Procesu estocásticu

En estadística, y específicamente na teoría de la probabilidá, un procesu estocástico ye un conceutu matemáticu que sirve pa usar magnitúes aleatories que varien col tiempu o pa carauterizar una socesión de variables aleatories (estocásticas) qu'evolucionen en función d'otra variable, xeneralmente'l tiempu. Caúna de les variables aleatories del procesu tien la so propia función de distribución de probabilidá y pueden o nun tar correlacionadas ente sigo.

Cada variable o conxuntu de variables sometíes a influencies o efeutos aleatorios constitúi un procesu estocástico. Un procesu estocástico $X_t$ puede entendese como una familia uniparamétrica de variables aleatories indexadas por aciu el tiempu t. Los procesos estocásticos dexen tratar procesos dinámicos nos qu'hai cierta aleatoriedad.

Exemplos

Los siguientes son exemplos dientro del ampliu grupu de les series temporales:

• señales de telecomunicación;
• señales biomédiques (electrocardiograma, encefalograma, etcétera);
• señales sísmiques;
• el númberu de manches solares añu tres d'añu;
• l'índiz de la bolsa segundu a segundu;
• la evolución de la población d'un conceyu añu tres d'añu;
• el tiempu d'espera na cola de cada unu de los usuarios que van llegando a un ventanu;
• el clima, un xigantescu conxuntu de procesos estocásticos interrellacionaos (velocidá del vientu, mugor del aire, etcétera) qu'evolucionen nel espaciu y nel tiempu;
• los procesos estocásticos d'orde mayor a unu, como'l casu d'una serie de tiempu d'orde 2 y una correlación de cero coles demás observaciones.

Casos especiales

• Procesu estacionariu: Un procesu ye estacionariu en sentíu estrictu si la función de distribución conxunta de cualquier subconxuntu de variables ye constante al respective de un desplazamientu nel tiempu. Dizse qu'un procesu ye estacionariu en sentíu ampliu (o sele estacionariu) cuando se verifica que:

1. La media teórica ye independiente del tiempu, y :#

Les autocovarianzas d'orde s namái vienen afeutaes pol ralu de tiempu trescurríu ente los dos periodos y nun dependen del tiempu.

• Procesu homoxéneu: variables aleatories independientes y hermano distribuyíes. Son procesu onde'l dominiu tien cierta simetría y les distribuciones de probabilidá finito-dimensionales tienen la mesma simetría. Un casu especial inclúi a los procesos estacionarios, tamién llamaos procesos homoxéneos nel tiempu.
• Procesu de Márkov: Aquellos procesos discretos en que la evolución namái depende del estáu actual y non de los anteriores.
• Procesos de tiempu discretu
  • Procesu de Bernoulli son procesos discretos nos que'l númberu d'eventos vien dau por una distribución binomial.
  • Procesu de Galton-Watson: ye un tipu de procesu de Markov con ramificación.
• Procesos de tiempu continuu:
  • Procesu de Gauss: Procesu continuu nel que toa combinación llinial de variables ye una variable de distribución normal.
  • Procesu de Márkov continuu
    • Procesu de Gauss-Márkov: Son procesos, coles mesmes, de Gauss y de Márkov
    • Procesu de Feller: son procesos estocásticos que tomen valores sobre espacios d'operadores de dalgún espaciu funcional.
    • Procesu de Lévy: son procesos homoxéneos de Markov de "tiempu continuu" que xeneralicen el paséu aleatoriu que usualmente defínese como de "tiempu discretu".
      • Procesu de Poisson, ye casu particular de procesu de Lévy onde'l tiempu trescurríu ente saltos sigue una distribución esponencial y, poro, el númberu d'eventos nun intervalu vien dau por una distribución de Poisson.
      • Procesu de Wiener, la medría de la varible ente dos intres tien una distribución gaussiana y, por tanto, amás d'un procesu de Lévy ye un procesu de Gauss simultáneamente.
    • Proceso doblemente estocástico, ye un tipu de modelu estocástico usáu pa modelar ciertes series temporales, nel que los parámetros que dan les distribuciones tamién varien aleatoriamente (d'ende'l términu de doblemente estocástico).
      • Procesu de Cox ye un procesu doblemente estocástico que xeneraliza'l procesu de Poisson, onde'l parámetru d'intensidá varia aleatoriamente.
  • Procesu estocástico continuu, ye un tipu de procesu estocástico de tiempu continuu en que les trayectories son amás caminos continuos.

Definición matemática

Un procesu estocástico puede definise equivalentemente de dos formes distintes:

• Como un conxuntu de realizaciones temporales y un índiz aleatoriu qu'escueye una d'elles.
• Como un conxuntu de variables aleatories $X_t$ indexadas por un índiz $t$, yá que $t\in T$, con $T\subseteq ℝ$.

Un procesu dicir de "tiempu continuu" si $T$ ye un intervalu (usualmente esti intervalu tómase como $[0,\mathrm{\infty })$) o de "tiempu discretu" si $T$ ye un conxuntu numerable (solamente puede asumir determinaos valores, usualmente tómase $T\subseteq \mathbb{N}$). Les variables aleatories $X_t$ tomen valores nun conxuntu que se denomina espaciu probabilístico. Sía $(\mathrm{\Omega },ℬ,P)$ un espaciu probabilístico. Nuna muestra aleatoria de tamañu $n$ reparar un sucesu compuestu $Y$ formáu por sucesos elementales $\omega$: Plantía:Ecuación El sucesu compuestu ye un subconxuntu conteníu nel espaciu muestral y ye un álxebra de Boole $B$. A cada sucesu $\omega$ correspuénde-y un valor d'una variable aleatoria $V$, de manera que $V$ ye función de $\omega$: Plantía:Ecuación El dominio d'esta función esto ye'l campu de variabilidá del sucesu elemental, ye l'espaciu muestral, y el so percorríu, esto ye'l de la variable aleatoria, ye'l campu de los númberos reales. Llámase procesu aleatoriu al valor en $(A,𝒜)$ d'un elementu $X=(\mathrm{\Omega },ℬ,(X_t{)}_{t\ge 0},P)$, onde pa tou $t\in ℝ,X_t$ ye una variable aleatoria del valor en $(A,𝒜)$.

Si repara'l sucesu $\omega$ nun momentu $t$ de tiempu:

$V=V(\omega ,t),\omega \in \mathrm{\Omega },t\in T,-\mathrm{\infty }<V<\mathrm{\infty }$.

$V$ define asina un procesu estocástico.

Si $({ℬ}_t{)}_t$ ye una filtración, llámase procesu aleatoriu afechu, al valor en $(A,𝒜)$, d'un elementu $X=(\omega ,ℬ,{ℬ}_t,(X_t{)}_t,P)$, onde $X_t$ ye una variable aleatoria ${ℬ}_t$ -medible del valor en $(A,𝒜)$. La función $ℝ\to A:t\mapsto X_t(\omega )$ llámase la trayeutoria acomuñada al sucesu $\omega$.

Ver tamién

• movimientu browniano
• vuelu de Lévy

Referencies

Plantía:Tradubot