Tanxente

Plantía:Ficha xenérica En matemátiques, la pallabra tanxente tien dos significaos desemeyaos, pero etimolóxicamente rellacionaos: unu en xeometría y otru en trigonometría

Xeometría

Seya C una curva, y A un puntu d'esta. Supónse que A ye un puntu regular de la curva, ye dicir que nun ye un puntu angulosu: La curva no camuda de sutrucu de direición en G.

La tanxente a C en A ye la reuta F_A que pasa per A y que tien la mesma direición que C alrodiu de A.

La tanxente ye la posición llímite de la reuta (M) (nomada cuerda de la curva), cuando A ye un puntu de C que s'avera indefinidamente al puntu M (A desplázase socesivamente per C₁, M₂, M₃, M₄ ...)

Si C representa una función f (nun ye'l casu nel gráficu precedente), entós la reuta (AM) tendrá como coeficiente direutor (o pendiente)

$\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$, au "a" ye l'abscisa de A y "x" la de M.

Poro, la pendiente de la tanxente T_A será:

$\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$

Ye, por definición, f '(a), el númberu deriváu de f en a.

La ecuación de la tanxente ye T_a: y = f '(a)·(x - a) + f(a)

La reuta ortogonal a la tanxente T_A que pasa pel puntu (a, f(a)) denómase reuta normal y la so pendiente, nun sistema de coordenaes ortonormales, ye dao por $\frac{-1}{f^{\prime }(a)}$.
La so ecuación ye : y = - (x - a)/f '(a) + f(a) suponiendo que f'(a) ≠ 0. Esta reuta nun intervién nel estudiu xeneral de les funciones pero sí en problemes xeométricos rellacionaos coles cóniques, como por exemplu pa determinar el puntu focal d'una parábola.

Trigonometría

Gráficu de la función tanxente.

En trigonometría y matemátiques la tanxente ye una función definía como:

$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$

Nómase asina porque pue ser definida como la llonxitú de ciertu segmentu d'una tanxete (en sen xeométricu) trazada nun círculu de radiu unitariu. Ye más cenciello de definir nel contestu d'un planu Cartesianu. Si se constrúi un círculu de radiu unitariu centráu nel orixe, la llinia tanxente al círculu nel puntu P = (1,0), y el rayu proveniente del orixe a un ángulu θ con respeutu del exe x, entós el rayu interseuta la reuta nun puntu Q. La tanxente en sen trigonométricu ye la llonxitú de la llinia ente los puntos P y Q. Si'l rayu nun interseuta la llinia, la tanxente (función) de θ ye infinitu.

Derivada

La derivada de la tanxente ye:

$\frac{\mathrm{d}(\tan x)}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{{\cos }^{2}x}={\sec }^{2}x.$