Cálculu multivariable

El cálculu multivariable (o cálculu en delles variables) nun ye más que la estensión del cálculu infinitesimal a funciones angulares y vectoriales de delles variables.

Campo angular con dos variables

Cálculu diferencial en campos angulares y vectoriales

Funciones de Rⁿ en R^m. Campos angulares y vectoriales

Vamos Formular les definiciones pa campos vectoriales. Tamién van ser válides para campos angulares. Sía :$𝐟:V⟶W$ un campu vectorial que fai corresponder a tou puntu P definíu biunívocamente pol so vector posición un vector $𝐟\left(𝐎𝐏\right)$ onde'l puntu O ye'l nuesu orixe de coordenaes.

$V\subseteq {ℝ}^n,W\subseteq {ℝ}^m,$ con $n>1$ y $m⩾1$. Cuando $m=1$ tenemos un campu angular. Pa $m>1$ tenemos un campu vectorial. Vamos Utilizar la norma euclídea pa topar la magnitú de los vectores.

Llendes y continuidá

Sean $𝐚\in {ℝ}^n$ y $𝐛\in {ℝ}^m.$ Escribimos:

$\underset{𝐱\to 𝐚}{\lim }𝐟\left(𝐱\right)=𝐛$, :

o bien, :

$𝐟(𝐱)\to 𝐛$ cuando $𝐱\to 𝐚$

pa espresar lo siguiente:

$\underset{\Vert 𝐱\mathbf{-}𝐚\Vert \to 0}{\lim }\Vert 𝐟\left(𝐱\right)-𝐛\Vert =0$

onde $\Vert 𝐱\Vert$ ye la norma euclídea de $𝐱$. Espresándolo en función de les componentes de $𝐱=(x_1,\dots ,x_n),𝐚=(a_1,\dots ,a_n),$

$\underset{(x_1,\dots ,x_n)\to (a_1,\dots ,a_n)}{\lim }𝐟(x_1,\dots ,x_n)=𝐛$

o, de forma equivalente, :$\underset{𝐱\to 𝐚}{\lim }𝐟\left(𝐱\right)=𝐛$ Plantía:Definición Plantía:Teorema Plantía:Demostración Plantía:Teorema Plantía:Demostración

Derivaes direccionales

Derivada d'un campu angular al respective de un vector

Derivaes parciales

Si derivamos la espresión anterior al respective de una segunda variable, $x_j$, vamos tener $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_j\partial x_k}$. Na práutica, vamos calcular $\frac{\partial f}{\partial x_k}$ derivando al respective de $x_k$ y suponiendo $x_j,\mathrm{\forall }j\ne k$ constante.

La diferencial

Definición de campu angular diferenciable

L'anterior ecuación ye la fórmula de Taylor de primer orde pa $f(𝐚+𝐯)$.

Diferencial d'un campu vectorial

Plantía:Definición Espresando ${𝐟}^{\prime }(𝐱;𝐲)$ en función de los sos componentes, tenemos ${𝐟}^{\prime }(𝐱;𝐲)=\left[f{\text{'}}_1\right(𝐱;𝐲),\dots ,f{\text{'}}_m(𝐱;𝐲\left)\right]$ Plantía:Definición

Esta ye la fórmula de Taylor de primer orde pa $𝐟.{𝐟}_L\left(𝐯\right)={𝐟}^{\prime }(𝐱;𝐯)$.

La matriz de ${𝐟}^{\prime }$ ye'l so matriz jacobiana.

Diferenciabilidad implica continuidá

Deduzse fácilmente de la fórmula de Taylor de primer orde yá vista.

Aplicaciones del cálculu diferencial

Cálculu de máximos, mínimos y puntos de ensilladura pa campos angulares

Función con un puntu de ensilladura

Pa saber si ye unu de los casos anteriores:

1. Llogramos $𝐱|\frac{\partial f}{\partial x_k}=0\mathrm{\forall }k|1⩽k⩽n$
2. Llogramos la matriz hessiana de f. Sía esta $𝐅\left(𝐱\right)$.
   1. $𝐅\left(𝐱\right)$ ye definida positiva $\Rightarrow f$ tien un mínimu local (mínimu relativu) en $𝐱$.
   2. $𝐅\left(𝐱\right)$ ye definida negativa $\Rightarrow f$ tien un máximu local (máximu relativu) en $𝐱$.
   3. $𝐅\left(𝐱\right)$ ye indefinida $\Rightarrow f$ tien un puntu de ensilladura en $𝐱$.

No enantes espuesto, supunximos que $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_i\partial x_j}$ ye continua $\mathrm{\forall }i,j|1⩽i⩽n,1⩽j⩽n$

Ver tamién

• Función diferenciable
• Campu angular
• Campu vectorial
• Gradiente
• Diverxencia
• Rotacional
• Integral de llinia
• Integral de superficie
• Integral múltiple
• Multiplicadores de Lagrange

Referencies

• Apostol, Tom M., Calculus, volume 2, editorial reverté, S. A., ISBN 84-291-5003-X

Plantía:Tradubot