Ver la fonte de Conxuntu

{{ficha xenérica}}
En [[matemátiques]], un '''conxuntu''' ye una coleición d'elementos considerada en sí mesma como un oxetu. Los elementos d'un conxuntu, pueden ser les siguientes: [[Persona|persones]], [[númberu|númberos]], [[color]]es, [[lletra|lletres]], [[figura xeométrica|figures]], etc. Dizse qu'un '''[[elementu d'un conxuntu|elementu]]''' (o '''miembru''') pertenez al conxuntu si ta definíu como incluyíu de dalguna manera dientro d'él.

Exemplu: el conxuntu de los colores del [[arcu la vieya]] ye:

:{{math|''AI'' {{=}} {Colloráu, Naranxa, Mariellu, Verde, Azul, Añil, Violeta}|}}

Un conxuntu suel definise por aciu una propiedá que tolos sos elementos tienen. Por casu, pa los [[númberos naturales]], si considérase la propiedá de ser un [[númberu primu]], el conxuntu de los númberos primos ye:

:{{math|''P'' {{=}} {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}|}}

Un conxuntu queda definíu namái polos sos miembros y por namás. En particular, un conxuntu puede escribise como una llista d'elementos, pero camudar l'orde de dicha llista o añader elementos repitíos nun define un conxuntu nuevu. Por casu:

:{{math|''S'' {{=}} {Llunes, Martes, Miércoles, Xueves, Vienres} {{=}} {Martes, Vienres, Xueves, Llunes, Miércoles}|}}
:{{math|''AI'' {{=}} {Colloráu, Naranxa, Mariellu, Verde, Azul, Añil, Violeta} {{=}} {Mariellu, Naranxa, Colloráu, Verde, Violeta, Añil, Azul}|}}

Los conxuntos pueden ser [[conxuntu finito|finitos]] o [[conxuntu infinitu|infinitos]]. El conxuntu de los númberos naturales ye infinitu, pero'l conxuntu de los [[planeta|planetes]] nel [[Sistema Solar]] ye finito (tien ocho elementos). Amás, los conxuntos pueden combinase por aciu [[álxebra de conxuntos|operaciones]], de manera similar a les [[Aritmética#Operaciones básiques|operaciones con númberos]].

Los conxuntos son un conceutu [[noción primitiva|primitivu]], nel sentíu de que nun ye posible definilos en términos de nociones más elementales, polo que'l so estudiu puede realizase de manera informal, apelando a la intuición y a la lóxica. Per otru llau, son el conceutu fundamental de la matemática: por aciu ellos puede formulase'l restu d'oxetos matemáticos, como los númberos y les [[función matemática|funciones]], ente otros. El so estudiu detalláu riqui pos la introducción d'[[teoría axomática de conxuntos|axomes]] y conduz a la [[teoría de conxuntos]].

== Historia ==
El conceutu de conxuntu como oxetu astractu nun empezó a emplegase en matemátiques hasta'l [[sieglu XIX]], a midida que estenábense les duldes sobre la noción d'[[conxuntu infinitu|infinitu]].<ref>Esta seición ta basada en {{cita web|autor=Ferreirós, J.|títulu=The early development of set theory|url=http://plato.stanford.edu/entries/settheory-early/|obra=[[The Stanford Encyclopedia of Philosophy]] (Fall 2011 edition)|idioma=inglés|fechaaccesu=15 d'avientu de 2011|editor=Edward N. Zalta|fechaarchivu=30 de xunetu de 2012|urlarchivu=https://www.webcitation.org/69YJbQ9RY?url=http://plato.stanford.edu/entries/settheory-early/}}</ref> Los trabayos de [[Bernard Bolzano]] y [[Bernhard Riemann]] yá conteníen idees rellacionaes con una visión conjuntista de la matemática. Les contribuciones de [[Richard Dedekind]] a la álxebra taben formulaes en términos claramente conjuntistas, qu'entá prevalecen na matemática moderna: [[rellación d'equivalencia|rellaciones d'equivalencia]], [[partición (matemática)|particiones]], [[homomorfismos]], etc., y él mesmu explicitó les hipótesis y operaciones relatives a conxuntos que precisó nel so trabayu.

La [[teoría de conxuntos]] como disciplina independiente atribúyese usualmente a [[Georg Cantor]] el gran creador de les matematicas. Empezando coles sos investigaciones sobre conxuntos numbéricos, desenvolvió un estudiu sobre los conxuntos infinitos y les sos propiedaes. La influencia de Dedekind y Cantor empezó a ser determinante a finales del sieglu XIX, nel procesu de «axiomatización» de la matemática, nel que tolos oxetos matemáticos, como los númberos, les [[función matemática|funciones]] y les diverses [[estructura matemática|estructures]], fueron construyíos con base nos conxuntos.

== Definición ==
{{Caxa de cita|alliniación=derecha|[...] entiendo polo xeneral por variedá o conxuntu toa multiplicidá que puede ser pensada como unidá, esto ye, toa coleición d'elementos determinaos que pueden ser xuníos nuna totalidá por aciu una llei.|[[Georg Cantor]]<ref>Vease {{cita llibru|apellíos=Cantor|nome=Georg|títulu=Fundamento pa una teoría xeneral de conxuntos. Escritos y correspondencia selecta.|enllaceautor=Georg Cantor|añu=2006|añu-orixinal=1872-1899|editorial=Crítica|isbn=84-8432-695-0|otres Edición de José Ferreirós|páxina=137}}</ref>}}
 
Un conxuntu ye una coleición bien definida d'oxetos, entendiendo que dichos oxetos pueden ser cualquier cosa: [[númberu|númberos]], persones, lletres, otros conxuntos, etc. Dalgunos exemplos son:

:{{math|''A''}} ye'l conxuntu de los númberos naturales menores que 5.
:{{math|''B''}} ye'l conxuntu de los colores verde, blancu y colloráu.
:{{math|''C''}} ye'l conxuntu de les vocales ''a'', ''y'', ''i'', ''o'' y ''o''.
:{{math|''D''}} ye'l conxuntu de los [[Palu (naipe)|palos]] de la [[baraxa francesa]].

Los conxuntos se denotan davezu por lletres mayúscules. Los oxetos que componen el conxuntu llámense [[elementu d'un conxuntu|elementos]] o miembros. Dizse que «pertenecen» al conxuntu y se denota por aciu el símbolu {{unicode|∈}}:<ref group="n">Esti símbolu introducir Peano. Vide Matemática Moderna de André Warusfel sobre epsilon y Nachbin na so Álxebra Elemental (páx.1 y páx.2) fala de: "La notación de Peano x {{unicode|∈}} X".</ref> la espresión {{math|''a'' {{unicode|∈}} ''A''}} lléese entós como «{{math|''a''}} ta en {{math|''A''}}», «{{math|''a''}} pertenez a {{math|''A''}}», «{{math|''A''}} contién a {{math|''a''}}», etc. Pa la noción contraria úsase'l símbolu {{unicode|∉}}. Por casu:

:{{math|3 {{unicode|∈}} ''A''}} , {{math|&spades; {{unicode|∈}} ''D''}}
:{{math|mariellu {{unicode|∉}} ''B''}}, {{math|z {{unicode|∉}} ''C''}}

=== Notación ===
[[Ficheru:Membership.svg|thumb|280px|'''Rellación de pertenencia.''' El conxuntu {{math|''A''}} ye un conxuntu de [[polígonu|polígonos]]. Na imaxe, dalgunes de les figures pertenecen a dichu conxuntu, pero otres non.]]
Esisten delles maneres de referise a un conxuntu. Nel exemplu anterior, pa los conxuntos {{math|''A''}} y {{math|''D''}} úsase una [[intención|definición intensiva]] o por comprensión, onde s'especifica una propiedá que tolos sos elementos tienen. Sicasí, pa los conxuntos {{math|''B''}} y {{math|''C''}} úsase una [[Estensión (semántica)|definición estensiva]], listando tolos sos elementos explícitamente.

Ye habitual usar [[paréntesis|llaves]] pa escribir los elementos d'un conxuntu, de cuenta que:

:{{math|''B'' {{=}} {verde, blancu, colloráu}|}}
:{{math|''C'' {{=}} {a, e, i, o, u}|}}

Esta notación por aciu llaves tamién s'utiliza cuando los conxuntos especificar de forma intensiva por aciu una propiedá:

:{{math|''A'' {{=}} {Númberos naturales menores que 5}|}}
:{{math|''D'' {{=}} {Palos de la baraxa francesa}|}}

Otra notación habitual pa denotar por comprensión ye:

:{{math|''A'' {{=}} {''m'' : ''m'' ye un númberu natural, y 1 ≤ ''m'' ≤ 5}|}}
:{{math|''D'' {{=}} {''p'' : ''p'' ye un palu de la baraxa francesa}|}}
:{{math|''F'' {{=}} {''n''<sup>2</sup> : ''n'' ye un enteru y 1 ≤ ''n'' ≤ 10}|}},

Nestes espresiones los [[dos puntos]] («:») signifiquen «tal que». Asina, el conxuntu {{math|''F''}} ye'l conxuntu de «los númberos de la forma {{math|''n''<sup>2</sup>}} tal que {{math|''n''}} ye un númberu natural ente 1 y 10 (dambos inclusive)», esto ye, el conxuntu de los diez primeros [[cuadráu (álxebra)|cuadraos]] de [[númberos naturales]]. En llugar de los dos puntos utilízase tamién la [[barra vertical]] («|») o [[barra (tipografía)|oblicua]] «/» .

=== Igualdá de conxuntos ===
[[Ficheru:PersonsSet.svg|thumb|280px|'''Conxuntu de persones.''' El conxuntu de persones amosáu na imaxe, {{math|''A''}}, tien 8 [[elementu d'un conxuntu|miembros]]. Esti conxuntu puede representase por aciu [[paréntesis|llaves]] o por aciu un [[diagrama de Venn]]. L'orde de les persones en {{math|''A''}} ye irrelevante.]]
Un conxuntu ta totalmente determináu polos sos elementos. Por ello, la igualdá de conxuntos establezse como:
{{definición|títulu=Propiedá de la [[Axoma de extensionalidad|extensionalidad]]|1=Dos conxuntos {{math|''A''}} y {{math|''B''}} que tengan los mesmos elementos son el mesmu conxuntu, {{math|1=''A'' = ''B''}}.}}
Esta propiedá tien delles consecuencies. Un mesmu conxuntu puede especificase de munches maneres distintessobremanera estensives o intensives. Por casu, el conxuntu {{math|''A''}} de los númberos naturales menores que 5 ye'l mesmu conxuntu que {{math|''A&prime;''}}, el conxuntu de los númberos 1, 2, 3 y 4. Tamién:

:{{math|''B'' {{=}} {verde, blancu, coloráu} {{=}} {colores de la bandera de Méxicu}|}}
:{{math|''C'' {{=}} {a, e, i, o, u} {{=}} {[[vocales]] del [[idioma español|español]]}|}}
:{{math|''D'' {{=}} {Palos de la baraxa francesa} {{=}} {&spades;, &clubes;, &hearts;, &diams;}|}}

L'orde nel que se precisen los elementos tampoco se tien en cuenta pa comparar dos conxuntos: 

:{{math|''B'' {{=}} {verde, blancu, colloráu} {{=}} {coloráu, verde, blancu}|}}
:{{math|''C'' {{=}} {a, e, i, o, u} {{=}} {y, i, o, a, o}|}}

Amás, un conxuntu nun puede tener elementos «repitíos», una y bones un oxetu solo puede o bien ser un elementu de dichu conxuntu o nun selo. Dase entós que, por casu:

:{{math|{1, 2} {{=}} {1, 2, 1}|}}

N'ausencia de dalguna carauterística adicional qu'estreme los «1» repitíos, lo únicu que puede dicir se del conxuntu de la derecha ye que «1» ye unu de los sos elementos.

=== Conxuntu vacíu ===
{{AP|Conxuntu vacíu}}
El conxuntu que nun contién nengún elementu llámase'l conxuntu vacíu y se denota por <math>\emptyset</math> o a cencielles {}. Dalgunes [[Teor%C3%ADa de conxuntos#Teor.C3.ADa axiom.C3.A1tica de conxuntos|teoríes axomátiques de conxuntos]] aseguren que'l conxuntu vacíu esisti incluyendo un [[:en:Axiom of empty set|axoma del conxuntu vacíu]]. N'otres teoríes, la so esistencia puede deducise. Munches posibles propiedaes de conxuntos son trivialmente válides pal conxuntu vacíu.

====Propiedaes====
Na [[Teoría de conxuntos#Teoría axomática de conxuntos|teoría de conxuntos axomática]] estándar, pol [[Axoma de extensionalidad]], dos conxuntos son iguales si tienen los mesmos elementos; polo tanto namái puede haber un conxuntu ensin nengún elementu. Poro, namái hai un únicu conxuntu vacíu, y falamos de "''el conxuntu vacíu''" en llugar de "''un conxuntu vacíu''".

Pa cualquier conxuntu '''A''':

(Ver [[Conxuntu#Operaciones_con_conxuntos|operaciones con conxuntos]])

* El conxuntu vacíu ye un [[subconxuntu]] de '''A''':
*:<math>\forall A: \emptyset \subseteq A</math>
* La unión de '''A''' col conxuntu vacíu ye '''A''':
*:<math>\forall A: A \cup \emptyset = A</math>
* La interseición de '''A''' col conxuntu vacíu ye'l conxuntu vacíu:
*:<math>\forall A: A \cap \emptyset = \emptyset </math>
* El productu cartesianu d'A y el conxuntu vacíu ye'l conxuntu vacíu:
*:<math>\forall A: A \times \emptyset = \emptyset </math>

El conxuntu vacíu tien les siguientes propiedaes:
* El so únicu subconxuntu ye'l mesmu conxuntu vacíu:
*:<math>\forall A: A \subseteq \emptyset \Rightarrow A = \emptyset </math>
* El "conxuntu de poder" del conxuntu vacíu ye'l conxuntu que contién namái'l conxuntu vacíu:
*:<math>2^{\emptyset } = \{\emptyset\}</math>
* El so númberu d'elementos (cardinalidad) ye cero:
*:<math>\mathrm{card}(\emptyset) = 0</math>

:(La llista de símbolos matemáticos emplegaos atópase [[S%C3%ADmbolos matem%C3%A1ticos|equí]]).

=== Subconxuntos ===
{{AP|Subconxuntu}}
[[Ficheru:Subset-2.svg|thumb|280px|'''Subconxuntu.''' {{math|''B''}} ye un [[subconxuntu]] de {{math|''A''}} (en particular un [[subconxuntu propiu]]).]] 
Un subconxuntu {{math|''A''}} d'un conxuntu {{math|''B''}}, ye un conxuntu que contién dalgunos de los elementos de {{math|''B''}} (o quiciabes toos):
{{definición|1=Un conxuntu {{math|''A''}} ye un '''subconxuntu''' del conxuntu {{math|''B''}} si cada elementu de {{math|''A''}} ye de la mesma un elementu de {{math|''B''}}.
}}
Cuando {{math|''A''}} ye un subconxuntu de {{math|''B''}}, se denota como {{math|''A'' {{unicode|⊆}} ''B''}} y dizse que «{{math|''A''}} ta conteníu en {{math|''B''}}». Tamién puede escribise {{math|''B'' {{unicode|⊇}} ''A''}}, y dicise que {{math|''B''}} ye un '''superconjunto''' de {{math|''A''}} y tamién «{{math|''B''}} contién a {{math|''A''}}» o «{{math|''B''}} inclúi a {{math|''A''}}».

Tou conxuntu {{math|''A''}} ye un subconxuntu de sigo mesmu, yá que siempres se cumple que «cada elementu de {{math|''A''}} ye de la mesma un elementu de {{math|''A''}}». Ye habitual establecer una distinción más fina por aciu el conceutu de '''subconxuntu propiu''': {{math|''A''}} ye un subconxuntu propiu de {{math|''B''}} si ye un subconxuntu de {{math|''B''}} pero nun ye igual a {{math|''B''}}. Se denota como {{math|''A'' {{unicode|⊊}} ''B''}}, esto ye: {{math|''A'' {{unicode|⊆}} ''B''}} pero {{math|''A'' &ne; ''B''}} (y equivalentemente, pa un superconjunto propiu, {{math|''B'' {{unicode|⊋}} ''A''}}).<ref group="n">Tamién s'utiliza la notación {{math|''A'' {{unicode|⊂}} ''B''}} y {{math|''B'' {{unicode|⊃}} ''A''}}, pero según l'autor esto puede denotar subconxuntu, {{math|''A'' {{unicode|⊆}} ''B''}} y {{math|''B'' {{unicode|⊇}} ''A''}}; o subconxuntu propiu, {{math|''A'' {{unicode|⊊}} ''B''}} y {{math|''B'' {{unicode|⊋}} ''A''}}. Vease [[Subconxuntu]].</ref>

'''Exemplos.'''
:El conxuntu de tolos homes» ye un subconxuntu propiu del conxuntu de toles persones».
:{{math|{1, 3} {{unicode|⊊}} {1, 2, 3, 4}}}
:{{math|{1, 2, 3, 4} {{unicode|⊆}} {1, 2, 3, 4}}}

=== Conxuntos dixuntos ===
{{ap|Conxuntos dixuntos}}
Dos conxuntos {{math|''A''}} y {{math|''B''}} son dixuntos si nun tienen nengún elementu de mancomún. Por casu, los conxuntos de los [[númberos racionales]] y los [[númberos irracionales]] son dixuntos: nun hai nengún númberu que seya al empar racional ya irracional. La [[interseición de conxuntos|interseición]] de dos conxuntos dixuntos ye'l conxuntu vacíu.

== Cardinalidad ==
{{ap|Númberu cardinal}}
Los conxuntos pueden ser [[conxuntu finito|finitos]] o [[conxuntu infinitu|infinitos]]. Nel casu d'un conxuntu finito pueden cuntase los elementos del conxuntu:
{{definición|1=El númberu d'elementos d'un conxuntu finito ye'l so '''cardinal'''.}}
El cardinal se denota por {{math|{{mabs|''A''}}}}, {{math|card(''A'')}} o {{math|#A}}. Asina, nos exemplos [[#Definici.C3.B3n|anteriores]], tiense que {{math|1={{mabs|''A''}} = 4}} (cuatro números), {{math|1={{mabs|''B''}} = 3}} (trés colores) y {{math|1={{mabs|''F''}} = 10}} (diez cuadraos). L'únicu conxuntu que'l so cardinal ye 0 ye'l [[conxuntu vacíu]] {{math|{{unicode|∅}}}}.

Esisten, de la mesma, determinaes '''propiedaes de cardinalidad'''. Si tomamos como exemplu dos conxuntos, '''A''' y '''B''':
# <math> n(\phi)=0 </math>
# <math> A=B\Rightarrow n(A)=n(B) </math>
# <math> A\subseteq B\Rightarrow n(A)\le n(B) </math>
# <math> n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B) </math>
# <math> n(O)=n(A)+n(A^c) </math>
# <math> n(A-B)=n(A)-n(A\cap B) </math>

Y en el casu de trés conxuntos, '''A''', '''B''' y '''C''':
# <math> n(A\cup B\cup C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A\cap B)-n(A\cap C)-n(B\cap C)+n(A\cap B\cap C) </math>
# <math> n(A-(B\cup C))=n(A)-n(A\cap B)-n(A\cap C)+n(A\cap B\cap C) </math>
# <math> n((A\cap B)-C)=n(A\cap B)-n(A\cap B\cap C) </math>
# <math> n((A\cup B)-C)=n(A\cup B)-n(A\cap C)-n(B\cap C)+n(A\cap B\cap C) </math>

Nun conxuntu infinitu nun hai un númberu finito d'elementos. Ye'l casu por casu de los [[númberos naturales]]: {{math|'''N''' {{=}} {1, 2, 3, ...}|}}. Sicasí, esiste una manera de comparar conxuntos infinitos ente sigo, y llógrase qu'esisten conxuntos infinitos «más grandes» qu'otros. El númberu d'elementos» d'un conxuntu infinitu ye un [[númberu transfinito]].

===Cardinalidad de los reales===
{{ap|Númberu real}}
Unu de los resultaos más importantes de [[Georg Cantor]] foi que la cardinalidad de los reales (<math>\mathfrak{c}</math>) ye más grande que la de los númberos naturales (<math>\aleph_0</math>). Esto ye, qu'hai más númberos reales '''R''' que númberos enteros '''N'''. Concretamente, Cantor amosó que <math>\mathfrak{c}
= 2^{\aleph_0} > {\aleph_0}</math>

La hipótesis del continuu afirma que nun esisten conxuntos con cardinalidades entemedies ente los [[Númberu natural|naturales]] y los [[Numbero real|reales]]:
* Nun esiste nengún conxuntu '''{{math|''A''}}''' tal que'l so cardinal '''{{math|{{mabs|''A''}}}}''' cumpla:
:<math>\aleph_0<|A|<2^{\aleph_0}</math>

Si asume'l [[axoma d'eleición]], la estructura de los cardinales infinitos ye más clara: tolos cardinales infinitos son [[Álef (cardinales)|álefs]] y tán [[Bon orde|bien ordenaos]], polo qu'esiste namái un cardinal darréu cimeru a '''{{math|{{unicode|ℵ}}<sub>0</sub>}}''', denotado por '''{{math|{{unicode|ℵ}}<sub>1</sub>}}'''. La hipótesis ye equivalente entós a:
* El cardinal del conxuntu de los númberos reales ye'l darréu cimeru al cardinal de los númberos naturales:
:<math>2^{\aleph_0}=\aleph_1</math>

== Operaciones con conxuntos ==
{{imaxe múltiple|anchu=150|direición=vertical|posición_tabla=derecha|títulu=Operaciones con conxuntos|semeya1=SetUnion.svg|testu1=Unión|semeya2=SetIntersection.svg|testu2=Interseición|semeya3=SetDifferenceA.svg|testu3=Estrema|semeya4=SetComplement.svg|testu4=Complemento|semeya5=SetSymmetricDifference.svg|testu5=Diferencia simétrica}}
{{AP|Álxebra de conxuntos}}
Esisten delles operaciones básiques que pueden realizase, partiendo de ciertos conxuntos daos, pa llograr nuevos conxuntos:

* '''Unión''': (símbolu {{math|{{unicode|∪}}}}) La [[unión de conxuntos|unión]] de dos conxuntos {{math|''A''}} y {{math|''B''}}, que se representa como {{math|''A'' {{unicode|∪}} ''B''}}, ye'l conxuntu de tolos elementos que pertenecen siquier a unu de los conxuntos {{math|''A''}} y {{math|''B''}}.
* <math>A\cup B = \{x/x\in A\lor x\in B\}
</math>
* '''Interseición''': (símbolu {{math|{{unicode|∩}}}}) La [[interseición de conxuntos|interseición]] de dos conxuntos {{math|''A''}} y {{math|''B''}} ye'l conxuntu {{math|''A'' {{unicode|∩}} ''B''}} de los elementos comunes a ''A'' y ''B''.
* <math>A\cap B=\{x/x\in A \land x\in B\}</math>
* '''Estrema''': (símbolu \) La [[diferencia de conxuntos|estrema]] del conxuntu {{math|''A''}} con {{math|''B''}} ye'l conxuntu {{math|''A'' \ ''B''}} que resulta d'esaniciar de {{math|''A''}} cualquier elementu que tea en {{math|''B''}}.
* '''Complementu''': El [[complementu d'un conxuntu|complementu]] d'un conxuntu {{math|''A''}} ye'l conxuntu {{math|''A''<sup>{{unicode|∁}}</sup>}} que contién tolos elementos que nun pertenecen a {{math|''A''}}, al respective de un conxuntu {{math|''O''}} que lo contién.
* <math>A^c=\{x/x\in O\land x\not\in A\}</math>
* '''Diferencia simétrica''': (símbolu Δ) La [[diferencia simétrica]] de dos conxuntos {{math|''A''}} y {{math|''B''}} ye'l conxuntu {{math|''A'' Δ ''B''}} con tolos elementos que pertenecen, o bien a {{math|''A''}}, o bien a {{math|''B''}}, pero non a dambos al empar.
* '''Productu cartesianu''': (símbolu ×) El [[productu cartesianu]] de dos conxuntos {{math|''A''}} y {{math|''B''}} ye'l conxuntu {{math|''A'' × ''B''}} de tolos [[pares ordenaos]] {{math|(''a'', ''b'')}} formaos con un primer elementu {{math|''a''}} perteneciente a {{math|''A''}}, y un segundu elementu {{math|''b''}} perteneciente a {{math|''B''}}.

;Exemplos
* {{math|{1, ''a'', 0} {{unicode|∪}} {2, ''b''} {{=}} {2, ''b'', 1, ''a'', 0}|}}
* {{math|{5, ''z'', &spades;} {{unicode|∩}} {&spades;, ''a''} {{=}} {&spades;}|}}
* {{math|{5, ''z'', &spades;} \ {&spades;, ''a''} {{=}} {5, ''z''}|}}
* {{math|{♠, 5} Δ {8, #, ♠} {{=}} {5, #, 8}|}}
* {{math|{1, ''a'', 0} × {2, ''b''} {{=}} {(1, 2), (1, ''b''), (''a'', 2), (''a'', ''b''), (0, 2), (0, ''b'')}|}}

== Ver tamién ==
{{llista de columnes|2|
* [[Axomes de Zermelo-Fraenkel]]
* [[Rellación matemática]]
* [[Correspondencia matemática]]
* [[Conxuntu de Borel]]
* [[Equipotencia de conxuntos]]
* [[Diagrama de Venn]]
* [[Estructura alxebraica]]
* [[Función matemática]]
* [[Georg Cantor]]
* [[Morfismo]]
* [[Teoría de conxuntos]]
}}

== Notes y referencies ==
=== Notes ===
{{llistaref|grupu=n}}

=== Referencies ===
{{llistaref|2}}

=== Bibliografía ===
* {{cita llibru|apellíos=Courant|nome=Richard|apellíos2=Robbins|nome2=Herbert|apellíos3=Stewart|nome3=Ian|títulu=What is Mathematics? An Elementary Approach to Idees and Methods|editorial=[[Oxford University Press]]|añu=1996|isbn=0-19-510519-2|idioma=inglés}} Suplementu del capítulu II.
* {{Enllaz rotu|1=Lóxica y teoría de conxuntos |2=http://www.uv.es/ivorra/Llibros/Logica.pdf |date=August 2024 |bot=InternetArchiveBot }}.
* {{cita web|apellíu=Jech |nome=Thomas |títulu=Set Theory |idioma=inglés |url=http://plato.stanford.edu/archives/spr2009/entries/set-theory/ |obra=[[The Stanford Encyclopedia of Philosophy]] (Spring 2009 Edition)|editor=Edward N. Zalta|fechaaccesu=22 d'abril de 2011}}
* {{cita llibru|apellíos=Lipschutz|nome=Seymour|títulu=Teoría de conxuntos y temes allegaes|añu=1991|editorial=McGraw-Hill|isbn=968-422-926-7}}
* Nachbin, Leopoldo : Álxebra elemental (1986) Rochester, Nueva York; editora: Eva V. Chesnau. Edición de la OEA, traducida al español por César Y. Silva.

=== Bibliografía adicional ===
* Halmos, Paul R. : ''Teoría intuitiva de conxuntos'' (1965) Compañía editorial Continental S.A. Méxicu 22, D.F. primer edición n'español.

=== Enllaces esternos ===
{{commonscat|Set theory|Conxuntos}}
* {{MathWorld|Set|Set }}
{{traducíu ref|en|Set}}
{{Tradubot|Conjunto}}

{{control d'autoridaes}}
[[Categoría:Conxuntos]]
[[Categoría:Teoría de conxuntos]]
[[Categoría:Terminoloxía matemática]]
[[Categoría:Wikipedia:Páxines con enllaces interllingüísticos]]