Ver la fonte de Númberu natural

{{Ficha xenérica}}
[[Ficheru:Three apples.svg|thumb|Los [[númberu|númberos]] naturales pueden usase pa cuntar (una mazana, dos manzanes, tres manzanes, …).]]
En [[matemátiques]], un '''númberu natural''' ye cualesquier de los númberos que s'usen para [[numerable|cuntar]] los elementos de ciertos [[conxuntu|conxuntos]],<ref>Por casu, los elementos del intervalu abiertu <0; 1> non pueden cuntase</ref><ref name=nn>{{cita llibru |apellíu=Arias Cabezas |apellíu2=Maza Sáez |nome=José María |nome2=Ildefonso |añu=2008 |títulu=Matemátiques 1 |fechaaccesu=30 d'abril de 2017 |páxina=13|capítulu=Aritmética y Álxebra |allugamientu=Madrid |editorial=Grupu Editorial Bruño, Sociedá Llindada |apellíu-editor=Carmona Rodríguez |apellíu-editor2=Díaz Fernández |nome-editor=Manuel |nome-editor2=Francisco Javier |isbn=9788421659854 |númberu-autores=2}}</ref> como tamién n'operaciones elementales de cálculu.
Son aquellos númberos naturales que sirven pa cuntar elementos polo que son enteros por casu: 1,2,3,4,5,6,7,8,9...∞
Por definición convencional va dicise que cualquier miembru del siguiente conxuntu, ℕ = {1, 2, 3, 4, …}, ye un númberu natural.<ref name=nn/> De dos númberos vecinos cualesquier, el que s'atopa a la derecha llámase '''siguiente''' o '''socesivu''',<ref name=tsipkin>Tsipkin, A. G. ''Manual de Matemátiques'', Edirorial Mir, Moscú (1985), traducción de T. I. Shopovalova</ref> polo que'l conxuntu de los númberos naturales ye ordenáu ya infinitu.

El conxuntu de tolos númberos naturales iguales o menores que ciertu númberu natural <math>k </math>, esto ye, el conxuntu <math>\{1, 2, \dots, k-1, k\}</math>, llámase '''segmentu d'una socesión natural''' y se denota <math>|1,k|</math> o bien <math>[k]</math>.<ref name=tsipkin/>

== Convenios de notación ==

Yá que los númberos naturales utilizar pa cuntar elementos, el [[cero]] puede considerase'l númberu que correspuende a l'ausencia de los mesmos; dependiendo del área de la ciencia, el conxuntu de los númberos naturales puede presentase entós de dos maneres distintes:
{{definición|1=*Definición ensin el cero:
: <math> \N = \{ 1, 2, 3, 4, \cdots \} </math>
*Definición col cero:
: <math> \N = \{ 0, 1, 2, 3, 4, \cdots \} </math>
}}
onde la '''{{unicode|ℕ}}''' de ''natural'' suelse escribir en "[[Blackboard bold|negrina de cayuela]]".

Históricamente l'usu del cero como numberal foi introducíu n'Europa nel [[sieglu XII]]. Esto nun quier dicir qu'antes non s'utilizara'l númberu cero como numberal, yá que cola invención del [[Numberación india|sistema de numberación Hindi]] (na India) incluyóse'l númberu cero como numberal. Col tiempu, esti sistema de numberación tamién foi usáu polos árabes; d'esti fechu vien que pasara de llamase sistema de numberación Hindi a denominase [[Númberos arábigos|sistema de numberación arábigu-índicu]]. Cola conquista musulmana de la península ibérica nel sieglu XII, el sistema de numberación arábigu-índicu empezó a usase n'Europa y pasó a llamase sistema de numberación arábigu-índicu occidental o [[sistema de numberación decimal]], que inclúi'l cero como numberal, pero aun así nun se consideraba a esti como un númberu natural.

Sicasí, col desenvolvimientu de la [[teoría de conxuntos]] nel [[sieglu XIX]], el cero incluyir nes definiciones conjuntistas de los númberos naturales. Esta convención prevalez en dicha disciplina,<ref>Veanse testos como {{cita llibru|apellíos=Jech |añu=2006 |isbn=978-3-540-44085-7|puntofinal=,}} {{cita llibru|apellíos=Devlin |añu=1993 |isbn=0-387-94094-4}} o {{cita llibru|apellíos=Kunen |añu=1992 |isbn=0-444-86839-9}}</ref> y otres, como la [[teoría de la computación]].<ref name="Wels" /> En particular, l'estándar [[DIN]] 5473 adopta esta definición.<ref name="Wels">Vease {{Harvsp|Welschenbach|2005|p=4}}.</ref> Sicasí, na actualidá dambos convenios conviven.<ref>Vease {{Cita web |url=http://mathworld.wolfram.com/NaturalNumber.html |autor=Weisstein, Eric W. |títulu=Natural Numbers |obra=[[MathWorld]] |fechaaccesu=14 d'agostu de 2011 |idioma=inglés}}</ref>

Pa estremar dambes definiciones dacuando introdúcense símbolos distintos. Por casu, si nun s'inclúi'l cero nos naturales, al conxuntu de los númberos naturales ensin el cero llamar [[númberos enteros|conxuntu de los enteros positivos]] y se lo denota como {{math|{{unicode|ℕ}}*}}. Alternativamente tamién s'utiliza {{math|{{unicode|ℕ}} \ {0}}}.<ref>{{cita llibru|apellíos=Cominos |añu=2006 |isbn=9781852339029}}, p. 27.</ref>

Otra manera, cuando'l 0 considérase un númberu natural (cosa que ye conveniente, por casu, en [[divisibilidad]] y [[teoría de númberos]]), al conxuntu de los naturales col cero llamar [[númberos cardinales|conxuntu de los númberos cardinales]] y se lo denota {{math|{{unicode|ℕ}}<sub>0</sub>}}.

== Historia ==
Primero que surdieren los [[númberos]] naturales pa la representación de cantidaes, l'home usó otros métodos pa [[Cuenta (matemátiques)|cuntar]], utilizando pa ello oxetos como [[piedra|piedres]], palitos de [[madera]], [[Nuedu (llazu)|nuedos]] de cuerdes, o a cencielles los [[deos]] (ver [[sistema de numberación unario]]). Más palantre empezaron a apaecer los símbolos gráficos como señales pa [[cuntar]], por casu marques nuna vara o a cencielles trazos específicos sobre'l sable (vease [[güesu d'Ishango]]). Pero foi en [[Mesopotamia]] alredor del añu 4000&nbsp;e.&nbsp;C. onde apaecen les primeres muertes de los númberos que consistieron en grabaos de señales en forma de cuñas sobre pequeños tableros de [[magre]] emplegando pa ello un palito aguyáu. D'equí'l nome d'[[escritura cuneiforme]]. Esti sistema de numberación foi adoptáu más tarde, anque con símbolos gráficos distintos, na [[Grecia Antigua]] y na [[Antigua Roma]]. Na Grecia antigua emplegábense a cencielles les [[lletra|lletres]] de la so [[alfabetu]], ente que na antigua Roma, amás de les lletres, utilizáronse dellos símbolos.

Quien asitió al conxuntu de los númberos naturales sobre lo qu'empezaba a ser una base sólida,foi [[Richard Dedekind]] nel [[sieglu XIX]]. Esti derivar d'una serie de postulaos (lo qu'implicaba que la esistencia del conxuntu de númberos naturales dar por cierta), que dempués precisó [[Peano]] dientro d'una lóxica de segundu orde, resultando asina los famosos cinco postulaos que lleven el so nome. [[Frege]] foi cimeru a dambos, demostrando la esistencia del sistema de númberos naturales partiendo de principios más fuertes. Lamentablemente la teoría de Frege perdió, por dicir, la so credibilidá, y hubo que buscar un nuevu métodu. Foi [[Zermelo]] quien demostró la esistencia del [[conxuntu]] de númberos naturales, dientro de la so teoría de conxuntos y principalmente por aciu l'usu del [[axoma]] de infinitud, que, con un cambéu d'esti fecha por [[Adolf Fraenkel]], dexa construyir el conxuntu de númberos naturales como [[Númberu ordinal (teoría de conxuntos)|ordinales]] según [[von Neumann]].

Delles carauterístiques de los númberos naturales son:

# Tou númberu mayor que 1 (o mayor que 0 en casu de considerar el 0 como natural) va dempués d'otru númberu natural.
# Ente dos númberos naturales siempres hai un númberu finito de naturales (interpretación de conxuntu non trupu).
# Dau un númberu natural cualesquier, siempres esiste otru natural mayor qu'esti (interpretación de conxuntu infinitu).
# Ente'l númberu natural <math>a</math> y el so socesor <math>a+1</math> nun esiste nengún númberu natural.

== Construcciones axomátiques ==

Históricamente, realizáronse propuestes pa axiomatizar la noción habitual de númberos naturales, d'ente les que destaquen les de [[Giuseppe Peano|Peano]] y la construcción a partir de la [[teoría de conxuntos]].

=== Axomes de Peano ===

{{AP|Axomes de Peano}}
* Si ''n'' ye un númberu natural, entós el [[socesor]] de ''n'' tamién ye un númberu natural.
* El 1 nun ye'l socesor de nengún númberu natural.
* Si hai dos númberos naturales ''n'' y ''m'' col mesmu socesor, entós ''n'' y ''m'' son el mesmu númberu natural.
* Si'l 1 pertenez a un conxuntu de númberos ''A'', y amás siempres se verifica que: dau un númberu natural cualesquier que tea en ''A'', el so socesor tamién pertenez a ''A''; entós ''A'' contién al conxuntu de tolos númberos naturales. Este ye l'axoma d'inducción, que prinda la idea d'[[inducción matemática]].

== Versión de Bush-Obreanu ==

El sistema de Peano foi simplificáu.<ref>Tal como se presenta na 'discutiniu' d'esti artículu</ref>

=== Definición en teoría de conxuntos ===

En [[teoría de conxuntos]] definir al conxuntu de los númberos naturales como'l mínimu conxuntu que ye inductivu. La idea ye que pueda cuntase faciendo una [[Función biyectiva|biyección]] dende un númberu natural hasta'l conxuntu d'oxetos que quier cuntase. Esto ye, pa dar la definición de ''númberu 2'', ríquese dar un exemplu d'un conxuntu que contenga precisamente dos elementos. Esta definición foi apurrida por [[Bertrand Russell]], y más tarde simplificada por [[Von Neumann]] quien propunxo que'l candidatu pa 2 fuera'l conxuntu que contién solo a 1 y a 0.

Formalmente, un conxuntu {{math|''x''}} dizse que ye un ''númberu natural'' si cumple #
Pa cada {{math|''y'' ∈ ''x''}}, {{math|''y'' ⊆ ''x''}}
# La rellación {{math|∈<sub>''x''</sub> {{=}} {(''a'', ''b'') ∈ ''x'' • ''x'' {{!}} ''a'' ∈ ''b''}}} ye un orde total estrictu en {{math|''x''}}
# Tou subconxuntu non vacíu de {{math|''x''}} tien elementos mínimu y máximu nel orde {{math|∈<sub>''x''</sub>}}

Inténtase pos, definir un conxuntu de númberos naturales onde cada elementu respete les convenciones anteriores. Primero búscase un conxuntu que sía'l representante del {{math|0}}, lo cual ye fácil yá que sabemos que {{math|∅}} nun contién elementos. Depués defínense los siguientes elementos d'una manera atélite col usu del conceutu de ''socesor''.

Definir según [[Paul Halmos|Halmos]]- entós que'l conxuntu vacíu ye un númberu natural que se denota por {{math|0}} y que cada númberu natural {{math|''n''}} tien un ''socesor'' denotado como {{math|''n''<sup>+</sup>}}. Estes idees queden formalizaes por aciu les siguientes espresiones:
:{{math|0 {{=}} ∅}}
:{{math|''n''<sup>+</sup> {{=}} ''n'' ∪ {''n''}}}

D'esta manera, cada elementu de dalgún númberu natural ye un númberu natural; esto ye, un antecesor d'él. Por casu:
* Por definición {{math|0 {{=}} {} }} (lo cual refuerza'l fechu de que {{math|0}} nun tien antecesores)
* 1 ye'l socesor de 0, entós {{math|1 {{=}} 0<sup>+</sup> {{=}} ∅ ∪ {0} {{=}} {0} }}
* 2 ye'l socesor de 1, pero 1 ye {0}, entós {{math|2 {{=}} 1<sup>+</sup> {{=}} {0} ∪ {1} {{=}} {0, 1} }}.
* y polo xeneral
:{{math|3 {{=}} {0, 1, 2} }}
:{{math|4 {{=}} {0, 1, 2, 3} }}
:{{math|5 {{=}} {0, 1, 2, 3, 4} }}
:'''⋮'''

Esto dexa establecer una [[rellación d'orde]] ente los elementos del conxuntu a pesar de qu'un [[conxuntu]] ye por naturaleza un agregáu d'elementos desordenaos. Defínese esta rellación por aciu la espresión:
:{{math|''a'' ≤ ''b'' ⇔ ''a'' ⊆ ''b''}}

ye dicir qu'un númberu {{math|''a''}} ''ye menor o igual que'' {{math|''b''}} [[Bicondicional|si y solu si]] {{math|''b''}} contién a tolos elementos de {{math|''a''}}.

Tamién puede usase otra definición más inmediata a partir del fechu de que cada númberu natural consta de los sos antecesores. Asina {{math|''a'' < ''b''}} si y solu si {{math|''a'' ∈ ''b''}}.

Esa ye la construcción [[Sistema formal|formal]] de los naturales que garantiza la so esistencia como conxuntu a la lluz del desenvolvimientu [[axoma|axomáticu]] [[Axomes de Zermelo-Fraenkel|Zermelo-Fraenkel]]. El [[postuláu]] de los conxuntos infinitos asegura la validez de la téunica de demostración conocida como [[inducción matemática]].

Un teorema demuestra que cualquier conxuntu que sía inductivu contién a tolos númberos naturales, ye dicir que si {{math|''A''}} ye un conxuntu inductivu, entós {{math|{{unicode|ℕ}} ⊆ ''A''}}. Esto significa que, n'efeutu, {{math|{{unicode|ℕ}}}} ye'l mínimu conxuntu inductivu.

Defínese la [[suma]] por [[Inducción matemática|inducción]] por aciu:
:{{math|''a'' + 0 {{=}} ''a''}}
:{{math|''a'' + ''b''<sup>+</sup> {{=}} (''a'' + ''b'') <sup>+</sup>}}

Lo que convierte a los númberos naturales {{math|({{unicode|ℕ}}, +)}} nun [[monoide]] conmutativu con [[elementu neutru]] 0, el llamáu ''Monoide Llibre con un xenerador''. Esti monoide satisfai la propiedá [[Cancelativo|cancelativa]] y polo tanto puede incluyise nun [[Grupu (matemática)|grupu matemáticu]]. El menor grupu que contién a los naturales ye'l de los [[númberu enteru|númberos enteros]].

De manera análoga, la [[multiplicación]] × definir por aciu les espresiones:
:{{math|''a'' × 0 {{=}} 0}}
:{{math|''a'' × ''b''<sup>+</sup> {{=}} (''a'' × ''b'') + ''a''}}

Esto convierte {{math|({{unicode|ℕ}}, ×)}} (esto ye, ℕ con esta nueva operación), nun monoide conmutativu.

Otra forma de construcción de {{unicode|ℕ}} ye la siguiente:
Sía '''ℱ''' la clase de tolos conxuntos y vamos definir una rellación binaria {{math|R}} "ser equipotente" de la siguiente manera:
Daos {{math|A}} y {{math|B ∈ '''ℱ'''}} dizse qu'A R B ↔ Esiste una aplicación biyectiva de {{math|A}} sobre {{math|B}}, esto ye, esiste {{math|''f'' : ''A'' → ''B''}} biyectiva.
Claramente puede demostrase qu'esta rellación verifica les propiedaes reflexiva, simétrica y transitiva depués ye una rellación d'equivalencia al conxuntu cociente {{math|'''ℱ'''/R {{=}} {[''A'']/''A'' ∈ '''ℱ'''}}} vamos llamar cardinales y a los cardinales finitos va llamáse-yos númberos naturales.Les operaciones de suma y productu de cardinales defínense como'l cardinal de la unión y el productu cartesianu de los conxuntos representantes y verifica toles propiedaes por que {{math|({{unicode|ℕ}}, +, ×)}} sía un [[semianillo]] conmutativu y unitariu.

== Operaciones colos númberos naturales ==

Les [[operación matemática|operaciones matemátiques]] que se definen nel conxuntu de los númberos naturales son la [[suma]] , la [[multiplicación ]]y la división.

La suma y la multiplicación de númberos naturales son operaciones [[conmutatividad|conmutatives]] y [[asociatividad (álxebra)|asociatives]], esto ye:

* L'orde de los númberos nun alteria la resultancia (propiedá conmutativa), {{math|''a'' + ''b'' {{=}} ''b'' + ''a''}}, y {{math|''a'' × ''b'' {{=}} ''b'' × ''a''}}.

* Pa sumar —o multiplicar— trés o más númberos naturales, nun fai falta arrexuntar los númberos d'una manera específica yá que {{math|(''a'' + ''b'') + ''c'' {{=}} ''a'' + (''b'' + ''c'')}} (propiedá asociativa). Esto ye lo que da sentíu a espresiones como {{math|''a'' + ''b'' + ''c''}}.

Al construyir la operación de multiplicación de númberos naturales, puede reparase claramente que la adición o suma y la multiplicación son operaciones compatibles, pos la multiplicación sería una adición de cantidaes iguales y gracies a esta compatibilidá puede desenvolvese la [[propiedá distributiva]], que s'espresa de la forma:

:{{math|''a'' × (''b'' + ''c'') {{=}} (''a'' × ''b'') + (''a'' × ''c'')}}

Aparte, estos dos operaciones cumplen coles propiedaes de:

* [[Operación interna|Clausura]] de dambes operaciones pa tolos númberos naturales {{math|''a''}} y {{math|''b''}}, yá que {{math|''a'' + ''b''}} y {{math|''a'' × ''b''}} son siempres númberos naturales.
* Esistencia d'[[elementu neutru|elementos neutros]] pa dambes operaciones, esto ye, pa cada númberu {{math|''a''}}, {{math|''a'' + 0 {{=}} ''a''}} y {{math|''a'' × 1 {{=}} ''a''}}.
* Non esistencia de [[divisor de cero divisores de cero]] pa la operación de multiplicación: si {{math|''a''}} y {{math|''b''}} son númberos naturales tales que {{math|''a'' × ''b'' {{=}} 0}}, entós {{math|''a'' {{=}} 0}} o {{math|''b'' {{=}} 0}}.

== Propiedaes de los númberos naturales ==

Los númberos naturales tán [[Orde total|totalmente ordenaos]]. La rellación d'orde {{math|≤}} puede redefinise asina: {{math|''a'' ≤ ''b''}} si y solu si esiste otru númberu natural {{math|''c''}} que cumple {{math|''a'' + ''c'' {{=}} ''b''}}. Esti orde ye compatible con toles operaciones aritmétiques yá que si {{math|''a''}}, {{math|''b''}} y {{math|''c''}} son númberos naturales y {{math|''a'' ≤ ''b''}}, entós cumplir:
:{{math|''a'' + ''c'' ≤ ''b'' + ''c''}}
:{{math|''a'' × ''c'' ≤ ''b'' × ''c''}}

Una propiedá importante del conxuntu de los númberos naturales ye que ye un [[conxuntu bien ordenáu]]
# Pa cualquier elementu {{math|''a''}} de {{math|A}} esisti {{math|''b''}} en {{math|A}} tal que {{math|''a'' < ''b''}}

Nos númberos naturales esiste'l [[algoritmu de la división]]. Daos dos númberos naturales {{math|''a''}} y {{math|''b''}}, si {{math|''b'' ≠ 0}}, podemos atopar otros dos númberos naturales {{math|''q''}} y {{math|''r''}}, denominaos ''cociente'' y ''restu'' respeutivamente, tales que:

:{{math|''a'' {{=}} (''b'' × ''q'') + ''r''}} y {{math|''r'' < ''b''}}

Los númberos {{math|''q''}} y {{math|''r''}} tán unívocamente determinaos por {{math|''a''}} y {{math|''b''}}.

Otres propiedaes más complexes de los númberos naturales, como la distribución de los [[númberu primu|númberos primos]] por casu, son estudiaes pola [[teoría de númberos]].
;Rellación d'orde La rellación
''socesor'' da-y una estructura d'orde.<ref>Consultar en discutiniu d'artículu</ref>

=== Conceutos globales y d'estructura ===

* Algebraicamente, el conxuntu {{math|{{unicode|ℕ}} {{=}} {0, 1, 2, ... ''n'', ...}}} ye un semigrupo aditivu asociativu con elementu neutru {{math|0}} y semigrupo multiplicativu asociativu con elementu neutru {{math|1}}.<ref>Rojas: "Algebra I"</ref>
* Topológicamente, {{unicode|ℕ}} tien la ''topoloxía cofinita''.<ref>Munkres: "Topoloxía" 2ª edición</ref>
* El cardinal de {{unicode|ℕ}} ye menor que'l cardinal de {{unicode|ℝ}}.<ref>Haaser: "Analís real"</ref>

== Usu de los númberos naturales ==
Los númberos naturales, son usaos pa dos propósitos fundamentalmente: pa describir la posición d'un elementu nuna secuencia ordenada, como se xeneraliza col conceutu de [[númberu ordinal (teoría de conxuntos)|númberu ordinal]], y p'especificar el tamañu d'un conxuntu finito, que de la mesma se xeneraliza nel conceutu de [[númberu cardinal (teoría de conxuntos)]]. Nel mundu de lo finito, dambos conceutos son coincidentes: los ordinales finitos son iguales a {{math|'''N'''}} según los cardinales finitos. Cuando movemos más allá de lo finito, dambos conceutos son distintos.

* Otru usu de gran importancia, dende'l puntu de vista matemáticu, ye na construcción de los [[númberu enteru|númberos enteros]], pa lo cual en {{math|'''N''' × '''N'''}} establezse una [[rellación d'equivalencia]], pa dos pares ordenaos de {{math|'''N''' × '''N'''}}:

:{{math|(''a'', ''b'') [[Virgulilla#Matemática|~]] (''c'', ''d'') [[Bicondicional|↔]] ''a'' + ''d'' {{=}} ''b'' + ''c''}}.

== Sustracción o resta con númberos naturales ==
Asumir que {{math|ℕ {{=}} {0, 1, 2, 3, ...}}} y sía {{math|H {{=}} {(''m'', ''n'') / ''m'', ''n'' ∈ ℕ; ''m'' ≥ ''n''}}}, sía {{math|''g''}} una aplicación de {{math|H}} en {{math|ℕ}}, tal que {{math|''g''(''m'', ''n'') {{=}} ''m'' - ''n'' {{=}} ''d'' ↔ ''m'' {{=}} ''d'' + ''n''}}, onde {{math|''m'', ''n''}} tán en {{math|H}} y {{math|d}} ta en {{math|ℕ}}. A l'aplicación {{math|''g''}} de {{math|H}} sobre {{math|ℕ}} llámase '''sustracción ''' o '''resta''' en {{math|ℕ}}. La diferencia {{math|''d'' {{=}} ''m'' - ''n''}}, solo ye posible nel casu que {{math|''m'' ≥ ''n''}}.

=== Proposiciones ===
* Si {{math|''m'' - ''n'' {{=}} ''p''}}, entós {{math|''m'' - ''p'' {{=}} ''n''}}
* Si {{math|''m'' - ''n'' {{=}} ''p''}}, entós {{math|(''m'' + ''r'') - (''n'' + ''r'') {{=}} ''p''}}
* Pa cualesquier {{math|''m'' ∈ ℕ}}, {{math|''m'' - ''m'' {{=}} 0}};
* como {{math|''m'' - 0 {{=}} ''m''}}, {{math|0}} fai'l papel d'elementu neutru pela derecha.
* Restar nun ye conmutativa nin asociativa.
* Si dase {{math|''m'' - ''n'' {{=}} ''p''}}, esiste una infinidá de númberos naturales {{math|''m''´}} y {{math|''n''´}} tal que {{math|''m''´ - ''n''´ {{=}} ''p''}}; de manera tal qu'en {{math|ℕ × ℕ}} la rellación {{math|(''m'', ''n'') [[Aproximamientu#Matemátiques|≈]] (''m''´ ,''n''´) [[Bicondicional|↔]] ''m'' + ''n''´ {{=}} ''n'' + ''m''´}} define una [[rellación d'equivalencia]], puntu de partida pa la construcción del [[Númberu enteru|{{math|ℤ}}]] de los númberos enteros.<ref>"Conceutu de númberu" (1970) Trejo, César, publicación de la OEA; Universidá Nacional de Buenos Aires</ref>

=== Observación ===
# Una operación en {{math|A}} definen dellos matemáticos como una ''aplicación de'' {{math|A × A}} ''en'' {{math|A}}. Si acepta esto, la sustracción nun ye una '''operación''' nel conxuntu de los naturales.<ref>Ayres: Álxebra mooderna, compendiu Schaumm</ref>
# Si define una aplicación en {{math|H}}, parte mesma de {{math|A × A}}, en {{math|A}} tal aplicación llámase '''operación parcialmente definida''' en {{math|A}}. Almitíu lo anterior, la sustracción ye una ''operación parcialmente definida'' nos númberos naturales.<ref>Carranza: Álxebra, Studium, Lima,1973</ref>

== Topologización de N ==
Nel conxuntu {{math|{{unicode|ℕ}}}} de los naturales cabo la topoloxía discreta y la cofinita, tamién dalguna topoloxía d'orde.<ref>Munkres: Topoloxía ISBN 978-84-205-3180-9</ref>

==Principiu de permanencia==
Ye un teorema venceyáu al sistema de los númberos naturales y les sos ampliaciones aplicativas. Esta proposición espresa que les propiedaes de cálculu avezaos pa los númberos naturales, tamién son llexítimes pa los númberos estructurados por aciu operaciones inverses. Como exemplu: según el principiu de permanencia, les propiedaes de la potenciación siguen válides entá nel casu de númberos con esponentes fraccionarios.

* (ab)<sup>5</sup> = a⁵b⁵ ⇒ (ab)<sup>2/3</sup> = a<sup>2/3</sup> b<sup>2/3</sup> ente otres lleis de la potenciación.<ref>Diccionarios RIODUERO. Matemática. ISBN 84-220-0832-7</ref>

== Ver tamién ==
* [[Númberos pares]]
* [[Númberos primos]]
* [[Númberu capicúa]]
* [[Númberos impares]]
* [[Númberu enteru|Númberos Enteros positivos]]
* [[Númberu primu pitagóricu|Númberos pitagóricos]]
* [[Númberos perfectos]]
* [[Númberos triangulares]]
* [[Númberos abondosos]]
* [[Socesión matemática|Socesiones]]
* [[Progresión|Progresiones]]

== Referencies ==
{{llistaref|2}}

== Bibliografía ==
* {{cita llibru |autor=Hernández Hernández, Fernando |títulu=Teoría de conxuntos |añu=1998 |editorial=Méxicu D.F.: Sociedá Matemática Mexicana |id=ISBN 970-32-1392-8}}
* {{cita llibru |apellíu=Hurtado |nome=F. |títulu=Atles de matemátiques|edición=1 |fecha = 2 de 1997|editorial=Idea Books, S.A. |isbn=978-84-8236-049-2 |páxina=12}}
* {{cita llibru |títulu=Cryptography in C and C++ |nome=Michael|apellíos=Welschenbach |editorial=Apress |añu=2005 |isbn=9781590595022|idioma=inglés}}

== Enllaces esternos ==
{{Wikcionariu|ℕ}}

{{ORDENAR:Numbero natural}}

{{Tradubot|Número natural}}{{Control d'autoridaes}}
[[Categoría:Matemática elemental]]
[[Categoría:Númberos enteros]]
[[Categoría:Teoría de númberos elemental]]
[[Categoría:Númberos cardinales]]