición estensiva, listando tolos sos elementos explícitamente.

Ye habitual usar llaves pa escribir los elementos d'un conxuntu, de cuenta que:

Plantía:Math

Esta notación por aciu llaves tamién s'utiliza cuando los conxuntos especificar de forma intensiva por aciu una propiedá:

Plantía:Math

Otra notación habitual pa denotar por comprensión ye:

Plantía:Math

Plantía:Math,

Nestes espresiones los dos puntos («:») signifiquen «tal que». Asina, el conxuntu Plantía:Math ye'l conxuntu de «los númberos de la forma Plantía:Math tal que Plantía:Math ye un númberu natural ente 1 y 10 (dambos inclusive)», esto ye, el conxuntu de los diez primeros cuadraos de númberos naturales. En llugar de los dos puntos utilízase tamién la barra vertical («|») o oblicua «/» .

Igualdá de conxuntos

Un conxuntu ta totalmente determináu polos sos elementos. Por ello, la igualdá de conxuntos establezse como: Plantía:Definición Esta propiedá tien delles consecuencies. Un mesmu conxuntu puede especificase de munches maneres distintessobremanera estensives o intensives. Por casu, el conxuntu Plantía:Math de los númberos naturales menores que 5 ye'l mesmu conxuntu que Plantía:Math, el conxuntu de los númberos 1, 2, 3 y 4. Tamién:

Plantía:Math

L'orde nel que se precisen los elementos tampoco se tien en cuenta pa comparar dos conxuntos:

Plantía:Math

Amás, un conxuntu nun puede tener elementos «repitíos», una y bones un oxetu solo puede o bien ser un elementu de dichu conxuntu o nun selo. Dase entós que, por casu:

Plantía:Math

N'ausencia de dalguna carauterística adicional qu'estreme los «1» repitíos, lo únicu que puede dicir se del conxuntu de la derecha ye que «1» ye unu de los sos elementos.

Conxuntu vacíu

Plantía:AP El conxuntu que nun contién nengún elementu llámase'l conxuntu vacíu y se denota por $\emptyset$ o a cencielles {}. Dalgunes teoríes axomátiques de conxuntos aseguren que'l conxuntu vacíu esisti incluyendo un axoma del conxuntu vacíu. N'otres teoríes, la so esistencia puede deducise. Munches posibles propiedaes de conxuntos son trivialmente válides pal conxuntu vacíu.

Propiedaes

Na teoría de conxuntos axomática estándar, pol Axoma de extensionalidad, dos conxuntos son iguales si tienen los mesmos elementos; polo tanto namái puede haber un conxuntu ensin nengún elementu. Poro, namái hai un únicu conxuntu vacíu, y falamos de "el conxuntu vacíu" en llugar de "un conxuntu vacíu".

Pa cualquier conxuntu A:

(Ver operaciones con conxuntos)

El conxuntu vacíu ye un subconxuntu de A:
$\forall A : \emptyset \subseteq A$
La unión de A col conxuntu vacíu ye A:
$\forall A : A \cup \emptyset = A$
La interseición de A col conxuntu vacíu ye'l conxuntu vacíu:
$\forall A : A \cap \emptyset = \emptyset$
El productu cartesianu d'A y el conxuntu vacíu ye'l conxuntu vacíu:
$\forall A : A \times \emptyset = \emptyset$

El conxuntu vacíu tien les siguientes propiedaes:

El so únicu subconxuntu ye'l mesmu conxuntu vacíu:
$\forall A : A \subseteq \emptyset \Rightarrow A = \emptyset$
El "conxuntu de poder" del conxuntu vacíu ye'l conxuntu que contién namái'l conxuntu vacíu:
$2^{\emptyset} = {\emptyset}$
El so númberu d'elementos (cardinalidad) ye cero:
$c a r d (\emptyset) = 0$

(La llista de símbolos matemáticos emplegaos atópase equí).

Subconxuntos

Plantía:AP

**Subconxuntu.** Plantía:Math ye un subconxuntu de Plantía:Math (en particular un subconxuntu propiu).

Un subconxuntu Plantía:Math d'un conxuntu Plantía:Math, ye un conxuntu que contién dalgunos de los elementos de Plantía:Math (o quiciabes toos): Plantía:Definición Cuando Plantía:Math ye un subconxuntu de Plantía:Math, se denota como Plantía:Math y dizse que «Plantía:Math ta conteníu en Plantía:Math». Tamién puede escribise Plantía:Math, y dicise que Plantía:Math ye un superconjunto de Plantía:Math y tamién «Plantía:Math contién a Plantía:Math» o «Plantía:Math inclúi a Plantía:Math».

Tou conxuntu Plantía:Math ye un subconxuntu de sigo mesmu, yá que siempres se cumple que «cada elementu de Plantía:Math ye de la mesma un elementu de Plantía:Math». Ye habitual establecer una distinción más fina por aciu el conceutu de subconxuntu propiu: Plantía:Math ye un subconxuntu propiu de Plantía:Math si ye un subconxuntu de Plantía:Math pero nun ye igual a Plantía:Math. Se denota como Plantía:Math, esto ye: Plantía:Math pero Plantía:Math (y equivalentemente, pa un superconjunto propiu, Plantía:Math).^{[n 2]}

Exemplos.

El conxuntu de tolos homes» ye un subconxuntu propiu del conxuntu de toles persones».

Plantía:Math}

Conxuntos dixuntos

Plantía:Ap Dos conxuntos Plantía:Math y Plantía:Math son dixuntos si nun tienen nengún elementu de mancomún. Por casu, los conxuntos de los númberos racionales y los númberos irracionales son dixuntos: nun hai nengún númberu que seya al empar racional ya irracional. La interseición de dos conxuntos dixuntos ye'l conxuntu vacíu.

Cardinalidad

Plantía:Ap Los conxuntos pueden ser finitos o infinitos. Nel casu d'un conxuntu finito pueden cuntase los elementos del conxuntu: Plantía:Definición El cardinal se denota por Plantía:Math, Plantía:Math o Plantía:Math. Asina, nos exemplos anteriores, tiense que Plantía:Math (cuatro números), Plantía:Math (trés colores) y Plantía:Math (diez cuadraos). L'únicu conxuntu que'l so cardinal ye 0 ye'l conxuntu vacíu Plantía:Math.

Esisten, de la mesma, determinaes propiedaes de cardinalidad. Si tomamos como exemplu dos conxuntos, A y B:

$n (ϕ) = 0$
$A = B \Rightarrow n (A) = n (B)$
$A \subseteq B \Rightarrow n (A) \leq n (B)$
$n (A \cup B) = n (A) + n (B) - n (A \cap B)$
$n (O) = n (A) + n (A^{c})$
$n (A - B) = n (A) - n (A \cap B)$

Y en el casu de trés conxuntos, A, B y C:

$n (A \cup B \cup C) = n (A) + n (B) + n (C) - n (A \cap B) - n (A \cap C) - n (B \cap C) + n (A \cap B \cap C)$
$n (A - (B \cup C)) = n (A) - n (A \cap B) - n (A \cap C) + n (A \cap B \cap C)$
$n ((A \cap B) - C) = n (A \cap B) - n (A \cap B \cap C)$
$n ((A \cup B) - C) = n (A \cup B) - n (A \cap C) - n (B \cap C) + n (A \cap B \cap C)$

Nun conxuntu infinitu nun hai un númberu finito d'elementos. Ye'l casu por casu de los númberos naturales: Plantía:Math. Sicasí, esiste una manera de comparar conxuntos infinitos ente sigo, y llógrase qu'esisten conxuntos infinitos «más grandes» qu'otros. El númberu d'elementos» d'un conxuntu infinitu ye un númberu transfinito.

Cardinalidad de los reales

Plantía:Ap Unu de los resultaos más importantes de Georg Cantor foi que la cardinalidad de los reales ( $𝔠$ ) ye más grande que la de los númberos naturales ( $ℵ_{0}$ ). Esto ye, qu'hai más númberos reales R que númberos enteros N. Concretamente, Cantor amosó que $𝔠 = 2^{ℵ_{0}} > ℵ_{0}$

La hipótesis del continuu afirma que nun esisten conxuntos con cardinalidades entemedies ente los naturales y los reales:

Nun esiste nengún conxuntu Plantía:Math tal que'l so cardinal Plantía:Math cumpla:

ℵ_{0} < | A | < 2^{ℵ_{0}}

Si asume'l axoma d'eleición, la estructura de los cardinales infinitos ye más clara: tolos cardinales infinitos son álefs y tán bien ordenaos, polo qu'esiste namái un cardinal darréu cimeru a Plantía:Math, denotado por Plantía:Math. La hipótesis ye equivalente entós a:

El cardinal del conxuntu de los númberos reales ye'l darréu cimeru al cardinal de los númberos naturales:

2^{ℵ_{0}} = ℵ_{1}

Operaciones con conxuntos

Plantía:Imaxe múltiple Plantía:AP Esisten delles operaciones básiques que pueden realizase, partiendo de ciertos conxuntos daos, pa llograr nuevos conxuntos:

Unión: (símbolu Plantía:Math) La unión de dos conxuntos Plantía:Math y Plantía:Math, que se representa como Plantía:Math, ye'l conxuntu de tolos elementos que pertenecen siquier a unu de los conxuntos Plantía:Math y Plantía:Math.
$A \cup B = {x / x \in A \lor x \in B}$
Interseición: (símbolu Plantía:Math) La interseición de dos conxuntos Plantía:Math y Plantía:Math ye'l conxuntu Plantía:Math de los elementos comunes a A y B.
$A \cap B = {x / x \in A \land x \in B}$
Estrema: (símbolu \) La estrema del conxuntu Plantía:Math con Plantía:Math ye'l conxuntu Plantía:Math que resulta d'esaniciar de Plantía:Math cualquier elementu que tea en Plantía:Math.
Complementu: El complementu d'un conxuntu Plantía:Math ye'l conxuntu Plantía:Math que contién tolos elementos que nun pertenecen a Plantía:Math, al respective de un conxuntu Plantía:Math que lo contién.
$A^{c} = {x / x \in O \land x \in̸ A}$
Diferencia simétrica: (símbolu Δ) La diferencia simétrica de dos conxuntos Plantía:Math y Plantía:Math ye'l conxuntu Plantía:Math con tolos elementos que pertenecen, o bien a Plantía:Math, o bien a Plantía:Math, pero non a dambos al empar.
Productu cartesianu: (símbolu ×) El productu cartesianu de dos conxuntos Plantía:Math y Plantía:Math ye'l conxuntu Plantía:Math de tolos pares ordenaos Plantía:Math formaos con un primer elementu Plantía:Math perteneciente a Plantía:Math, y un segundu elementu Plantía:Math perteneciente a Plantía:Math.

Exemplos

Ver tamién

Plantía:Llista de columnes

Notes y referencies

Notes

Plantía:Llistaref

Referencies

Plantía:Llistaref

Bibliografía

Plantía:Cita llibru Suplementu del capítulu II.
Plantía:Enllaz rotu.
Plantía:Cita web
Plantía:Cita llibru
Nachbin, Leopoldo : Álxebra elemental (1986) Rochester, Nueva York; editora: Eva V. Chesnau. Edición de la OEA, traducida al español por César Y. Silva.

Bibliografía adicional

Halmos, Paul R. : Teoría intuitiva de conxuntos (1965) Compañía editorial Continental S.A. Méxicu 22, D.F. primer edición n'español.

Enllaces esternos

Plantía:Commonscat

Plantía:MathWorld

Plantía:Traducíu ref Plantía:Tradubot

Plantía:Control d'autoridaes

↑ Esta seición ta basada en Plantía:Cita web

Error de cita: Esisten etiquetes <ref> pa un grupu llamáu "n", pero nun s'alcontró la etiqueta <references group="n"/> correspondiente

[1] Esta seición ta basada en Plantía:Cita web

[1]

[n 1]

[n 2]

Conxuntu

Conteníu

Historia