Distancia

Plantía:Ficha xenérica En matemátiques, la distancia ente dos puntos del espaciu euclídeo equival al llargor del segmentu de la reuta que los xune, espresáu numbéricamente. N'espacios más complexos, como los definíos na xeometría non euclidiana, el «camín más curtiu» ente dos puntos ye un segmentu reutu con combadura denomada xeodésica.

En física, la distancia ye una magnitú escalar, que s'espresa n'unidaes de llonxitú.

Definición formal

Dende un puntu de vista formal, pa un conxuntu d'elementos $X$ defínese distancia o métrica como cualquier función matemática o aplicación $d(a,b)$ de $X\times X$ en $ℝ$ que verifique les siguientes condiciones:

• Non negatividá: $d(a,b)\ge 0\mathrm{\forall }a,b\in X$
• Simetría: $d(a,b)=d(b,a)\mathrm{\forall }a,b\in X$
• Desigualdá triangular: $d(a,b)\le d(a,c)+d(c,b)\mathrm{\forall }a,b,c\in X$
• $\mathrm{\forall }x\in X:d(x,x)=0$.
• Si $x,y\in X$ son tales que $d(x,y)=0$, entós $x=y$.

Si dexamos de desixir que se cumpla esta última condición, al conceutu resultante denómase-y pseudodistancia o pseudométrica.

La distancia ye'l conceutu fundamental de la Topoloxía d'Espacios Métricos. Un espaciu métricu nun ye otra cosa qu'un par $(X,d)$, au $X$ ye un conxuntu nel que definimos una distancia $d$.

Nel casu de que tuviésemos un par $(X,d)$ y $d$ fore una pseudodistancia sobre $X$, entós diríamos que tenemos un espaciu pseudométricu.

Si $(X,d)$ ye un espaciu métricu y $E\subset X$, podemos restrinxir $d$ a $E$ de la siguiente forma: $d^{\prime }:E\times E⟶ℝ$ de mou que si $x,y\in E$ entós $d^{\prime }(x,y)=d(x,y)$ (ye dicir, $d^{\prime }=d{|}_{E\times E}$). L'aplicación $d^{\prime }$ ye tamién una distancia sobre $d$, y como comparte sobre $E\times E$ los mesmos valores que $d$, denótase tamién de la mesma manera, ye dicir, diremos que $(E,d)$ ye subespaciu métricu de $(X,d)$.

Ver tamién

• Distancia de Mahalanobis
• Desplazamientu (vector)
• Trayeutoria
• Reuta real estendida
• Medida de Lebesgue
• Distancia d'un puntu a una reuta