Ver la fonte de Distribución de Pareto

{{Ficha de distribución de probabilidá|
 name =Pareto|
 type =density|
 pdf_image =[[Ficheru:Pareto distributionPDF.png|325px|Pareto probability density functions for various ''α'']]<br /><small>Funciones de densidá de probabilidá pa distintes ''α''&nbsp; con ''x''<sub>m</sub>&nbsp;=&nbsp;1. La exa horizontal ye'l parámetru ''x''. Como ''α''&nbsp;→&nbsp;∞ la distribución avérase δ(''x''&nbsp;−&nbsp;''x''<sub>m</sub>) onde δ ye la [[delta de Dirac]].</small>|
 cdf_image =[[Ficheru:Pareto distributionCDF.png|325px|Pareto cumulative distribution functions for various ''α'']]<br /><small>unciones de densidá de probabilidá pa distintes ''α''&nbsp; con ''x''<sub>m</sub>&nbsp;=&nbsp;1. La exa horizontal ye'l parámetru ''x''.</small>|
 parameters =<math>x_\mathrm{m}>0\,</math> [[parámetru d'escala|escala]] ([[númberu real|real]])<br /><math>\alpha>0\,</math> [[parámetru de forma|forma]] (real)|
 support =<math>x \in [x_\mathrm{m}; +\infty)\!</math>|
 pdf =<math>\frac{\alpha\,x_\mathrm{m}^\alpha}{x^{\alpha+1}}\text{ for }x>x_m\!</math>|
 cdf =<math>1-\left(\frac{x_\mathrm{m}}{x}\right)^\alpha \!</math>|
 mean =<math>\frac{\alpha\,x_\mathrm{m}}{\alpha-1}\text{ for }\alpha>1\,</math>|
 medien =<math>x_\mathrm{m} \sqrt[\alpha]{2}</math>|
 mode =<math>x_\mathrm{m}\,</math>|
 variance =<math>\frac{x_\mathrm{m}^2\alpha}{(\alpha-1)^2(\alpha-2)}\text{ for }\alpha>2\,</math>|
 skewness =<math>\frac{2(1+\alpha)}{\alpha-3}\,\sqrt{\frac{\alpha-2}{\alpha}}\text{ for }\alpha>3\,</math>|
 kurtosis =<math>\frac{6(\alpha^3+\alpha^2-6\alpha-2)}{\alpha(\alpha-3)(\alpha-4)}\text{ for }\alpha>4\,</math>|
 entropy =<math>\ln\left(\frac{\alpha}{x_\mathrm{m}}\right) - \frac{1}{\alpha} - 1\!</math>|
 mgf =<math>\alpha(-x_\mathrm{m}t)^\alpha\Gamma(-\alpha,-x_\mathrm{m}t)\text{ for }t<0\,</math>
 | char = <math>\alpha(-ix_\mathrm{m}t)^\alpha\Gamma(-\alpha,-ix_\mathrm{m}t)\,</math>
 | fisher = <math>\begin{pmatrix}\frac{\alpha}{x_m^2} & -\frac{1}{x_m} \\ -\frac{1}{x_m} & \frac{1}{\alpha^2}\end{pmatrix}</math>
 }}

En [[estadística]] la '''distribución Pareto''', formulada pol inxenieru civil, economista y sociólogu [[Vilfredo Pareto]], ye una [[distribución de probabilidá continua]] con dos parámetros, que tien aplicación en disciplines como la [[socioloxía]], [[xeofísica]] y [[economía]].<ref>{{cita publicación |autor= Guerriero, V. (2012) |títulu= Power Law Distribution: Method of Multi-scale Inferential Statistics |publicación= Journal of Modern Mathematics Frontier |url= http://www.seipub.org/sjmmf/MostDownloaded.aspx }}</ref> En delles disciplines dacuando refiérense a la [[llei de Bradford]]. Per otru llau, l'equivalente discretu de la distribución Pareto ye la [[distribución zeta]] (la [[llei de Zipf]]).

== Probabilidá acumulada ==

Si ''X'' pertenez al [[dominiu de definición|dominio de la variable]] de la distribución de pareto, entós la probabilidá de que ''X'' seya mayor qu'un númberu ''x'' vien dada por:

:<math>Pr(X>x) = \begin{cases}
\left(\frac{x_\mathrm{m}}{x}\right)^\alpha & \text{si }x\ge x_\mathrm{m}, \\
1 & \text{si } x < x_\mathrm{m}.
\end{cases}
</math>

onde ''x''<sub>m</sub> ye'l valor mínimu posible (positivu) de ''X'', y ''α'' ye un parámetru. La familia de les distribuciones de Pareto se parametrizan por dos cantidaes, ''x''<sub>m</sub> y ''α''. Cuando esta distribución ye usada nun modelu sobre la distribución de riqueza, el parámetru ''α'' ye conocíu como [[índiz de Pareto]].

== Función de densidá ==

A partir de la probabilidá acumulada, puede deducise por aciu una [[derivada]] que la función de [[densidá de probabilidá]] ye:

:<math>
f_X(x)= \begin{cases} 
 \alpha\, \dfrac{x_\mathrm{m}^\alpha}{x^{\alpha+1}} & \text{si } x > x_\mathrm{m}, \\[12pt]
 0 & \text{si } x < x_\mathrm{m}. 
\end{cases} 
</math>

== Propiedaes ==

* La [[media estadística|media]] o [[valor esperáu]] d'una [[variable aleatoria]] ''X'', que sigue una distribución de Pareto con parámetru ''α''&nbsp;>&nbsp;1 ye :

:: <math>Y(X)=\frac{\alpha x_\mathrm{m}}{\alpha-1} \,</math>
:
: (si ''α''&nbsp;≤&nbsp;1, el valor esperáu nun esiste).

* La [[varianza]] ye :

:: <math>\mathrm{var}(X)=\left(\frac{x_\mathrm{m}}{\alpha-1}\right)^2 \frac{\alpha}{\alpha-2}.</math>
:
: (Si ''α''&nbsp;≤&nbsp;2, la varianza nun esiste).

* Los [[momentu estándar|momentos]] son
:
:: <math>\mu_n'=\frac{\alpha x_\mathrm{m}^n}{\alpha-n}, \,</math>
:
: pero'l ''n''-ésimo momentu esiste namái pa ''n''&nbsp;<&nbsp;''α''.

* La [[función xeneradora de momentos]] namái ta definida pa valores non positivos de ''t''&nbsp;≤&nbsp;0 según:
:
:: <math>M\left(t,\alpha,x_\mathrm{m}\right) = Y(y^{tX}) = \alpha(-x_\mathrm{m} t)^\alpha\Gamma(-\alpha,-x_\mathrm{m} t)\text{ and }M\left(0,\alpha,x_\mathrm{m}\right)=1.\,</math>

=== Caso dexeneráu ===

La función de la [[delta de Dirac]] ye un casu llende de la densidá de Pareto:

: <math>\lim_{\alpha\rightarrow \infty} f(x;\alpha,x_\mathrm{m})=\delta(x-x_\mathrm{m}). \, </math>

== Distribución simétrica ==

Puede definise una Distribución de Pareto Simétrica según:<ref>{{cita web|títulu=Do Financial Returns Have Finite or Infinite Variance? A Paradox and an Explanation|authors=Grabchak, M. & Samorodnitsky, D.|páxines=7-8|url=http://people.orie.cornell.edu/~gennady/techreports/RetTailParadoxExplFinal.pdf}}</ref>

: <math>f(x;\alpha,x_\mathrm{m}) = \begin{cases}
(\alpha x_\mathrm{m}^{\alpha}/2) |x|^{-\alpha-1} & \text{si }|x|>x_\mathrm{m} \\
0 & \text{restu}.
\end{cases}
</math>

== Distribución Xeneralizada de Pareto ==
{{Ficha de distribución de probabilidá |
 name = Pareto Xeneralizáu |
 type =density|
 pdf_image =|
 cdf_image =|
 parameters =
<math>\mu \in (-\infty,\infty) \,</math> [[parámetru de llocalización|llocalización]] ([[Númberos reales|real]])<br />
<math>\sigma \in (0,\infty) \,</math> [[parámetru d'escala|escala]] (real)<br />
<math>\xi\in (-\infty,\infty) \,</math> [[Parámetru de forma|forma]] (real)|
 support =<math>x \geqslant \mu\,\;(\xi \geqslant 0)</math><br />
<math>\mu \leqslant x \leqslant \mu-\sigma/\xi\,\;(\xi < 0)</math>|
 pdf =<math>\frac{1}{\sigma}(1 + \xi z )^{-(1/\xi +1)} </math><br />
where <math>z=\frac{x-\mu}{\sigma}</math>|
 cdf =<math>1-(1+\xi z)^{-1/\xi} \,</math>|
 mean =<math>\mu + \frac{\sigma}{1-\xi}\, \; (\xi < 1) </math>|
 medien =<math>\mu + \frac{\sigma( 2^{\xi} -1)}{\xi} </math>|
 variance =<math>\frac{\sigma^2}{(1-\xi)^2(1-2\xi)}\, \; (\xi < 1/2) </math>|
}}
La familia de '''distribuciones xeneralizaes de Pareto (GPD)''' tienen tres parámetros <math> \mu,\sigma \,</math> y <math> \xi \,</math>.

La función de [[probabilidá acumulada]] ye

: <math>F_{(\xi,\mu,\sigma)}(x) = \begin{cases}
1 - \left(1+ \frac{\xi(x-\mu)}{\sigma}\right)^{-1/\xi} & \text{si }\xi \neq 0, \\
1 - \exp \left(-\frac{x-\mu}{\sigma}\right) & \text{si }\xi = 0.
\end{cases}
</math>

Pa <math> x \geqslant \mu </math>, con <math> \xi \geqslant 0 \,</math>, y <math> x \leqslant \mu - \sigma /\xi </math> con <math> \xi < 0 \,</math>, onde <math>\mu\in\mathbb R</math> ye'l parámetru ''llocalización'', <math>\sigma>0 \,</math> ye'l parámetru ''escala'' y <math>\xi\in\mathbb R</math> ye'l parámetru ''forma''. Nótese que delles referencies tomen el parámetru ''forma'' como <math> \kappa = - \xi \,</math>.

La función de [[densidá de probabilidá]] ye:

: <math>f_{(\xi,\mu,\sigma)}(x) = \frac{1}{\sigma}\left(1 + \frac{\xi (x-\mu)}{\sigma}\right)^{\left(-\frac{1}{\xi} - 1\right)}.</math>

o

: <math>f_{(\xi,\mu,\sigma)}(x) = \frac{\sigma^{\frac{1}{\xi}}}{\left(\sigma + \xi (x-\mu)\right)^{\frac{1}{\xi}+1}}.</math>

de nuevu, pa <math> x \geqslant \mu </math>, y <math> x \leqslant \mu - \sigma /\xi </math> si <math> \xi < 0 \,</math>

==Aplicación==

[[Ficheru:FitParetoDistr.tif|thumb|250px|left|Aplicación de la distribución de probabilidá acumulada de Pareto a agües diaries máximes.<ref>CumFreq software p'adecuación de distribuciones de probabilidá [https://www.waterlog.info/cumfreq.htm]</ref> ]]


*Na [[hidroloxía]], utilízase la distribución de Pareto p'analizar [[Variable aleatoria|variables aleatories]] como valores máximos de la precipitación y la descarga de ríos,<ref name = "Oosterbaan">{{cita llibru|editor-last=Ritzema |editor-first=H.P. |first1=R.J. |last1=Oosterbaan |chapter=Chapter 6 Frequency and Regression Analysis|añu=1994 |títulu=Drainage Principles and Applications, Publication 16 |publisher=International Institute for Land Reclamation and Improvement (ILRI) |location=Wageningen, The Netherlands |pages=175–224 |url=http://www.waterlog.info/pdf/freqtxt.pdf |isbn=90-70754-33-9}}</ref> y amás pa describir dómines de seca.<ref>{{cita publicación |doi=10.1016/j.jhydrol.2010.04.035 |títulu=An extreme value analysis of UK drought and projections of change in the future |añu=2010 |last1=Burke |first1=Eleanor J. |last2=Perry |first2=Richard H.J. |last3=Brown |first3=Simon J. |journal=Journal of Hydrology |volume=388 |pages=131}}</ref>

 
::La imaxe azul ilustra un exemplu d'axuste de la distribución de Weibull a agües máximes diaries ordenaes, amosando tambien la franxa de 90% de [Intervalu d'enfotu|enfotu]], basada na [[distribución binomial]]. 


Les observaciones presenten los [[Gráficu Q-Q|marcadores de posición]], como parte del analisis de [[Frecuencia estadística|frecuencia acumulada]].<br /><br /><br />

== Software ==
Puede usase [[software]] y un [[programa d'ordenador]] pal axuste d'una [[distribución de probabilidá]], incluyendo la de Pareto, a una serie de datos:
* [http://www.mathwave.com/articles/distribution_fitting.html Easy fit] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180223085046/http://www.mathwave.com/articles/distribution_fitting.html |date=2018-02-23 }}, "data analysis & simulation"
* {{enllaz rotu|1=[http://www.mathworks.nl/products/statistics/deamos.html?file=/products/deamos/shipping/stats/cfitdfitdemo.html MathWorks Benelux] |2=http://www.mathworks.nl/products/statistics/deamos.html?file=%2Fproducts%2Fdemos%2Fshipping%2Fstats%2Fcfitdfitdemo.html |bot=InternetArchiveBot }}
* [http://www.vosesoftware.com/ ModelRisk], "risk modelling software"
* Ricci distributions, [http://cran.r-project.org/doc/contrib/Ricci-distributions-en.pdf fitting distrubutions with R], Vito Ricci, 2005
* Risksolver, [http://www.solver.com/risksolver8.htm automatically fit distributions and parameters to samples]
* [http://www.statsoft.com/textbook/distribution-fitting/ StatSoft distribution fitting]
* CumFreq [http://www.waterlog.info/cumfreq.htm], llibre ensin costu, inclúi [[intervalu de confianza|intervalo d'enfotu]] a base de la [[distribución binomial]]

== Cites ==
{{llistaref}}

* Barry C. Arnold (1983). ''Pareto Distributions'', International Co-operative Publishing House, Burtonsville, Maryland. ISBN 0-899974-012-1.
* Christian Kleiber and Samuel Kotz (2003). ''Statistical Size Distributions in Economics and Actuarial Sciences'', New York:Wiley. xi+332 pp. ISBN 0-471-15064-9.
* Lorenz, M. O. (1905). "Methods of measuring the concentration of wealth". Publications of the American Statistical Association. 9: 209–219.

== Enllaces esternos ==
* [http://www.elektro-energetika.cz/calculations/distrpareto.php?language=espanol Calculadora - Distribución de Pareto]


{{Control d'autoridaes}}{{Tradubot|Distribución de Pareto}}

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