Ver la fonte de Númberu enteru

{{Ficha xenérica}}
[[Ficheru:Subtraction.svg|thumb|380x380px| La [[resta]] de dos [[númberos naturales]] nun ye un númberu natural cuando'l [[sustraendo]] ye mayor que'l [[minuendu]], sinón que'l so valor ye [[númberu negativu|negativu]]: na imaxe, solo pueden sustraese 3 [[banana|plátanos]], polo que s'apunta un plátanu debíu» o «negativu» (en colloráu).]]
Un '''númberu enteru''' ye un elementu del [[conxuntu]] numbéricu que contién los númberos naturales <math>\mathbb{N}=\{1, 2, 3, 4, \cdots\}</math>, los sos opuestos y el cero.<ref name=ne>{{cita llibru |apellíu=Arias Cabezas |apellíu2=Maza Sáez |nome=José María |nome2=Ildefonso |añu=2008 |títulu=Matemátiques 1 |fechaaccesu=1 de mayu de 2017 |páxina=14|capítulu=Aritmética y Álxebra |allugamientu=Madrid |editorial=Grupu Editorial Bruño, Sociedá Llindada |apellíu-editor=Carmona Rodríguez |apellíu-editor2=Díaz Fernández |nome-editor=Manuel |nome-editor2=Francisco Javier|isbn=9788421659854 |númberu-autores=2}}</ref> Los enteros negativos, como −1 o −3 (lléense «menos unu», «menos trés», etc.), son menores que cero y tolos enteros [[númberu positivu|positivos]]. Pa resaltar la diferencia ente positivos y negativos, puede escribise un signu «más» delantre de los positivos: +1, +5, etc. Y si nun s'escribe signu al númberu asumir que ye positivu.

El conxuntu de tolos númberos enteros representar pola lletra <math>\mathbb{Z}=\{..., -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3,\,...\}</math> lletra inicial del vocablu [[idioma alemán|alemán]] ''Zahlen'' («númberos», pronunciáu {{IPA|[ˈtsaːlən]}}).

Na recta numbérica atopamos los númberos negativos a la izquierda del cero y a la so derecha los positivos.

Los númberos enteros pueden [[suma]]rse, [[resta]]rse, [[multiplicación|multiplicase]] y [[división (matemátiques)|estremase]], siguiendo'l modelu de los númberos naturales añadiendo unes normes pal usu del [[signu (matemátiques)|signu]].

Los númberos enteros estienden la utilidá de los númberos naturales pa cuntar coses. Pueden utilizase pa contabilizar perdes: si nun colexu entren 80 alumnos nuevos de primer cursu un ciertu añu, pero hai 100 alumnos d'últimu cursu que pasaron a [[educación secundaria]], en total va haber 100 − 80 = 20 alumnos menos; pero tamién puede dicise que dichu númberu aumentó en 80 − 100 = −20 alumnos.

Ciertes magnitúes como la [[temperatura]] o l'[[altitú|altor]] usen valores per debaxo del cero. L'altor del [[Monte Everest|Everest]] ye 8848 [[metros]] percima del [[nivel del mar]], y otra manera, la vera del [[mar Muertu]] ta 423 metros per debaxo del nivel del mar; esto ye, el so altor puede espresase como −423&nbsp;m.

== Introducción ==

Los [[númberos negativos]] son necesarios pa realizar operaciones como:
:3 − 5 = ?
Cuando'l [[minuendu]] ye más pequeñu que'l [[sustraendo]], la [[resta]] nun puede realizase con númberos naturales. Sicasí, hai situaciones nes que ye útil el conceutu de númberos negativos, como por casu al falar de ganancies y perdes:

'''Exemplu:''' Un home xuega a la ruleta dos díes siguíos. Si'l primeru gana 2000 pesos y a otru día pierde 1000, l'home ''ganó en total'' 2000 − 1000 = $ 1000. Sicasí, si'l primer día gana 500 y al siguiente pierde 2000, dizse que ''perdió en total'' 2000 − 500 = $ 1500. La espresión usada camuda en cada casu: ''ganó en total'' o ''perdió en total'', dependiendo de si les ganancies fueron mayores que les perdes o viceversa. Estos dos posibilidaes pueden espresase utilizando'l signu de los númberos negativos (o positivos): nel primer casu ganó en total 2000 − 1000 = + $ 1000 y nel segundu ganó en total 500 − 2000 = − $ 1500. Asina, entiéndese qu'una perda ye una ''ganancia negativa''.

=== Númberos con signu ===

{{AP|Signu (matemátiques)}}
Los [[númberos naturales]] 1, 2, 3,... son los númberos ordinarios que s'utilicen para [[cuntar]]. Al añader un signu ''menos'' («−») delantre llógrense los númberos negativos:
{{definición|Un '''númberu enteru negativu''' ye un númberu natural como 1, 2, 3, etc. precedíu d'un signu ''menos'', «−». Por casu −1, −2, −3, etcétera. Lléense «menos 1», «menos 2», «menos 3»,...}}
Amás, pa estremalos meyor, a los númberos naturales añader un signu ''más'' («+») delantre y llámase-yos númberos positivos.
{{definición|Un '''númberu enteru positivu''' ye un númberu natural como 1, 2, 3,... precedíu d'un signu ''más''. «+».<br />}}
El cero nun ye positivu nin negativu, y puede escribise con signu ''más'' o ''menos'' o ensin signu indistintamente, yá que sumar o restar cero ye igual a nun faer nada. Toa esta coleición de númberos son los llamaos enteros».
{{definición|Los '''númberos enteros''' son el conxuntu de tolos númberos enteros con signu (positivos y negativos) xunto col 0. Represéntase-yos pola lletra {{math|'''Z'''}}, tamién escrita en «[[blackboard bold|negrina de cayuela]]» como {{math|{{unicode|ℤ}}}} :<br />
{{ecuación|<math>\mathbb Z=\{\dots,-2,-1,0,+1,+2,\dots\}</math>}}
}}

=== La recta numbérica ===

{{AP|Recta numbérica}}
Los númberos enteros negativos son más pequeños que tolos positivos y que'l cero. Esto ye, tou númberu que s'atopa allugáu a la derecha ye mayor que'l númberu que s'atopa allugáu a la izquierda. Pa entender como tán ordenaos utilízase la [[recta numbérica]]:
[[Ficheru:Integers-line.svg|centru]]
Ver con esta representación que los númberos negativos son más pequeños cuanto más a la izquierda, esto ye, cuanto mayor ye'l númberu tres el signu. A esti númberu llámase-y el [[valor absolutu]]:
{{definición|El '''valor absolutu''' d'un númberu enteru ye la distancia qu'hai del orixe (cero) hasta un puntu dau. El valor absolutu de 0 ye a cencielles 0. Representar por dos barras verticales «{{mabs|1= }}».}}
'''Exemplos.''' {{mabs|+5}} = 5 , {{mabs|−2}} = 2 , {{mabs|0}} = 0.

L'orde de los númberos enteros puede resumise en:
{{definición|El '''orde de los númberos enteros''' defínese como:
*Daos dos númberos enteros de signos distintos, {{math|+''a''}} y {{math|−''b''}}, el negativu ye menor que'l positivu: {{math|−''b'' &lt; +''a''}}.
*Daos dos númberos enteros col mesmu signu, el ''menor'' de los dos númberos ye:
**El de menor valor absolutu, si'l signu común ye «+».
**El de mayor valor absolutu, si'l signu común ye «−».
*El cero, 0, ye menor que tolos positivos y mayor que tolos negativos.
}}
'''Exemplos.''' +23 &gt; −56 , +31 &lt; +47 , −15 &lt; −9 , 0 &gt; −36

== Operaciones con númberos enteros ==

Los númberos enteros pueden [[suma]]rse, [[resta]]rse, [[multiplicación|multiplicase]] y [[división (matemátiques)|estremase]], igual que puede faese colos [[númberos naturales]].

=== Suma ===

[[Ficheru:AdditionRules-2.svg|thumb|330px|Nesta figura, el [[valor absolutu]] y el [[signu (matemátiques)|signu]] d'un númberu representar pol tamañu del [[círculu]] y el so color.]]
Na suma de dos númberos enteros, determinar por separáu'l [[signu (matemátiques)|signu]] y el [[valor absolutu]] de la resultancia.
{{definición|Pa '''sumar''' dos númberos enteros, determinar el signu y el valor absolutu de la resultancia de la siguiente manera:
* Si ambos sumandos tienen el mesmu signu: esi ye tamién el signu de la resultancia, y el so valor absolutu ye la suma de los valores absolutos de los sumandos.
* Si ambos sumandos tienen distintu signu:
** El signu de la resultancia ye'l signu del sumandu con mayor valor absolutu.
** El valor absolutu de la resultancia ye la diferencia ente'l mayor valor absolutu y el menor valor absolutu, d'ente los dos sumandos.
}}
'''Exemplos.''' (+21) + (−13) = +8 , (+17) + (+26) = +43 , (−41) + (+19) = −22 , (−33) + (−28) = −61

La suma de númberos enteros portar de manera similar a la suma de númberos naturales:
{{teorema|1=La suma de númberos enteros cumple les siguientes propiedaes:
* '''[[Propiedá asociativa]].''' Daos trés númberos enteros {{math|''a''}}, {{math|''b''}} y {{math|''c''}}, les sumes {{math|(''a'' + ''b'') + ''c''}} y {{math|''a'' + (''b'' + ''c'')}} son iguales.
* '''[[Propiedá conmutativa]].''' Daos dos númberos enteros {{math|''a''}} y {{math|''b''}}, les sumes {{math|''a'' + ''b''}} y {{math|''b'' + ''a''}} son iguales.
*'''[[Elementu neutru]].''' Tolos númberos enteros {{math|''a''}} queden inalteraos al suma-yos 0: {{math|1=''a'' + 0 = ''a''}}.
}}

'''Exemplu.'''<br />
# Propiedá asociativa:
#: [ (−13) + (+25) ] + (+32) = (+12) + (+32) = (+44)
#: (−13) + [ (+25) + (+32) ] = (−13) + (+57) = (+44)
# Propiedá conmutativa:
#: (+9) + (−17) = −8
#: (−17) + (+9) = −8

Amás, la suma de númberos enteros tien una propiedá adicional que nun tienen los númberos naturales:
{{teorema|1='''[[Elementu opuestu]] o simétricu.''' Pa cada númberu enteru {{math|''a''}}, esiste otru enteru {{math|−''a''}}, que sumáu al primeru resulta en cero: {{math|1=''a'' + (−''a'') = 0}}.}}

=== Resta ===

La [[resta]] de númberos enteros ye bien senciella, yá que agora ye un casu particular de la suma.
{{definición|La '''resta''' de dos númberos enteros (''minuendu'' menos ''sustraendo'') realízase sumando'l minuendu más el sustraendo camudáu de signu.}}
'''Exemplos'''<br/>
(+10) − (−5) = (+10) + (+5) = +15 <br/>(−7) − (+6) = (−7) + (−6) = −13 <br/>(−4) − (−8) = (−4) + (+8) = + 4<br/>(+2) − (+9) = (+2) + (−9) = −7

=== Multiplicación ===

La [[multiplicación]] de númberos enteros, al igual que la suma, rique determinar por separáu'l [[signu (matemátiques)|signu]] y [[valor absolutu]] de la resultancia.
{{definición|Na '''multiplicación''' (o '''división''') de dos númberos enteros determinar el valor absolutu y el signu de la resultancia de la siguiente manera:
* El valor absolutu ye'l productu de los valores absolutos de los factores.
* El signu ye «+» si los signos de los factores son iguales, y «−» si son distintos.
}}
Pa recordar el signu de la resultancia, tamién s'utiliza la [[regla de los signos]]:
{{definición|títulu=Regla de los signos|1=
* (+) × (+)=(+) ''Más por más igual a más.''
* (+) × (−)=(−) ''Más por menos igual a menos.''
* (−) × (+)=(−) ''Menos por más igual a menos.''
* (−) × (−)=(+) ''Menos por menos igual a más.''
}}
'''Exemplos.''' (+4) × (−6) = −24 , (+5) × (+3) = +15 , (−7) × (+8) = −56 , (−9) × (−2) = +18.

La multiplicación de númberos enteros tien tamién propiedaes similares a la de [[númberos naturales]]:
{{teorema|1=La multiplicación de númberos enteros cumple les siguientes propiedaes:
* '''[[Propiedá asociativa]].''' Daos trés númberos enteros {{math|''a''}}, {{math|''b''}} y {{math|''c''}}, los productos {{math|(''a'' × ''b'') × ''c''}} y {{math|''a'' × (''b'' × ''c'')}} son iguales.
* '''[[Propiedá conmutativa]].''' Daos dos númberos enteros {{math|''a''}} y {{math|''b''}}, los productos {{math|''a'' × ''b''}} y {{math|''b'' × ''a''}} son iguales.
*'''[[Elementu neutru]].''' Tolos númberos enteros {{math|''a''}} queden inalteraos al multiplicalos por 1: {{math|1=''a'' × 1 = ''a''}}.
}}
'''Exemplu.'''
# Propiedá asociativa:

#: [ (−7) × (+4) ] × (+5) = (−28) × (+5) = −140
#: (−7) × [ (+4) × (+5) ] = (−7) × (+20) = −140
# Propiedá conmutativa:
#: (−6) × (+9) = −54
#: (+9) × (−6) = −54

La suma y multiplicación de númberos enteros tán rellacionaes, al igual que los númberos naturales, pola propiedá distributiva:
{{teorema|1='''[[Propiedá distributiva]].''' Daos trés númberos enteros {{math|''a''}}, {{math|''b''}} y {{math|''c''}}, el productu {{math|''a'' × (''b'' + ''c'')}} y la suma de productos {{math|(''a'' × ''b'') + (''a'' × ''c'')}} son idénticos.
}}

'''Exemplu.'''
* (−7) × [ (−2) + (+5) ] = (−7) × (+3) = −21
* [ (−7) × (−2) ] + [ (−7) × (+5) ] = (+14) + (−35) = −21

== Propiedaes alxebraiques ==
{{AP|Propiedaes de los númberos enteros}}

* El conxuntu de los númberos enteros, consideráu xuntu operación adición ye grupu abelianu.
# m, n en Z → a+b en Z 
# m,n, p en z → (m+n)+p = m+(n+p) asociative
# cualquier m de Z, con 0, m+0 = 0, cero elementu neutru.
# para cualquier m de Z tien -m, m +(-m) = 0. elementu opuestu
# Además m+n = n+m

* El conxuntu de los númberos enteros, consideráu xunto colos sos [[operación binaria|operaciones]] d'[[suma|adición]] y [[multiplicación]], tien una estructura qu'en matemátiques se denomina [[aniellu (matemátiques)|aniellu]]; y tien una [[rellación d'orde]]. Los númberos enteros pueden amás construyise a partir de los [[númberos naturales]] por aciu [[clase d'equivalencia|clases d'equivalencia]].

== Ver tamién ==
*[[Parte entera]]
*[[Enteru (tipu de datu)]]

== Referencies ==
{{llistaref}}

== Bibliografía ==
{{refcomienza}}
* {{cita llibru |apellíos=Bayley |nome=R. |apellíos2=Day |nome2=R. |apellíos3=Frey |nome3=P. |apellíos4=Howard |nome4=A. |apellíos5=Hutchens |nome5=D. |apellíos6=McClain |nome6=K. |títulu=Mathematics. Applications and Concepts. Course 2 |url=https://books.google.es/books?id=23DBnQAACAAJ |añu=2006 |páxines=21119 |editorial=McGraw-Hill |isbn=0-07-865263-4 |idioma=inglés}}
{{reftermina}}

== Enllaces esternos ==
{{wc}}

{{ORDENAR:Numbero enteru}}{{Control d'autoridaes}}{{Tradubot|Número entero}}

[[Categoría:Teoría de númberos elemental]]
[[Categoría:Teoría de grupos abelianos]]
[[Categoría:Aritmética]]