Númberu enteru
Un númberu enteru ye un elementu del conxuntu numbéricu que contién los númberos naturales , los sos opuestos y el cero.[1] Los enteros negativos, como −1 o −3 (lléense «menos unu», «menos trés», etc.), son menores que cero y tolos enteros positivos. Pa resaltar la diferencia ente positivos y negativos, puede escribise un signu «más» delantre de los positivos: +1, +5, etc. Y si nun s'escribe signu al númberu asumir que ye positivu.
El conxuntu de tolos númberos enteros representar pola lletra lletra inicial del vocablu alemán Zahlen («númberos», pronunciáu Plantía:IPA).
Na recta numbérica atopamos los númberos negativos a la izquierda del cero y a la so derecha los positivos.
Los númberos enteros pueden sumarse, restarse, multiplicase y estremase, siguiendo'l modelu de los númberos naturales añadiendo unes normes pal usu del signu.
Los númberos enteros estienden la utilidá de los númberos naturales pa cuntar coses. Pueden utilizase pa contabilizar perdes: si nun colexu entren 80 alumnos nuevos de primer cursu un ciertu añu, pero hai 100 alumnos d'últimu cursu que pasaron a educación secundaria, en total va haber 100 − 80 = 20 alumnos menos; pero tamién puede dicise que dichu númberu aumentó en 80 − 100 = −20 alumnos.
Ciertes magnitúes como la temperatura o l'altor usen valores per debaxo del cero. L'altor del Everest ye 8848 metros percima del nivel del mar, y otra manera, la vera del mar Muertu ta 423 metros per debaxo del nivel del mar; esto ye, el so altor puede espresase como −423 m.
Introducción
Los númberos negativos son necesarios pa realizar operaciones como:
- 3 − 5 = ?
Cuando'l minuendu ye más pequeñu que'l sustraendo, la resta nun puede realizase con númberos naturales. Sicasí, hai situaciones nes que ye útil el conceutu de númberos negativos, como por casu al falar de ganancies y perdes:
Exemplu: Un home xuega a la ruleta dos díes siguíos. Si'l primeru gana 2000 pesos y a otru día pierde 1000, l'home ganó en total 2000 − 1000 = $ 1000. Sicasí, si'l primer día gana 500 y al siguiente pierde 2000, dizse que perdió en total 2000 − 500 = $ 1500. La espresión usada camuda en cada casu: ganó en total o perdió en total, dependiendo de si les ganancies fueron mayores que les perdes o viceversa. Estos dos posibilidaes pueden espresase utilizando'l signu de los númberos negativos (o positivos): nel primer casu ganó en total 2000 − 1000 = + $ 1000 y nel segundu ganó en total 500 − 2000 = − $ 1500. Asina, entiéndese qu'una perda ye una ganancia negativa.
Númberos con signu
Plantía:AP Los númberos naturales 1, 2, 3,... son los númberos ordinarios que s'utilicen para cuntar. Al añader un signu menos («−») delantre llógrense los númberos negativos: Plantía:Definición Amás, pa estremalos meyor, a los númberos naturales añader un signu más («+») delantre y llámase-yos númberos positivos. Plantía:Definición El cero nun ye positivu nin negativu, y puede escribise con signu más o menos o ensin signu indistintamente, yá que sumar o restar cero ye igual a nun faer nada. Toa esta coleición de númberos son los llamaos enteros». Plantía:Definición
La recta numbérica
Plantía:AP
Los númberos enteros negativos son más pequeños que tolos positivos y que'l cero. Esto ye, tou númberu que s'atopa allugáu a la derecha ye mayor que'l númberu que s'atopa allugáu a la izquierda. Pa entender como tán ordenaos utilízase la recta numbérica:
Ver con esta representación que los númberos negativos son más pequeños cuanto más a la izquierda, esto ye, cuanto mayor ye'l númberu tres el signu. A esti númberu llámase-y el valor absolutu:
Plantía:Definición
Exemplos. Plantía:Mabs = 5 , Plantía:Mabs = 2 , Plantía:Mabs = 0.
L'orde de los númberos enteros puede resumise en: Plantía:Definición Exemplos. +23 > −56 , +31 < +47 , −15 < −9 , 0 > −36
Operaciones con númberos enteros
Los númberos enteros pueden sumarse, restarse, multiplicase y estremase, igual que puede faese colos númberos naturales.
Suma
Na suma de dos númberos enteros, determinar por separáu'l signu y el valor absolutu de la resultancia. Plantía:Definición Exemplos. (+21) + (−13) = +8 , (+17) + (+26) = +43 , (−41) + (+19) = −22 , (−33) + (−28) = −61
La suma de númberos enteros portar de manera similar a la suma de númberos naturales: Plantía:Teorema
Exemplu.
- Propiedá asociativa:
- [ (−13) + (+25) ] + (+32) = (+12) + (+32) = (+44)
- (−13) + [ (+25) + (+32) ] = (−13) + (+57) = (+44)
- Propiedá conmutativa:
- (+9) + (−17) = −8
- (−17) + (+9) = −8
Amás, la suma de númberos enteros tien una propiedá adicional que nun tienen los númberos naturales: Plantía:Teorema
Resta
La resta de númberos enteros ye bien senciella, yá que agora ye un casu particular de la suma.
Plantía:Definición
Exemplos
(+10) − (−5) = (+10) + (+5) = +15
(−7) − (+6) = (−7) + (−6) = −13
(−4) − (−8) = (−4) + (+8) = + 4
(+2) − (+9) = (+2) + (−9) = −7
Multiplicación
La multiplicación de númberos enteros, al igual que la suma, rique determinar por separáu'l signu y valor absolutu de la resultancia. Plantía:Definición Pa recordar el signu de la resultancia, tamién s'utiliza la regla de los signos: Plantía:Definición Exemplos. (+4) × (−6) = −24 , (+5) × (+3) = +15 , (−7) × (+8) = −56 , (−9) × (−2) = +18.
La multiplicación de númberos enteros tien tamién propiedaes similares a la de númberos naturales: Plantía:Teorema Exemplu.
- Propiedá asociativa:
- [ (−7) × (+4) ] × (+5) = (−28) × (+5) = −140
- (−7) × [ (+4) × (+5) ] = (−7) × (+20) = −140
- Propiedá conmutativa:
- (−6) × (+9) = −54
- (+9) × (−6) = −54
La suma y multiplicación de númberos enteros tán rellacionaes, al igual que los númberos naturales, pola propiedá distributiva: Plantía:Teorema
Exemplu.
- (−7) × [ (−2) + (+5) ] = (−7) × (+3) = −21
- [ (−7) × (−2) ] + [ (−7) × (+5) ] = (+14) + (−35) = −21
Propiedaes alxebraiques
- El conxuntu de los númberos enteros, consideráu xuntu operación adición ye grupu abelianu.
- m, n en Z → a+b en Z
- m,n, p en z → (m+n)+p = m+(n+p) asociative
- cualquier m de Z, con 0, m+0 = 0, cero elementu neutru.
- para cualquier m de Z tien -m, m +(-m) = 0. elementu opuestu
- Además m+n = n+m
- El conxuntu de los númberos enteros, consideráu xunto colos sos operaciones d'adición y multiplicación, tien una estructura qu'en matemátiques se denomina aniellu; y tien una rellación d'orde. Los númberos enteros pueden amás construyise a partir de los númberos naturales por aciu clases d'equivalencia.