Númberu racional

Plantía:Ficha xenérica Númberu racional ye tou númberu que puede representase como'l cociente de dos númberos enteros o, más precisamente, un enteru y un natural positivu; esto ye, una fracción común $a/b$ con numberador $a$ y denominador $b$ distintu de cero. El términu racional» alude a una fracción o parte d'un tou. El conxuntu de los númberos racionales se denota por Q (o bien $\mathbb{Q}$, en negrina de cayuela) que deriva de «cociente» (Quotient en dellos idiomes europeos). Esti conxuntu de númberos inclúi a los númberos enteros ($\mathbb{Z}$), y ye un subconxuntu de los númberos reales ($ℝ$).

La escritura decimal d'un númberu racional ye, o bien un númberu decimal finito, o bien periódicu. Esto ye ciertu non solo pa númberos escritos en base 10 (sistema decimal); tamién lo ye en base binaria, hexadecimal o cualesquier otra base entera. Recíprocamente, tou númberu qu'almite una espansión finita o periódica (en cualquier base entera) ye un númberu racional.

Un númberu real que nun ye racional llámase númberu irracional; la espresión decimal de los númberos irracionales, a diferencia de los racionales, ye infinita aperiódica.

En sentíu estrictu, númberu racional ye'l conxuntu de toles fracciones equivalentes a una dada; de toes elles, tómase como representante canónicu de dichu númberu racional a la fracción irreducible. Les fracciones equivalentes ente sigo –númberu racional– son una clase d'equivalencia, resultáu de l'aplicación d'una rellación d'equivalencia sobre $\mathbb{Z}$.

Historia

Los exipcios calculaben la resolución de problemes práuticos utilizando fracciones que los sos denominadores son enteros positivos; son los primeros númberos racionales utilizaos pa representar les partes d'un enteru», per mediu del conceutu de recíprocu d'un númberu enteru.

Los matemáticos de l'antigua Grecia consideraben que dos magnitud yeren conmensurables si yera posible atopar una tercera tal que los dos primeres fueren múltiplos de la postrera, esto ye, yera posible atopar una unidá común pa la que los dos magnitúes tuvieren una midida entera. El principiu pitagóricu de que tou númberu ye un cociente d'enteros, espresaba nesta forma que cualesquier dos magnitúes tienen de ser conmensurables, depués númberos racionales.

Etimológicamente, el fechu de qu'estos númberos llámense racionales correspuende a que son la razón de dos númberos enteros, pallabra que la so raigañu provién del llatín ratio, y esta de la mesma del griegu λόγος (razón), que ye como llamaben los matemáticos de l'antigua Grecia a estos númberos. La notación $\mathbb{Q}$ emplegada pa nomar el conxuntu de los númberos racionales provién de la pallabra italiana quoziente, derivada del trabayu de Giuseppe Peano en 1895.

Aritmética de los númberos racionales

Rellaciones d'equivalencia y orde

Inmersión d'enteros

Cualesquier enteru n puede espresase como'l númberu racional n/1 por cuenta de eso escríbese frecuentemente $\mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}$ (téunicamente, dizse que los racionales contienen un subanillo isomorfu al aniellu de los númberos enteros).

Equivalencia

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ si y solu si $ad=bc.$

Orde

Cuando dambos denominadores son positivos:

$\frac{a}{b}<\frac{c}{d}$ si y solu si $ad<bc.$

Si cualesquier de los denominadores ye negativu, les fracciones primero tienen de convertise n'otres equivalentes con denominadores positivos, siguiendo les ecuaciones:

$\frac{-a}{-b}=\frac{a}{b}$

y :$\frac{a}{-b}=\frac{-a}{b}.$

Operaciones

A les operaciones de suma, resta, multiplicación y división de fracciones llámase-yos operaciones racionales.

Suma

Defínese la suma o adición de dos númberos racionales a la operación qu'a tou par de númberos racionales fai-y corresponder la so suma :

$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad}{bd}+\frac{bc}{bd}=\frac{ad+bc}{bd}$

Resta

La operación qu'a tou par de númberos racionales fai-y corresponder la so diferencia llámase resta o diferencia y considerar operación inversa de la suma.

$\frac{c}{d}-\frac{a}{b}=\frac{c}{d}+(-\frac{a}{b})$.

Multiplicación

La multiplicación o productu de dos númberos racionales:

$\frac{a}{b}\times \frac{c}{d}=\frac{a\times c}{b\times d}$.

División

Defínese la división o cociente de dos racionales r ente s distintu de 0, al productu $r\times s^{-1}$. N'otra notación,

$\frac{a}{b}÷\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times \frac{d}{c}$.

Ye una operación totalmente definida, pero asumir que ye una operación inversa de la multiplicación que resuelve la ecuación s·x=r, s≠0.

Inversos

Los inversos aditivu y multiplicativu esisten nos númberos racionales:

$-\left(\frac{a}{b}\right)=\frac{-a}{b}=\frac{a}{-b}\text{y}{\left(\frac{a}{b}\right)}^{-1}=\frac{b}{a}\text{ si }a\ne 0.$

Escritura decimal

Númberu racional en base decimal

Plantía:VT Tou númberu real almite una representación decimal ilimitada, esta representación ye única si esclúyense secuencies infinites de 9 (como por casu el 0,9 periódicu). Utilizando la representación decimal, tou númberu racional puede espresase como un númberu decimal finito (exactu) o periódicu y viceversa. D'esta manera, el valor decimal d'un númberu racional, ye a cencielles la resultancia d'estremar el numberador ente'l denominador.

Los númberos racionales carauterizar por tener una escritura decimal que solo puede ser de tres tipos:

• Exacta: la parte decimal tien un númberu finito de cifres. Al nun ser significativos, los ceros a la derecha del separador decimal pueden omitise, lo que da por resultancia una espresión «finita» o «terminal». Por casu:

$\frac{8}{5}=1,6$

• Periódica pura: tola parte decimal repitir indefinidamente. Exemplu:

$\begin{array}{ccc}\frac{1}{7}& =& 0,142857142857\dots \\ & =& 0,\overline{142857}\end{array}$

• Periódica mista: non tola parte decimal repitir. Exemplu:

$\begin{array}{ccc}\frac{1}{60}& =& 0,01666\dots \\ & =& 0,01\bar{6}\end{array}$

De la mesma manera aplícase la representación d'un númberu racional nun sistema de numberación posicional en bases distintes de diez.

Númberu racional n'otres bases

Nun sistema de numberación posicional de base racional, les fracciones irreducibles que'l so denominador contién factores primos distintos d'aquellos que factorizan la base nun tienen representación finita.

Por casu, en base 10, un racional va tener un desenvolvimientu finito si y solu si'l denominador de la so fracción irreducible ye de la forma $2^n\cdot 5^p$ ($n$ y $p$ enteros), según en base duodecimal ye infinita y recurrente la representación de toes aquelles fracciones que'l so denominador contién factores primos distintos de 2 y 3.

Construcción formal

Construcción formal de los númberos racionales como pares ordenaos.

Plantía:Vt El conxuntu de los númberos racionales puede construyise a partir del conxuntu de fracciones que'l so numberador y que'l so denominador son númberos enteros. El conxuntu de los númberos racionales nun ye direutamente identificable col conxuntu de fracciones, porque dacuando un númberu racional puede representase por más d'una fracción, por casu:

Pa poder definir los númberos racionales tien de definise cuando dos fracciones distintos son equivalentes y por tanto representen el mesmu númberu racional.

Formalmente cada númberu racional puede representase como la clase d'equivalencia d'un par ordenáu d'enteros (a,b), con b≠0, cola siguiente rellación d'equivalencia:

$(a,b)\sim (c,d)\text{ si y solu si }ad=bc$,

onde l'espaciu d'equivalencia de clases ye l'espaciu cociente $(\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\setminus \left\{0\right\})/\sim$. Les operaciones de suma y multiplicación defínense como

$\begin{array}{cc}(a,b)+(c,d)& =(ad+bc,bd)\\ (a,b)\times (c,d)& =(ac,bd)\end{array}$

Verifícase que los dos operaciones definíes son compatibles cola rellación d'equivalencia, indicando de manera que $\mathbb{Q}$ puede definise como'l conxuntu cociente $(\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\setminus \left\{0\right\})/\sim$, cola rellación d'equivalencia descrita antes.

Téngase en cuenta que les operaciones definíes nun son más que la formalización de les operaciones habituales ente fracciones:

$\begin{array}{cc}\frac{a}{b}+\frac{c}{d}& =\frac{ad+bc}{bd}\\ \frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}& =\frac{ac}{bd}\end{array}$

Se denota como [(a,b)] a la clase d'equivalencies que correspuende coles distintes representaciones d'un mesmu númberu racional $\frac{a}{b}=\frac{ka}{kb}$, con k≠0, en forma de fracción. Ye dicir :

$[(a,b)]=\{\cdots ,(-2a,-2b),(-a,-b),(a,b),(2a,2b),\cdots \}.$

Tómase como representante canónicu el par (a,b) tal que mcd(a,b)= 1. Cualesquier otru par puede usase nel casu d'operaciones. Por casu, $[(1,2)]=\{(1,2),(2,4)(3,6)...\}$ ye la clase d'equivalencia del númberu racional $\frac{1}{2}$.

Coles operaciones anteriores, $\mathbb{Q}$ ye un cuerpu, onde la clase (0,1) desempeña'l papel de cero, y la clase (1,1) d'unu. El elementu opuestu de la clase (a,b) ye la clase (-a,b). Amás, si a≠0, la clase (a,b) ye distinta de cero, depués (a,b) ye invertible (inversu multiplicativu) y el so inversu correspuende a la clase (b,a).

Tamién puede definise una orde total en $\mathbb{Q}$ de la siguiente manera:

$(a,b)\le (c,d)\text{ si y solu si }(bd>0\text{ y }ad\le bc)\text{ ó }(bd<0\text{ y }ad\ge bc)$.

El conxuntu de los númberos racionales puede tamién construyise como'l cuerpu de cocientes de los númberos enteros, esto ye,

$\mathbb{Q}=\mathrm{F}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}(\mathbb{Z}).$

Propiedaes

Alxebraiques

El conxuntu de los númberos racionales $\mathbb{Q}$ forníu coles operaciones de suma y productu cumple les propiedaes conmutativa, asociativa y distributiva, esto ye:

$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{c}{d}+\frac{a}{b}$ (conmutativa)

$(\frac{a}{b}+\frac{c}{d})+\frac{y}{f}=\frac{a}{b}+(\frac{c}{d}+\frac{y}{f})$ (asociativa)

$\frac{a}{b}\times (\frac{c}{d}+\frac{y}{f})=\frac{a}{b}\times \frac{c}{d}+\frac{a}{b}\times \frac{y}{f}$ (distributiva).

Esisten los elementos neutros pa la suma y productu. Pa la suma, el cero, denotado por 0, yá que $\frac{a}{b}+0=\frac{a}{b}$ pa cualesquier $\frac{a}{b}$. Pal productu ye'l 1, que puede ser representáu por $\frac{n}{n}=1$, con n distintu de 0, yá que $\frac{a}{b}\times 1=\frac{a}{b}$.

Tien elementos simétricos pa les operaciones de suma y productu. Asina, l'elementu simétricu respectu de la suma pa cualquier númberu racional $\frac{a}{b}$ ye $-\frac{a}{b}$, llamáu elementu opuestu, yá que $\frac{a}{b}+(-\frac{a}{b})=0$. Lo mesmo asocede nel casu del elementu simétricu respectu del productu, pa tou númberu racional $q=\frac{a}{b}$, distintu de 0, esiste $q^{-1}=\frac{b}{a}$, llamáu inversu multiplicativu tal que $q\times q^{-1}=\frac{a}{b}\times \frac{b}{a}=1$.

El conxuntu $\mathbb{Q}$, coles operaciones de adición y multiplicación definíes más arriba, conforma un cuerpu conmutativu, el cuerpu de cocientes de los enteros $\mathbb{Z}$.

Los racionales son el menor cuerpu con carauterística nula. Cualesquier otru cuerpu de carauterística nula contién una copia de $\mathbb{Q}$.

La clausura alxebraica de $\mathbb{Q}$, ye'l conxuntu de los númberos alxebraicos.

Los racionales formen un dominiu de factorización única una y bones tou racional distintu de cero puede descomponese na forma: $q=o{p}_1^{{\alpha }_1}\dots p_n^{{\alpha }_n}$ onde $p_i\in \mathbb{N}$ son númberos enteros primos, ${\alpha }_i\in \mathbb{Z}$ (siendo dalgunos d'ellos negativos si q nun ye enteru) y $o\in \{1,-1\}$. Por casu $260/693=2^2{3}^{-2}{5}^1{7}^{-1}11^{-1}13^1$.

Densidá Si tiense dos númberos racionales con a < b, entós hai una infinidá de númberos racionales x tales qu'a<x<d.

Conxuntos ensin supremu Hai conxuntos

de númberos racionales acutaos superiormente, pero que nun tienen supremu. Como exemplu'l conxuntu H de los númberos racionales positivos que'l so cubu ye menor que 7.

Conjuntistas

Diagrama usáu na demostración de que los racionales son numerables (Georg Cantor).

El conxuntu de los númberos racionales ye numerable, ye dicir qu'esiste una biyección ente $\mathbb{N}$ y $\mathbb{Q}$ (tienen la mesma cantidá d'elementos). El conxuntu de los númberos reales nun ye numerable (la parte non-denombrable de los reales, constituyir los númberos irracionales).

Topolóxiques

• El conxuntu $\mathbb{Q}$ forma un subconxuntu mestu de los númberos reales $ℝ$ por construcción mesma de $ℝ$ (propiedá arquimediana): tou númberu real tien racionales arbitrariamente cerca.
• Tienen una espansión finita como fracción continua regular.
• Cola topoloxía del orde, formen un aniellu topolóxicu, o de grupu parcialmente ordenáu; presenten una topoloxía inducida; tamién formen un espaciu métricu cola métrica $d(x,y)=|x-y|$.
• Los racionales son un exemplu d'espaciu que nun ye llocalmente compactu.
• Caracterícense topológicamente por ser l'únicu espaciu metrizable numerable ensin puntos aisllaos (tamién ye totalmente discontinuu). Los númberos racionales nun formen un espaciu métricu completu.

Númberu p-ádico

Plantía:AP Sía $p$ un númberu primu y pa tou enteru non nulu $a$, sía $|a{|}_p=p^{-n}$ onde $p^n$ ye la mayor potencia de $p$ qu'estrema a $a$.

Si $|0{|}_p=0$ y pa cada númberu racional $\frac{a}{b}$ , ${\left|\frac{a}{b}\right|}_p=\frac{|a{|}_p}{|b{|}_p}$ entós la función multiplicativa $d_p(x,y)=|x-y{|}_p$ define una métrica sobre $\mathbb{Q}$.

L'espaciu métricu $(\mathbb{Q},d_p)$ nun ye completu, el so completitud ye'l cuerpu de los númberos p-ádicos ${\mathbb{Q}}_p$. El teorema de Ostrowski asegura que tou valor absolutu non-trivial sobre $\mathbb{Q}$ ye equivalente yá sía al valor absolutu avezáu, o al valor absolutu p-ádico.

Bibliografía

• Plantía:Cita llibru
• Plantía:Springer
• Plantía:Mathworld