Teorema de Pitágores

Plantía:Referencies Plantía:1000 Plantía:Ficha xenérica El teorema de Pitágores establez que nun triángulu rectángulu la suma de los cuadraos de los catetos ye igual al cuadráu de la hipotenusa:

$a^2+b^2=c^2$

Demostraciones

Conócense cientos de demostraciones del teorema de Pitágores.

Por distintos allugamientos de triángulos nun mesmu cuadráu

Allugamientu de cuatro triángulos nel interior d'un cuadráu de llau $a+b$

Seya un cuadráu de llau $c$. Ye posible axuntar cuatro copies del triángulu rectángulu de catetos $a$ y $b$ ya hipotenusa $c$ al rodiu del cuadráu, formando un cuadráu nuevu de llau $a+b$. L'area d'esti cuadráu grande, poro, ye igual a $c^2$ más la suma de les árees de los cuatro triángulos.

Per otru llau, el cuadráu de llau $a+b$ pue formase tamién a partir de los cuatro triángulos rectángulos d'enantes y dos cuadraos de llaos $a$ y $b$ respeutivamente. L'área d'esti cuadráu ye agora $a^2+b^2$ más les árees de los cuatro triángulos.

En comparando les dos espresiones y desaniciando les árees de los triángulos, s'atopa que $c^2=a^2+b^2$.

Xeneralizaciones

Teorema del cosenu

El teorema del cosenu ye una xeneralización del teorema de Pitágores pa triángulos arbitrarios. Si'l triángulu tien por llaos $a$, $b$ y $c$, esti teorema diz que

$c^2=a^2+b^2-2ab\cdot \cos \gamma$

onde $\gamma$ ye l'ángulu ente los llaos $a$ y $b$. Nos triángulos rectángulos, $\gamma$ ye un ángulu reutu y'l so cosenu ye igual a cero; poro, nesti casu'l teorema del cosenu diz lo mesmu que'l teorema de Pitágores. Amás, si los llaos del triángulu satisfaen la ecuación

$c^2=a^2+b^2$

entós tien de cumplirse que $2ab\cdot \cos \gamma =0$, y asina $\gamma$ tien de ser reutu; y'l triángulu orixinal, rectángulu.