Distribución de Pareto

En estadística la distribución Pareto, formulada pol inxenieru civil, economista y sociólogu Vilfredo Pareto, ye una distribución de probabilidá continua con dos parámetros, que tien aplicación en disciplines como la socioloxía, xeofísica y economía. En delles disciplines dacuando refiérense a la llei de Bradford. Per otru llau, l'equivalente discretu de la distribución Pareto ye la distribución zeta (la llei de Zipf).

Probabilidá acumulada

Si X pertenez al dominio de la variable de la distribución de pareto, entós la probabilidá de que X seya mayor qu'un númberu x vien dada por:

$Pr(X>x)=\{\begin{array}{cc}{\left(\frac{x_{\mathrm{m}}}{x}\right)}^{\alpha }& \text{si }x\ge x_{\mathrm{m}},\\ 1& \text{si }x<x_{\mathrm{m}}.\end{array}$

onde x_m ye'l valor mínimu posible (positivu) de X, y α ye un parámetru. La familia de les distribuciones de Pareto se parametrizan por dos cantidaes, x_m y α. Cuando esta distribución ye usada nun modelu sobre la distribución de riqueza, el parámetru α ye conocíu como índiz de Pareto.

Función de densidá

A partir de la probabilidá acumulada, puede deducise por aciu una derivada que la función de densidá de probabilidá ye:

$f_X(x)=\{\begin{array}{cc}\alpha \frac{x_{\mathrm{m}}^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}& \text{si }x>x_{\mathrm{m}},\\ 0& \text{si }x<x_{\mathrm{m}}.\end{array}$

Propiedaes

• La media o valor esperáu d'una variable aleatoria X, que sigue una distribución de Pareto con parámetru α > 1 ye :

$Y(X)=\frac{\alpha x_{\mathrm{m}}}{\alpha -1}$

(si α ≤ 1, el valor esperáu nun esiste).

• La varianza ye :

$\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{r}(X)={\left(\frac{x_{\mathrm{m}}}{\alpha -1}\right)}^2\frac{\alpha }{\alpha -2}.$

(Si α ≤ 2, la varianza nun esiste).

• Los momentos son

${{\mu }_n}^{\prime }=\frac{\alpha x_{\mathrm{m}}^n}{\alpha -n},$

pero'l n-ésimo momentu esiste namái pa n < α.

• La función xeneradora de momentos namái ta definida pa valores non positivos de t ≤ 0 según:

$M(t,\alpha ,x_{\mathrm{m}})=Y(y^{tX})=\alpha (-x_{\mathrm{m}}t{)}^{\alpha }\mathrm{\Gamma }(-\alpha ,-x_{\mathrm{m}}t)\text{ and }M(0,\alpha ,x_{\mathrm{m}})=1.$

Caso dexeneráu

La función de la delta de Dirac ye un casu llende de la densidá de Pareto:

$\underset{\alpha \to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x;\alpha ,x_{\mathrm{m}})=\delta (x-x_{\mathrm{m}}).$

Distribución simétrica

Puede definise una Distribución de Pareto Simétrica según:

$f(x;\alpha ,x_{\mathrm{m}})=\{\begin{array}{cc}(\alpha x_{\mathrm{m}}^{\alpha }/2)|x{|}^{-\alpha -1}& \text{si }|x|>x_{\mathrm{m}}\\ 0& \text{restu}.\end{array}$

Distribución Xeneralizada de Pareto

Plantía:Ficha de distribución de probabilidá La familia de distribuciones xeneralizaes de Pareto (GPD) tienen tres parámetros $\mu ,\sigma$ y $\xi$.

La función de probabilidá acumulada ye

$F_{(\xi ,\mu ,\sigma )}(x)=\{\begin{array}{cc}1-{(1+\frac{\xi (x-\mu )}{\sigma })}^{-1/\xi }& \text{si }\xi \ne 0,\\ 1-\exp (-\frac{x-\mu }{\sigma })& \text{si }\xi =0.\end{array}$

Pa $x⩾\mu$, con $\xi ⩾0$, y $x⩽\mu -\sigma /\xi$ con $\xi <0$, onde $\mu \in ℝ$ ye'l parámetru llocalización, $\sigma >0$ ye'l parámetru escala y $\xi \in ℝ$ ye'l parámetru forma. Nótese que delles referencies tomen el parámetru forma como $\kappa =-\xi$.

La función de densidá de probabilidá ye:

$f_{(\xi ,\mu ,\sigma )}(x)=\frac{1}{\sigma }{(1+\frac{\xi (x-\mu )}{\sigma })}^{(-\frac{1}{\xi }-1)}.$

o

$f_{(\xi ,\mu ,\sigma )}(x)=\frac{{\sigma }^{\frac{1}{\xi }}}{{(\sigma +\xi (x-\mu ))}^{\frac{1}{\xi }+1}}.$

de nuevu, pa $x⩾\mu$, y $x⩽\mu -\sigma /\xi$ si $\xi <0$

Aplicación

Aplicación de la distribución de probabilidá acumulada de Pareto a agües diaries máximes.

• Na hidroloxía, utilízase la distribución de Pareto p'analizar variables aleatories como valores máximos de la precipitación y la descarga de ríos, y amás pa describir dómines de seca.

La imaxe azul ilustra un exemplu d'axuste de la distribución de Weibull a agües máximes diaries ordenaes, amosando tambien la franxa de 90% de [Intervalu d'enfotu|enfotu]], basada na distribución binomial.

Les observaciones presenten los marcadores de posición, como parte del analisis de frecuencia acumulada.

Software

Puede usase software y un programa d'ordenador pal axuste d'una distribución de probabilidá, incluyendo la de Pareto, a una serie de datos:

• Easy fit Plantía:Webarchive, "data analysis & simulation"
• Plantía:Enllaz rotu
• ModelRisk, "risk modelling software"
• Ricci distributions, fitting distrubutions with R, Vito Ricci, 2005
• Risksolver, automatically fit distributions and parameters to samples
• StatSoft distribution fitting
• CumFreq [1], llibre ensin costu, inclúi intervalo d'enfotu a base de la distribución binomial

Cites

• Barry C. Arnold (1983). Pareto Distributions, International Co-operative Publishing House, Burtonsville, Maryland. ISBN 0-899974-012-1.
• Christian Kleiber and Samuel Kotz (2003). Statistical Size Distributions in Economics and Actuarial Sciences, New York:Wiley. xi+332 pp. ISBN 0-471-15064-9.
• Lorenz, M. O. (1905). "Methods of measuring the concentration of wealth". Publications of the American Statistical Association. 9: 209–219.

Enllaces esternos

• Calculadora - Distribución de Pareto

Plantía:Control d'autoridaesPlantía:Tradubot