Ver la fonte de Númberu racional

{{Ficha xenérica}}
'''Númberu racional''' ye tou [[númberu]] que puede representase como'l [[cociente (división)|cociente]] de dos [[númberos enteros]] o, más precisamente, un enteru y un [[Númberu natural|natural positivu]];<ref>{{cita llibru |títulu=Álgebra |editorial=Pearson Educación, 2003 |autor=Elena de Oteyza de Oteyza}}</ref> esto ye, una [[fracción|fracción común]] <math>a/b</math> con numberador <math>a </math> y denominador <math>b </math> distintu de [[cero]]. El términu racional» alude a una fracción o parte d'un tou. El [[conxuntu]] de los númberos racionales se denota por '''Q''' (o bien <math>\mathbb{Q}</math>, en [[Blackboard bold|negrina de cayuela]]) que deriva de «cociente» ('''''Q'''uotient'' en dellos idiomes europeos). Esti conxuntu de númberos inclúi a los [[númberos enteros]] (<math>\mathbb{Z}</math>), y ye un subconxuntu de los [[númberu real|númberos reales]] (<math>\mathbb{R}</math>).

La escritura decimal d'un númberu racional ye, o bien un [[númberu decimal]] finito, o bien [[númberu periódicu|periódicu]]. Esto ye ciertu non solo pa númberos escritos en base 10 ([[sistema de numberación decimal|sistema decimal]]); tamién lo ye en base [[binaria]], [[hexadecimal]] o cualesquier otra [[Base (aritmética)|base entera]]. Recíprocamente, tou númberu qu'almite una espansión finita o periódica (en cualquier base entera) ye un númberu racional.

Un númberu real que nun ye racional llámase [[númberu irracional]]; la espresión decimal de los númberos irracionales, a diferencia de los racionales, ye infinita ''aperiódica''.<ref>T.S. Tsipkin. ''Manual de Matemática'' Editorial Mir, Moscú</ref>

En sentíu estrictu, númberu racional ye'l conxuntu de toles [[Fracción equivalente|fracciones equivalentes]] a una dada; de toes elles, tómase como ''[[representante canónicu]]'' de dichu númberu racional a la [[fracción irreducible]]. Les fracciones equivalentes ente sigo –númberu racional– son una [[clase d'equivalencia]], resultáu de l'aplicación d'una [[rellación d'equivalencia]] sobre <math>\mathbb{Z}</math>.

== Historia ==
Los [[Matemátiques nel Antiguu Exiptu|exipcios]] calculaben la resolución de problemes práuticos utilizando [[fracciones]] que los sos denominadores son enteros positivos; son los primeros númberos racionales utilizaos pa representar les partes d'un enteru», per mediu del conceutu de ''[[recíprocu]] d'un [[númberu enteru]]''.<ref name="eves">{{cita llibru|apellíos=Eves |nome=Howard Eves ; with cultural connections by Jamie H. |títulu=An introduction to the history of mathematics |añu=1990 |editorial=Saunders College Pub. |allugamientu=Philadelphia |isbn=0030295580 |edición=6th ed.}}</ref>

Los [[matemática griega|matemáticos]] de l'[[antigua Grecia]] consideraben que dos magnitud yeren ''conmensurables'' si yera posible atopar una tercera tal que los dos primeres fueren múltiplos de la postrera, esto ye, yera posible atopar una ''unidá'' común pa la que los dos magnitúes tuvieren una midida entera. El principiu pitagóricu de que tou númberu ye un cociente d'enteros, espresaba nesta forma que cualesquier dos magnitúes tienen de ser conmensurables, depués númberos racionales.<ref>{{cita llibru|apellíos=Dantzig |nome=Tobias |títulu=The Bequest of the Greeks |añu=1955 |editorial=London: Unwin Brothers LTD |id=3982581}}</ref>

Etimológicamente, el fechu de qu'estos númberos llámense racionales correspuende a que son la [[Razón (matemátiques)|razón]] de dos númberos enteros, pallabra que la so raigañu provién del llatín ''ratio'', y esta de la mesma del griegu λόγος (razón), que ye como llamaben los matemáticos de l'antigua Grecia a estos númberos.<ref>{{Cita web |url=http://www.emis.de/journals/BAMV/conten/vol13/djimenez.pdf |títulu=DIVULGACIÓN MATEMÁTICA ¿Qué yera un irracional pa un matemáticu griegu antiguu? |fechaaccesu=27 de febreru de 2016 |apellíu=Jiménez |nome=Douglas
|-}</ref> La notación <math>\mathbb{Q}</math> emplegada pa nomar el conxuntu de los númberos racionales provién de la pallabra italiana ''quoziente'', derivada del trabayu de [[Giuseppe Peano]] en 1895.<ref>{{Cita web |url= http://math.hws.edu/mitchell/Math331S13/Rationals.pdf |títulu=Think rationally - The Problem with Rational |fechaaccesu=16 de febreru de 2016 |sitiuweb=Hobart and William Smith Colleges |idioma=inglés}}</ref>

== Aritmética de los númberos racionales ==
{{VT|Fracción#Aritmética con fracciones|l1=Fracción § Aritmética con fracciones}}
=== Rellaciones d'equivalencia y orde ===
==== Inmersión d'enteros ====
Cualesquier enteru ''n'' puede espresase como'l númberu racional ''n''/1 por cuenta de eso escríbese frecuentemente <math>\scriptstyle \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}</math> (téunicamente, dizse que los racionales contienen un subanillo isomorfu al aniellu de los númberos enteros).

==== Equivalencia ====
:<math>\frac{a}{b} = \frac{c}{d}</math> si y solu si <math>ad = bc.</math>

==== Orde ====
Cuando dambos denominadores son positivos:
:<math>\frac{a}{b} < \frac{c}{d}</math> si y solu si <math>ad < bc.</math>

Si cualesquier de los denominadores ye negativu, les fracciones primero tienen de convertise n'otres equivalentes con denominadores positivos, siguiendo les ecuaciones:
:<math>\frac{-a}{-b} = \frac{a}{b}</math>
y :<math>\frac{a}{-b}
= \frac{-a}{b}.</math>

=== Operaciones ===

A les operaciones de suma, resta, multiplicación y división de fracciones llámase-yos '''operaciones racionales'''.<ref name="Trejo_1"/>

==== Suma ====
Defínese la suma o adición de dos númberos racionales a la operación qu'a tou par de númberos racionales fai-y corresponder la so suma :
: <math>
 \frac{a}{b}+\frac{c}{d} =
 \cfrac{ad}{bd}+\cfrac{bc}{bd} =
 \frac{ad+bc}{bd}
</math>

==== Resta ====

La operación qu'a tou par de númberos racionales fai-y corresponder la so diferencia llámase resta o diferencia y considerar ''operación inversa'' de la suma.<ref name="Trejo_1">Adautación de la monografía ''El conceutu de númberu'' de César Trejo. Edición de la OEA.</ref>

:<math>\frac{c}{d} - \frac{a}{b} = \frac{c}{d}+\left ( -\frac{a}{b} \right ) </math>.

==== Multiplicación ====
La [[multiplicación]] o productu de dos númberos racionales:
: <math>
 \frac{a}{b}\times\frac{c}{d} =
 \frac{a\times c}{b\times d}
</math>.

==== División ====

Defínese la división o cociente de dos racionales ''r'' ente ''s'' distintu de 0, al productu <math>r\times s^{-1} </math>. N'otra notación,

:<math>\frac{a}{b}\div \frac{c}{d}= \frac{a}{b}\times \frac{d}{c} </math>.

Ye una operación totalmente definida, pero asumir que ye una operación inversa de la multiplicación que resuelve la ecuación ''s''·''x''=''r'', ''s''≠0.

=== Inversos ===

Los inversos [[Inversu aditivu|aditivu]] y [[Inversu multiplicativu|multiplicativu]] esisten nos númberos racionales:
:<math> - \left( \frac{a}{b} \right) = \frac{-a}{b} = \frac{a}{-b} \quad\mbox{y}\quad
 \left(\frac{a}{b}\right)^{-1} = \frac{b}{a} \mbox{ si } a \neq 0. </math>

== Escritura decimal ==
=== Númberu racional en base decimal ===
{{VT|Representación decimal|númberu decimal|númberu decimal periódicu}}
Tou [[númberu real]] almite una [[representación decimal]] ilimitada, esta representación ye única si esclúyense secuencies infinites de ''9'' (como por casu el [[0,9 periódicu]]).
Utilizando la representación decimal, tou númberu racional puede espresase como un [[númberu decimal]] finito (exactu) o [[númberu periódicu|periódicu]] y viceversa. D'esta manera, el ''valor decimal'' d'un númberu racional, ye a cencielles la resultancia d'estremar el numberador ente'l denominador.

Los númberos racionales carauterizar por tener una escritura decimal que solo puede ser de tres tipos:

* '''Exacta:''' la parte decimal tien un númberu finito de cifres. Al nun ser significativos, los ceros a la derecha del separador decimal pueden omitise, lo que da por resultancia una espresión «finita» o «terminal». Por casu:
::<math>\frac 8 5 = 1,6</math>
* '''Periódica pura:''' tola parte decimal repitir indefinidamente. Exemplu:
::<math>\begin{array}{rcl}\cfrac 1 7&=&0,142857142857\dots\\&=&0,\overline{142857}\end{array}</math>
* '''Periódica mista:''' non tola parte decimal repitir. Exemplu:
::<math>\begin{array}{rcl}\cfrac 1 {60}&=&0,01666\dots\\&=&0,01\overline{6}\end{array}</math>

De la mesma manera aplícase la representación d'un númberu racional nun [[sistema de numberación posicional]] en bases distintes de diez.

=== Númberu racional n'otres bases ===

Nun sistema de numberación posicional de base racional, les [[fracción irreducible|fracciones irreducibles]] que'l so denominador contién factores primos distintos d'aquellos que factorizan la base nun tienen representación finita.

Por casu, en base 10, un racional va tener un desenvolvimientu finito si y solu si'l denominador de la so fracción irreducible ye de la forma <math>2^n \cdot 5^p</math> (<math>n</math> y <math>p</math> enteros), según en base [[sistema duodecimal|duodecimal]] ye infinita y recurrente la representación de toes aquelles fracciones que'l so denominador contién factores primos distintos de 2 y 3.

== Construcción formal ==
[[Ficheru:Konstrukcja liczb wymiernych.svg|thumb|250px|Construcción formal de los númberos racionales como pares ordenaos.]]
{{vt|Dominiu d'integridad|Cuerpo de cocientes}}
El conxuntu de los númberos racionales puede construyise a partir del conxuntu de [[fracción|fracciones]] que'l so numberador y que'l so denominador son [[númberu enteru|númberos enteros]]. El conxuntu de los númberos racionales nun ye direutamente identificable col conxuntu de fracciones, porque dacuando un númberu racional puede representase por más d'una fracción, por casu:

{{ecuación|<math>2,5 = \frac{25}{10} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}</math>}}

Pa poder definir los númberos racionales tien de definise cuando dos fracciones distintos son equivalentes y por tanto representen el mesmu númberu racional.

Formalmente cada númberu racional puede representase como la [[clase d'equivalencia]] d'un [[par ordenáu]] d'enteros (''a'',''b''), con ''b''≠0, cola siguiente [[rellación d'equivalencia]]:

:<math>\left(a, b\right) \sim (c, d) \text{ si y solu si } ad = bc</math>,

onde l'espaciu d'equivalencia de clases ye l'[[espaciu cociente]] <math>(\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\setminus\left\{0\right\})/ \sim</math>. Les operaciones de suma y multiplicación defínense como

:<math>\begin{align}
\left(a, b\right) + (c, d) &= (ad + bc, bd) \\
\left(a, b\right) \times (c, d) &= (ac, bd)
\end{align}</math>

Verifícase que los dos operaciones definíes son compatibles cola rellación d'equivalencia, indicando de manera que <math>\mathbb{Q}</math> puede definise como'l [[conxuntu cociente]] <math>(\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\setminus\left\{0\right\})/ \sim</math>, cola rellación d'equivalencia descrita antes.

Téngase en cuenta que les operaciones definíes nun son más que la formalización de les operaciones habituales ente [[Fracción#Aritmética de fracciones|fracciones]]:

:<math>\begin{align}
\frac{a}{b} + \frac{c}{d} &= \frac{ad+bc}{bd} \\
\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} &= \frac{ac}{bd}
\end{align}</math>

Se denota como [(''a'',''b'')] a la clase d'equivalencies que correspuende coles distintes representaciones d'un mesmu númberu racional <math>\tfrac{a}{b}=\tfrac{ka}{kb}</math>, con ''k''≠0, en forma de fracción. Ye dicir :

:<math>[(a,b)] = \{ \cdots ,(-2a,-2b), (-a,-b), (a,b), (2a,2b), \cdots \}.</math>

Tómase como [[representante canónicu]] el par (''a'',''b'') tal que [[máximu común divisor|mcd]](''a'',''b'')= 1. Cualesquier otru par puede usase nel casu d'operaciones.<ref name="Trejo_1"/> Por casu, <math> [(1,2)] =\{ (1, 2), (2,4)(3,6)... \}</math> ye la clase d'equivalencia del númberu racional <math>\tfrac{1}{2}</math>.

Coles operaciones anteriores, <math>\mathbb{Q}</math> ye un [[cuerpu (matemátiques)|cuerpu]], onde la clase (0,1) desempeña'l papel de cero, y la clase (1,1) d'unu. El [[elementu opuestu]] de la clase (''a'',''b'') ye la clase (-''a'',''b''). Amás, si ''a''≠0, la clase (''a'',''b'') ye distinta de cero, depués (''a'',''b'') ye invertible ([[inversu multiplicativu]]) y el so inversu correspuende a la clase (''b'',''a'').

Tamién puede definise una [[orde total]] en <math>\mathbb{Q}</math> de la siguiente manera:

:<math>(a, b) \le (c, d) \text{ si y solu si } (bd>0\text{ y } ad \le bc)\text{ ó }(bd<0\text{ y } ad \ge bc)</math>.

El conxuntu de los númberos racionales puede tamién construyise como'l cuerpu de cocientes de los númberos enteros, esto ye,

:<math>\mathbb{Q} = \mathrm{Frac}(\mathbb{Z}).</math>

== Propiedaes ==
=== Alxebraiques ===

El conxuntu de los númberos racionales <math>\mathbb{Q}</math> forníu coles [[operación matemática|operaciones]] de suma y productu cumple les propiedaes [[propiedá conmutativa|conmutativa]], [[propiedá asociativa|asociativa]] y [[propiedá distributiva|distributiva]], esto ye:

:<math>\frac{a}{b}+\frac{c}{d} = \frac{c}{d}+\frac{a}{b}</math> (conmutativa)
:<math>\left( \frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right ) +\frac{y}{f} =\frac{a}{b}+\left ( \frac{c}{d} +\frac{y}{f} \right ) </math> (asociativa)
:<math> \frac{a}{b} \times \left ( \frac{c}{d} +\frac{y}{f} \right )= \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} + \frac{a}{b} \times \frac{y}{f}</math> (distributiva).<ref name="Trejo_1"/>

Esisten los [[elementu neutru|elementos neutros]] pa la suma y productu. Pa la suma, el ''cero'', denotado por 0, yá que <math>\tfrac{a}{b}+0= \tfrac{a}{b}</math> pa cualesquier <math>\tfrac{a}{b}</math>. Pal productu ye'l 1, que puede ser representáu por <math>\tfrac{n}{n}= 1 </math>, con ''n'' distintu de 0, yá que <math>\tfrac{a}{b}\times 1 = \tfrac{a}{b}</math>.

Tien [[elementu simétricu|elementos simétricos]] pa les operaciones de suma y productu. Asina, l'elementu simétricu respectu de la suma pa cualquier númberu racional <math>\tfrac{a}{b} </math> ye <math>-\tfrac{a}{b} </math>, llamáu ''[[elementu opuestu]]'', yá que <math>\tfrac{a}{b}+ (-\tfrac{a}{b})= 0 </math>. Lo mesmo asocede nel casu del elementu simétricu respectu del productu, pa tou númberu racional <math>q=\tfrac{a}{b}</math>, distintu de 0, esiste <math>q^{-1}=\tfrac{b}{a}</math>, llamáu ''[[inversu multiplicativu]]'' tal que <math> q\times q^{-1} = \tfrac{a}{b} \times \tfrac{b}{a} = 1 </math>.

El conxuntu <math>\Q</math>, coles operaciones de adición y multiplicación definíes más arriba, conforma un [[Cuerpu (matemátiques)|cuerpu conmutativu]], el [[cuerpu de cocientes]] de los enteros <math>\Z</math>.

Los racionales son el menor cuerpu con [[Carauterística (matemática)|carauterística]] nula. Cualesquier otru cuerpu de carauterística nula contién una copia de <math>\Q</math>.

La [[clausura alxebraica]] de <math>\Q</math>, ye'l conxuntu de los [[númberos alxebraicos]].

Los racionales formen un [[dominiu de factorización única]] una y bones tou racional distintu de cero puede descomponese na forma: <math>q = o p_1^{\alpha_1}\dots p_n^{\alpha_n}</math> onde <math>p_i\in \mathbb{N}</math> son númberos enteros primos, <math>\alpha_i\in \mathbb{Z}</math> (siendo dalgunos d'ellos negativos si ''q'' nun ye enteru) y <math>o\in\{1,-1\}</math>. Por casu <math>260/693= 2^2 3^{-2}5^1 7^{-1}11^{-1}13^1\,</math>.
; Densidá Si tiense dos númberos racionales con a < b, entós hai una infinidá de númberos racionales x tales qu'a<x<d.
; Conxuntos ensin supremu Hai conxuntos
de númberos racionales acutaos superiormente, pero que nun tienen ''supremu''. Como exemplu'l conxuntu H de los númberos racionales positivos que'l so cubu ye menor que 7.<ref>Pa superar esta falta constrúi'l conxuntu de los reales y postúlase l'axoma del supremu</ref>

=== Conjuntistas ===

[[Ficheru:Diagonal argument.svg|thumb|Diagrama usáu na demostración de que los racionales son numerables ([[Georg Cantor]]).]]
El conxuntu de los númberos racionales ye [[conxuntu numerable|numerable]], ye dicir qu'esiste una biyección ente <math>\N</math> y <math>\Q</math> (tienen la mesma cantidá d'elementos). El conxuntu de los númberos reales nun ye numerable (la parte ''non-denombrable'' de los reales, constituyir los [[númberos irracionales]]).

=== Topolóxiques ===

*El conxuntu <math>\Q</math> forma un subconxuntu [[conxuntu trupu|mestu]] de los númberos reales <math>\R</math> [[Axomes de los númberos reales|por construcción mesma de <math>\R</math>]] (''propiedá arquimediana''): tou númberu real tien racionales arbitrariamente cerca.
*Tienen una espansión [[Conxuntu finito|finita]] como [[fracción continua]] ''regular''.
*Cola [[topoloxía del orde]], formen un [[aniellu topolóxicu]], o de [[grupu parcialmente ordenáu]]; presenten una [[topoloxía traza|topoloxía inducida]]; tamién formen un [[espaciu métricu]] cola métrica <math> d(x,y) = |x -y|</math>.
*Los racionales son un exemplu d'espaciu que nun ye [[llocalmente compactu]].
*Caracterícense topológicamente por ser l'únicu [[Espaciu métricu|espaciu metrizable]] [[conxuntu numerable|numerable]] ensin [[Puntu aislláu|puntos aisllaos]] (tamién ye [[totalmente discontinuu]]). Los númberos racionales nun formen un [[espaciu métricu completu]].

== Númberu ''p''-ádico ==

{{AP|Númberu p-ádico}}
Sía <math>p</math> un [[númberu primu]] y pa tou enteru non nulu <math>a</math>, sía <math>|a|_p=p^{-n}</math> onde <math>p^n </math> ye la mayor potencia de <math>p </math> [[divisor|qu'estrema a]] <math>a</math>.

Si <math>|0|_p=0</math> y pa cada númberu racional <math>\frac{a}{b}</math> , <math>\left | \frac{a}{b}\right |_p=\frac{|a|_p}{|b|_p}</math> entós la [[función multiplicativa]] <math>d_p\left(x, y\right) = |x - y|_p</math> define una [[espaciu métricu|métrica]] sobre <math>\Q</math>.

L'espaciu métricu <math>\left(\Q,d_p\right)</math> nun ye completu, el so [[Espaciu completu|completitud]] ye'l cuerpu de los [[Númberu p-ádico|númberos p-ádicos]] <math>\Q_p</math>. El [[teorema de Ostrowski]] asegura que tou valor absolutu non-trivial sobre <math>\Q</math> ye equivalente yá sía al [[valor absolutu]] avezáu, o al valor absolutu ''p''-ádico.<ref>Consultar Aritmética elemental de Enzo Gentile</ref>

==Notes y referencies==
{{llistaref|2}}

== Bibliografía ==
* {{cita llibru |apellíu=
 Cárdenas
 |nome= Raggi
 |títulu= Álgebra Cimeru |añu=
 1990
 |ubicación= Méxicu,&nbsp;D.&nbsp;F.
 |editorial= Tríes
 |isbn= 968-24-3783-0
| oclc = 7121505
}}
* {{springer|títulu=Rational Number|id=Rational_number&oldid=14864|apellíu=Z.I. Borevich|nome=I.R. Shafarevich|apellíu2=C. Pisot|nome2=M. Zamansky}}
* {{Mathworld|RationalNumber|RationalNumber}}

== Enllaces esternos ==
{{wc}}

{{ORDENAR:Numbero racional}}{{Control d'autoridaes}}{{Tradubot|Número racional}}

[[Categoría:Teoría de cuerpos]]
[[Categoría:Fracciones]]
[[Categoría:Númberos reales]]
[[Categoría:Matemática elemental]]