Distribución binómica

N'estadística, la distribución binómica ye una distribución de probabilidá discreta que cunta'l númberu d'ésitos nuna secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes ente sigo, con una probabilidá fixa p d'escurrimientu del ésitu ente los ensayos. Un esperimentu de Bernoulli carauterízase por ser dicotómicu, esto ye, solu dos resultaos son posibles. A unu d'estos denominar ésitu» y tien una probabilidá d'escurrimientu p y al otru, «fracasu», con una probabilidá q = 1 - p.Na distribución binómica l'anterior esperimentu repítise n vegaes, de forma independiente, y trátase de calcular la probabilidá d'un determináu númberu d'ésitos. Pa n = 1, la binómica conviértese, ello ye que nuna distribución de Bernoulli.

Pa representar qu'una variable aleatoria X sigue una distribución binómica de parámetros n y p, escríbese:

$X\sim B(n,p)$

La distribución binómica ye la base del test binómicu de significación estadística.

Exemplos

Les siguientes situaciones son exemplos d'esperimentos que pueden modelizarse por esta distribución:

• Llánzase un dau diez vegaes y cúntase el númberu X de trés llograos: entós X ~ B(10, 1/6)

Esperimentu binómicu

Esisten munches situaciones nes que se presenta una esperiencia binómica. Cada unu de los esperimentos ye independiente de los restantes (la probabilidá de la resultancia d'un esperimentu nun depende de la resultancia del restu). La resultancia de cada esperimentu hai d'almitir namái dos categoríes (a les que se denomina ésitu y fracasu). Les probabilidaes de dambes posibilidaes han de ser constantes en tolos esperimentos (se denotan como p y q o p y 1-p).

Designar por X a la variable que mide'l númberu d'ésitos que se producieron nos n esperimentos.

Cuando se dan estes circunstancies, dizse que la variable X sigue una distribución de probabilidá binómica, y se denota B(n,p).

Carauterístiques analítiques

El so función de probabilidá ye

$f(x)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{x})p^x(1-p{)}^{n-x},0\le p\le 1$

onde $x=\{0,1,2,\dots ,n\},$

siendo $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{x})=\frac{n!}{x!(n-x)!}$ les combinaciones de $n$ en $x$ ($n$ elementos tomaos de $x$ en $x$)

Exemplu

Supongamos que se llanza un dadu (con 6 cares) 51 vegaes y queremos conocer la probabilidá de que'l númberu 3 sala 20 vegaes. Nesti casu tenemos una X ~ B(51, 1/6) y la probabilidá sería P(X=20):

$P(X=20)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{51}{20})(1/6{)}^{20}(1-1/6{)}^{51-20}=0.0000744$

Propiedaes

$𝕐[X]=np$

Demostración: Por definición, $𝕐[X]=\sum _{x=0}^{n}x(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{x})p^x(1-p{)}^{n-x}$, pa $x=0$ el primer términu de la suma sume y llogramos $𝕐[X]=\sum _{x=1}^{n}x(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{x})p^x(1-p{)}^{n-x}$, depués recordemos que $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{x})=\frac{n!}{x!(n-x)!}=\frac{n}{x}\frac{(n-1)!}{(x-1)!((n-1)-(x-1))!}=\frac{n}{x}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{x-1})$, pa $x\ge 1$.

Sustituyendo lo anterior na espresión de $𝕐[X]$, tenemos que $𝕐[X]=\sum _{x=1}^{n}x\frac{n}{x}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{x-1})p^x(1-p{)}^{n-x}=n\sum _{x=1}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{x-1})p^x(1-p{)}^{n-x}$. Note que nesti pasu, les $x$ atayáronse y el factor "$n$" sale de la suma por ser constante, finalmente pola fórmula de Newton (Teorema del binomiu) tenemos que $(a+b{)}^n=\sum _{i=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})a^i{b}^{n-i}$, entós en formular anterior basta con escoyer $i=x-1,a=p,b=1-p$ tenemos que:

$𝕐[X]=n\sum _{i=0}^{n-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{i})p^{i+1}(1-p{)}^{(n-1)-i}$

sacando una $p$ de la suma tenemos:

$𝕐[X]=np\sum _{i=0}^{n-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{i})p^i(1-p{)}^{(n-1)-i}$.

$𝕐[X]=np(p+1-p{)}^{n-1}=np(1)=np$.

Otra forma más senciella ye la siguiente, sabemos que si $X,Y$ son variables aleatories entós $𝕐[X+Y]=𝕐[X]+𝕐[Y]$ tenemos qu'una variable aleatoria binómica ye la suma de $n$ variables tipu Bernoulli, entós $𝕐[X]=𝕐[X_1+X_2+\cdots +X_n]=𝕐[X_1]+𝕐[X_2]+\cdots +𝕐[X_n]=p+p+\cdots +p=np$.

$𝕍\text{ar}[X]=np(1-p)$

Rellaciones con otres variables aleatories

Si $n$ tiende a infinitu y $p$ ye tal que'l productu ente dambos parámetros tiende a $\lambda$, entós la distribución de la variable aleatoria binómica tiende a una distribución de Poisson de parámetru $\lambda$.

A lo último, cumplir que cuando $p$ =0.5 y n ye bien grande (usualmente esíxese que $n\ge 30$) la distribución binómica puede averase por aciu la distribución normal.

Propiedaes reproductives

Daes m variables binómiques independientes de parámetros n_i (i = 1,..., m) y $p$, la so suma ye tamién una variable binómica, de parámetros n₁+... + n_m, y $p$, esto ye,

$Y=\sum _{i=1}^m{X}_i\sim B(\sum _{i=1}^m{n}_i,p)$

Ver tamién

• Actuaría
• Estadística
• Matemátiques

Enllaces esternos

• Calculadora Distribución binómica
• [1] Cálculu de la probabilidá d'una distribución binómica con R (llinguaxe de programación)