Identidá d'Euler

Llámase identidá d'Euler a un casu especial de la fórmula desenvuelta por Leonhard Euler, notable por rellacionar cinco números bien utilizaos na historia de les matemátiques y que pertenecen a distintes cañes de la mesma:

$y^{i\pi }+1=0$

onde:

• π (númberu pi) ye un númberu irracional y trascendente que rellaciona'l llargor de la circunferencia col so diámetru y ta presente en delles de les ecuaciones más fundamentales de la física. $\frac{\pi }{4}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{2n+1}$
• e (númberu d'Euler) ye la suma de la serie $y=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}$, qu'apaez en numberosos procesos naturales y en distintos problemes físicos y matemáticos y ye tamién un númberu irracional y trascendente.
• i (unidá imaxinaria) ye la raíz cuadrada de -1, a partir del cuál constrúi'l conxuntu de los númberos complexos.
• 0 y 1 son los elementos neutros respeutivamente de l'adición y la multiplicación

Esplicación

Fórmula d'Euler pa un ángulu xeneral.

La identidá ye un casu especial de la Fórmula d'Euler, que especifica que

$y^{ix}=\cos x+i\mathrm{sen}x$

pa cualesquier númberu real x. (Nótese que los argumentos pa les funciones trigonométriques sen y cos tomar en radianes.) En particular si

$x=\pi$

entós

$y^{i\pi }=\cos \pi +i\mathrm{sen}\pi$

y yá que

$\cos \pi =-1$

y que

$\mathrm{sen}\pi =0$

síguese que

$y^{i\pi }=-1$

Lo cual implica la identidá

$y^{i\pi }+1=0$

---

Pa una forma alternativa de notar que la identidá d'Euler ye tanto verdadera como fonda, supongamos que:

$x=i\pi ,$

nel desenvolvimientu polinómico de y a la potencia x:

$y^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+...,$

pa llograr:

$y^{i\pi }=1+i\pi +\frac{(i\pi {)}^2}{2!}+\frac{(i\pi {)}^3}{3!}+\frac{(i\pi {)}^4}{4!}+...,$

simplificando (usando i² = -1):

$y^{i\pi }=1+i\pi -\frac{{\pi }^2}{2!}-\frac{i{\pi }^3}{3!}+\frac{{\pi }^4}{4!}+...,$

Al dixebrar el segundu miembru de la ecuación en subseries real ya imaxinaries:

$i(\pi -\frac{{\pi }^3}{3!}+\frac{{\pi }^5}{5!}-\frac{{\pi }^7}{7!}+...)=0;(1-\frac{{\pi }^2}{2!}+\frac{{\pi }^4}{4!}-\frac{{\pi }^6}{6!}+...)=-1$

Puede comprobase la converxencia d'estos dos subseries infinites, lo cual implica

$y^{i\pi }=-1$

Llogaritmos de númberos negativos

El llogaritmu natural d'un númberu complexu z = a+bi (onde a y b son númberos reales) defínese como:

$\ln (z)=\ln |z|+i\arg (z)$

Onde $\arg (z)=\arg (a+bi)$ ye:

$\arg (a+bi)=\{\begin{array}{cc}\arctan \left(\frac{b}{a}\right)& a>0\\ \arctan \left(\frac{b}{a}\right)+\pi & a<0,b\ge 0\\ \arctan \left(\frac{b}{a}\right)-\pi & a<0,b<0\\ +\frac{\pi }{2}& a=0,b>0\\ -\frac{\pi }{2}& a=0,b<0\\ \text{indetermináu}& a=0,b=0\end{array}$

Notar que con esta definición, arg(z) ta nel intervalu $(-\pi ,\pi ]$ (l'argumentu nesti intervalu ye conocíu como'l "valor principal del argumentu" o a cencielles "argumentu principal"). Esta definición nun ye la única posible, yá que pudo habese definíu en [0, 2π), etc.

Pa llogaritmos d'otres bases, tiense la siguiente rellación por aciu "cambéu de base" :

${\log }_b(z)=\frac{\ln (z)}{\ln (b)}$

Por casu :

$\ln (-1)=\ln |-1|+i\arg (-1)=\ln (1)+i\pi =i\pi$.

Y tamién se cumple:

$\ln (-x)=\ln (x)+\ln (-1)=\ln (x)+i\pi ,x>0$.

Lo anterior puede deducise de la definición. Tamién puede llograse $i\pi =\ln (-1)$ a partir de la identidá d'Euler, pero nun ye la razón de la deducción de ln(-1). Esti detalle va esplicase de siguío.

Sábese que $y^{i\pi }=-1$, pero tamién ye ciertu que $y^{-i\pi }=-1$ o $y^{3i\pi }=-1$. De fechu polo xeneral:

$y^{i\pi (2k+1)}=-1,k\in \mathbb{Z}$

L'error que puede cometese equí, ye que si $y^a=y^b$, entós a = b. Lo anterior ye válidu si a y b son númberos reales, pero en complexos esto non se siempres se cumple. Per ende magar $y^{i\pi }=y^{-i\pi }=-1$, nun ye ciertu que $i\pi =-i\pi$. D'esta forma, puede vese que:

$\ln (-1)=i\pi \ne -i\pi =-\ln (-1)$.

Antes mentóse que si se puede llograr $i\pi =\ln (-1)$ cola identidá d'Euler, pero nun ye recomendable faelo, porque puede cometese errores como lu describir más arriba, yá que non siempres se cumple'l fechu de que si $y^a=b$ entós a = ln(b).

Otru error ye lo siguiente:

$\ln (-1)=\ln (-1/1)=\ln (1/-1)=\ln (1)-\ln (-1)=-i\pi$.

L'error equí asocede en $\ln (1/-1)=\ln (1)-\ln (-1)$. Esto postreru nun ye correutu y el motivu ye que

$\ln (1/-1)=\ln (1*(-1{)}^{-1})=\ln (1)+\ln ((-1{)}^{-1})\ne \ln (1)+(-1)\ln (-1)=-i\pi$.

Porque $\ln (a^b)=b\ln (a)$ solo cumplir de manera xeneral si a ye positivu. Per un sitiu $\ln ((-y{)}^2)=\ln ((y{)}^2)=2$, pero $2\ln (-y)$ nun ye real, yá que ln(-y) nun ye un númberu real.

Identidá Aumentada

El númberu áureo (tamién llamáu númberu d'oru​) ye un númberu irracional,​ representáu por la lletra griega φ (phi) o Φ (Phi) = 1,61803398874988....

Una de les sos propiedaes ye:

$\phi -1=1/\phi$

Por tanto: $\phi -1/\phi =1$

Reemplazando '1' na identidá d'Euler, $y^{i\pi }+1=0$, tiense:

$y^{i\pi }+(\phi -1/\phi )=0$

Por tanto:

$y^{i\pi }+\phi -1/\phi =0$

$\frac{\phi \cdot y^{i\pi }+{\phi }^2-1}{\phi }=0$

$\phi \cdot y^{i\pi }+{\phi }^2-1=0$

Ordenando los términos de la ecuación queda:

${\phi }^2+\phi \cdot y^{i\pi }-1=0$

D'esta manera rellacionen siete númberos bien utilizaos, cinco operaciones de les matemátiques y la ecuación cuadrática.

Ver tamién

• Leonhard Euler
• Fórmula d'Euler
• Fórmula de De Moivre
• Númberu áureo

Referencies

• Plantía:Cita web

Plantía:Tradubot