Teorema de Tales

Hai dos teoremes que reciben el nome de teorema de Tales.

Primer teorema

Seyan dos reutes (d) y (d') n'aldu y concurrentes nún puntu O. Seyan A y A' dos puntos de (d), y B y B' dos puntos de (d'). Entós:

$\frac{\overline{O{A}^{\prime }}}{\overline{OA}}=\frac{\overline{O{B}^{\prime }}}{\overline{OB}}⟺(AB)//(A^{\prime }{B}^{\prime })$

Ye dicir, que la igualdá de los cocientes equival al paralelismu. Esti teorema afita asina una rellación ente l'álxebra y la xeometría.

La primera figura correspuende a midíes alxebraiques positives - los vectores OA, OA', OB y OB' tienen el mesmu aldu que les reutes (d) y (d'), y la segunda a cocientes negativos.

Si s'aplica el teorema, tenemos arriendes otra consecuencia: si s'orienta de la mesma manera les dos reutes paraleles (AB) y (A'B'), ye dicir col mesmu vector, entós el tercer cociente (de midides alxebraiques): A'B' / AB ye igual a los dos anteriores.

A vegaes resérvase el nome de teorema de Tales al sen direutu de la equivalencia, y l'otru sen recibe'l nome de recíproca del teorema de Tales.

Esti teorema ye un casu particular de los Triángulos semeyos o asemeyaos.

Una aplicación del Teorema de Tales

Una aplicación interesante ye pa midir l'altura de daqué.(Exemplu: árbol)

1. Midimos la llonxitú de la so solombra a una hora determinada. = C
2. Midimos la llonxitú de la solombra d'un oxetu pequeñu (por exemplu un llápiz) nel mesmu intre. = B
3. Midimos la llonxitú real del mesmu cuerpu. = A

Y obtenemos $D=C\left(\frac{A}{B}\right)$ au D ye l'altura real del árbol.

Tamién se pue rellacionar pa midir una distancia, cuya finidad no pueda ser midida, y apoyándose en un punto, se puede lograr.

Segundu teorema

Seya C un puntu de la circunferencia de diámetru [AB], distintu d'A y de B. Entós l'ángulu ACB ye reutu.

Este teorema ya un casu particular de una propiedá de los puntos cocíclicos.

Prueba: OA = OB = OC = r, radiu del círculu. Poro, OAC y OBC son isósceles. La suma de los ángulos del triángulu ABC val

$2\alpha +2\beta =\pi$ (radianes).

Dividiendo por dos, obtiense

$<BCA>=\alpha +\beta =\frac{\pi }{2}$ (o 90º).

Arriendes, dizse que la bisectriz d'un triángulu corta al llau aviesu del ángulu cola bisectriz en dos segmentos proporcionales