Cosenu

Plantía:Ficha xenérica En trigonometría, el cosenu (abreviáu cos) defínese como la razón ente'l catetu axacente y la hipotenusa. O tamién como l'abcisa correspondiente a un puntu que pertenez a una circunferencia unitaria centrada nel orixe.

En matemátiques, el cosenu ye la función algamada al facer variar la razón mentada, siendo una de les funciones trescendentes.

Cosenu d'una suma o resta

$\theta ,\varphi \in ℝ$ Entós:

$\cos (\varphi +\theta )=cos(\varphi )cos(\theta )-sin(\varphi )sin(\theta )$

Si facemos

$\cos (\varphi +(-\theta ))=cos(\varphi )cos(-\theta )-sin(\varphi )sin(-\theta )$

algamamos la resta. Como'l cosenu ye par, el signu nun importa y como'l senu ye impar, el signu sal:

$\cos (\varphi -\theta )=cos(\varphi )cos(\theta )+sin(\varphi )sin(\theta )$

Cosenu d'un ángulu duble

Tenemos que

$\cos (\varphi +\theta )=cos(\varphi )cos(\theta )-sin(\varphi )sin(\theta )$

Faciendo $\theta =\varphi$ Entós

$cos\left(2\varphi \right)=co{s}^2(\varphi )-si{n}^2(\varphi )$

Cosenu del ángulu mediu

Hai de decatase que namái con un cenciellu remanéu alxebraicu podemos algamar la fórmula del cosenu del ángulu mediu. Seya $\alpha ,\varphi \in ℝ$

Como $cos\left(2\varphi \right)=co{s}^2(\varphi )-si{n}^2(\varphi )$

podemos escribila como

$cos\left(2\varphi \right)=1-2si{n}^2(\varphi )$

Seya $\varphi =\frac{\alpha }{2}$

Entós algamamos

$|cos(\frac{\alpha }{2})|=\sqrt{\frac{cos(\alpha )+1}{2}}$

y analizando los signos de la espresión pa cada cuadrante, finamos con que:

$cos(\frac{\alpha }{2})=\sqrt{\frac{cos(\alpha )+1}{2}}$

Tresformación d'una suma de cosenos en productu

$Cos(\varphi )+Cos(\theta )=2cos(\frac{\varphi +\theta }{2})cos(\frac{\varphi -\theta }{2})$

Amosamientu

Tomamos $\alpha \beta \theta ,\varphi \in ℝ$

Entós

$Cos(\alpha +\beta )+Cos(\alpha -\beta )=cos(\alpha )cos(\beta )-sin(\alpha )sin(\beta )+cos(\alpha )cos(\beta )+sin(\alpha )sin(\beta )$

$Cos(\alpha +\beta )+Cos(\alpha -\beta )=2cos(\alpha )cos(\beta )$

Faciendo $\theta =\alpha +\beta$ y $\varphi =\alpha -\beta$

Entós, resolviendo el sistema, tiense que

$\alpha =\frac{\theta +\varphi }{2}$

$\beta =\frac{\theta -\varphi }{2}$

Reemplazando algámase

$Cos\left(\varphi \right)+Cos(\theta )=2cos(\frac{\theta +\varphi }{2})cos(\frac{\theta -\varphi }{2})$

Análogamente amuésase que

$Cos(\varphi )-Cos(\theta )=-2Sin(\frac{\varphi +\theta }{2})Sin(\frac{\theta -\varphi }{2})$

Derivada del Cosenu

Según la definición de derivada:

$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

lo que ye

${\cos }^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\cos (x+h)-\cos (x)}{h}$

Entós, usando les fórmules anteriormente consiñaes, tiense que

${\cos }^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\cos (x)\cdot \cos (h)-\sin (x)\cdot \sin (h)-\cos (x)}{h}$

Fautorizando

${\cos }^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\cos (x)\cdot ((\cos (h)-1))-\sin (x)\cdot \sin (h)}{h}$

Separtando tenemos

${\cos }^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\cos (x)\cdot ((\cos (h)-1))}{h}-\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sin (x)\cdot \sin (h)}{h}$

Sabiendo que $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sin (h)}{h}=1$ y que'l primer límite queda determináu pola regla de L'Hopital, entós tenemos que

${\cos }^{\prime }\left(x\right)=-\sin (x)$

Ver tamién

• Arcocosenu
• Sinusoide
• Trigonometría
• Función matemática
• Función par
• Función impar