Productoriu

Lletra pi mayúscula, notación del productoriu.

El productoriuPlantía:TERMAST, tamién conocíu como multiplicatorio, multiplicatoria o a cencielles productu (por denotase como una lletra pi mayúscula), ye una notación matemática que representa una multiplicación d'una cantidá arbitraria (finita o infinita).

Notación

La notación espresar cola lletra griega pi mayúscula Π de la siguiente manera:

Pa tolos valores m < n

$\prod _{k=m}^n{a}_k=a_m\cdot a_{m+1}\cdot \dots \cdot a_n$

Si m = n tenemos que:

$m=n,\prod _{k=m}^n{a}_k=\prod _{k=m}^m{a}_k=a_m$

Nel casu de que m sía mayor que n, m > n, asígnase-y el valor del elementu neutru de la multiplicación, l'unu:

$m>n,\prod _{k=m}^n{a}_k=1$

Puede definise por inducción como sigue.

1. Defínese :: $\prod _{k=1}^1{a}_k=a_1$

2. Supuesta definida pa un n ≥ 1 fixu, defínese :: $\prod _{k=1}^{n+1}{a}_k=\left(\prod _{k=1}^n{a}_k\right)a_{n+1}$

Exemplu

Puede usase'l productoriu pa definir otres igualdaes importantes. Asina, tomando n=1 y aplicando la segunda igualdá llógrase:

$\prod _{k=1}^2{a}_k=\left(\prod _{k=1}^1{a}_k\right)(a_2)=a_1{a}_2$.

Definida pa n=2, puede aplicase otra vegada la segunda igualdá con n=2 pa depués llograr

$\prod _{k=1}^3{a}_k=\left(\prod _{k=1}^2{a}_k\right)(a_3)=(a_1{a}_2)a_3$.

Asina, usando la propiedá asociativa de la multiplicación, el productu $\mathit{(}{𝑎}_1{𝑎}_2\mathit{)}{𝑎}_3$ ye'l mesmu que ${𝑎}_1\mathit{(}{𝑎}_2{𝑎}_3\mathit{)}$ y, poro, podemos prescindir del usu de paréntesis ensin peligru de tracamundiu y usar a cencielles

$a_1{a}_2{a}_3=\prod _{k=1}^3{a}_k$.

Puédese entós, usar esti razonamientu pa cualesquier $n\in \mathbb{N}$ ensin qu'haya peligru de tracamundiu.

Otru exemplu de productoriu bien conocíu ye'l que s'utiliza pa definir n! (n factorial) como sigue:

$\prod _{k=1}^{n}k=n!$

Defínese $0!=1!=1$

Propiedaes

Puede usase el métodu d'inducción matemática para demostrar delles propiedaes. Pa ello, basaremos na definición formal por inducción descrita enantes.

Propiedá Multiplicativa

$\prod _{k=1}^n(a_k{b}_k)=\left(\prod _{k=1}^n{a}_k\right)\left(\prod _{k=1}^n{b}_k\right)$

Demostración per Inducción i) Tomemos n=1 y veamos si cumple la igualdá : $\prod _{k=1}^1(a_k{b}_k)=a_1{b}_1=\left(\prod _{k=1}^1{a}_k\right)\left(\prod _{k=1}^1{b}_k\right)$

y la igualdá ye cierta pa n=1

ii) Supongámosla cierta pa n y analicémosla pa n+1

$\prod _{k=1}^{n+1}(a_k{b}_k)=\left[\prod _{k=1}^n(a_k{b}_k)\right](a_{n+1}{b}_{n+1})$

$\prod _{k=1}^{n+1}(a_k{b}_k)=\left(\prod _{k=1}^n{a}_k\right)\left(\prod _{k=1}^n{b}_k\right)a_{n+1}{b}_{n+1}$

(Definición per inducción)

$\prod _{k=1}^{n+1}(a_k{b}_k)=[\left(\prod _{k=1}^n{a}_k\right)(a_{n+1})][\left(\prod _{k=1}^n{b}_k\right)(b_{n+1})]$

(Asociatividad en DIR) Depués, : $\prod _{k=1}^{n+1}(a_k{b}_k)=\left(\prod _{k=1}^{n+1}{a}_k\right)\left(\prod _{k=1}^{n+1}{b}_k\right)$

Propiedá Telescópica

$\prod _{k=1}^n\frac{a_k}{a_{k-1}}=\frac{a_n}{a_0},\text{si cada}{a}_k\ne 0$

Demostración per Inducción

i) Analicemos pa n=1

$\prod _{k=1}^1\frac{a_k}{a_{k-1}}=\frac{a_1}{a_0},\text{con:}{a}_0\ne 0\text{y la igualdá ye cierta para:}n=1$

ii) Supongámosla cierta pa n y analicémosla pa n+1

$\prod _{k=1}^{n+1}\frac{a_k}{a_{k-1}}=\left(\prod _{k=1}^n\frac{a_k}{a_{k-1}}\right)\left(\frac{a_{n+1}}{a_n}\right)$ (Definición per inducción)

Depués, : $\prod _{k=1}^{n+1}\frac{a_k}{a_{k-1}}=\frac{a_n}{a_0}\frac{a_{n+1}}{a_n}$ que ye lo que queríamos demostrar.

Nótese que la nuesa esixencia yera que pa cada $𝑘$, $a_k\ne 0$. En particular, pa $𝑘\mathit{=}𝑛$, $a_k=a_n\ne 0$. Depués la simplificación ye posible y : $\prod _{k=1}^{n+1}\frac{a_k}{a_{k-1}}=\frac{a_{n+1}}{a_0}$.

Ver tamién

• Sumatorio
• Factorial
• Suma
• Multiplicación
• Coproducto (teoría de categoríes)

Enllaces esternos

• Plantía:MathWorld