Función hiperbólica

Les funciones hiperbóliques son unes funciones que les sos definiciones basar na función esponencial, coneutando por aciu operaciones racionales y son análogues a les funciones trigonométriques. Estes son:

Curves de les funciones hiperbóliques sinh, cosh y tanh

Curves de les funciones hiperbóliques csch, sech y coth

El senu hiperbólicu

$\sinh (x)=\frac{y^x-y^{-x}}{2}$

El cosenu hiperbólicu

$\cosh (x)=\frac{y^x+y^{-x}}{2}$

La tanxente hiperbólica

$\tanh (x)=\frac{\sinh (x)}{\cosh (x)}$

y otres llinies:

$\coth (x)=\frac{\cosh (x)}{\sinh (x)}$

(cotanxente hiperbólica)

$\mathrm{sech}(x)=\frac{1}{\cosh (x)}$

(secante hiperbólica)

$\mathrm{csch}(x)=\frac{1}{\sinh (x)}$

(cosecante hiperbólica)

Rellación ente funciones hiperbóliques y funciones circulares

Les funciones trigonométriques sin(t) y cos(t) pueden ser les coordenaes cartesianes (x,y) d'un puntu P sobre la circunferencia unitaria centrada nel orixe, onde ye t el ángulu, midíu en radianes, entendíu ente'l semiexe positivu X, y el segmentu OP, según les siguientes igualdaes:

$\{\begin{array}{c}x(t)=\cos t\\ y(t)=\sin t\end{array}$

Tamién puede interpretase'l parámetru t como la longitud del arcu de circunferencia unitaria entendíu ente'l puntu (1,0) y el puntu P, o como'l doble del área del sector circular determináu pol semiexe positivu X, el segmentu OP y la circunferencia unitaria.

Animación de la representación del senu hiperbólicu.

De manera análoga, podemos definir les funciones hiperbóliques, como les coordenaes cartesianes (x,y) d'un puntu P de la hipérbola equillátera, centrada nel orixe, que la so ecuación ye

$x^2-y^2=1$

siendo t el doble del área de la rexón entendida ente'l semiexe positivu X, y el segmentu OP y la hipérbola, según les siguientes igualdaes:

$\{\begin{array}{c}x(t)=\cosh t\\ y(t)=\sinh t\end{array}$

Sicasí, tamién puede demostrase que ye válida la siguiente descripción de la hipérbola:

$x(t)=\frac{y^t+y^{-t}}{2}$

$y(t)=\frac{y^t-y^{-t}}{2}$

yá que

${\left(\frac{y^t+y^{-t}}{2}\right)}^2-{\left(\frac{y^t-y^{-t}}{2}\right)}^2=1$

De cuenta que el cosenu hiperbólicu y el senu hiperbólicu almiten una representación en términos de funciones esponenciales de variable real:

$\cosh (t)=\frac{y^t+y^{-t}}{2}$

$\sinh (t)=\frac{y^t-y^{-t}}{2}$

Rellaciones

Ecuación fundamental

${\cosh }^2(x)-{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}}^2(x)=1$

=== Duplicación del argumentu tiénense les siguientes fórmules bien similares a les sos correspondientes trigonométriques

$\cosh (x+y)=\cosh (x)\cosh (y)+\sinh (x)\sinh (y)$

$\cosh (x-y)=\cosh (x)\cosh (y)-\sinh (x)\sinh (y)$

que lleva a la siguiente rellación:

$\cosh (2x)={\cosh }^2(x)+{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}}^2(x)$

y per otra parte

$\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(x+y)=\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(x)\cosh (y)+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(y)\cosh (x)$

$\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(x-y)=\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(x)\cosh (y)-\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(y)\cosh (x)$

que lleva a:

$\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(2x)=2\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(x)\cosh (x)$

tiense esta otra rellación

$\tanh (x+y)=\frac{\tanh (x)+\tanh (y)}{1+\tanh (x)\tanh (y)}$

que dexa llograr

$\tanh (2x)=\frac{2\tanh x}{1+{\tanh }^{2}x}$

Derivación ya integración

$\frac{d}{dx}(\cosh (x))=\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(x)$

$\frac{d}{dx}(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(x))=\cosh (x)$

$\frac{d}{dx}(\tanh (x))={\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}}^2(x)$

$\frac{d}{dx}(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{h}(x))=-{\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{h}}^2(x)$

$\frac{d}{dx}(\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}(x))=-\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}(x)\tanh (x)$

$\frac{d}{dx}(\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{h}(x))=-\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{h}(x)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{h}(x)$

Amás la integración al ser la operación inversa de la derivación ye trivial nesti casu.

La derivada de sinh(x) ta dada por cosh(x) y la derivada de cosh(x) ye sinh(x). El gráficu de la función cosh(x) denominar catenaria.

Inverses de les funciones hiperbólicu y derivar

Les funciones recíproques y derivaes de les funciones hiperbóliques son:

$\begin{array}{cccc}\mathrm{arcsinh}(x)& =\ln (x+\sqrt{x^2+1})& \frac{d}{dx}(\mathrm{arcsinh}(x))& =\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\\ \mathrm{arccosh}(x)& =\ln (x+\sqrt{x^2-1});x\ge 1& \frac{d}{dx}(\mathrm{arccosh(x)})& =\frac{1}{\sqrt{x^2-1}};x>1\\ \mathrm{arctanh}(x)& =\frac{1}{2}\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right);\left|x\right|<1& \frac{d}{dx}(\mathrm{arctanh(x)})& =\frac{1}{1-x^2};\left|x\right|<1\\ \mathrm{arccoth}(x)& =\frac{1}{2}\ln \left(\frac{x+1}{x-1}\right);\left|x\right|>1& \frac{d}{dx}(\mathrm{arccoth(x)})& =\frac{1}{1-x^2};\left|x\right|>1\\ \mathrm{arcsech}(x)& =\ln (\frac{1}{x}+\frac{\sqrt{1-x^2}}{x});0<x\le 1& \frac{d}{dx}(\mathrm{arcsech(x)})& =\frac{-1}{x\sqrt{1-x^2}};0<x<1\\ \mathrm{arccsch}(x)& =\ln (\frac{1}{x}+\frac{\sqrt{1+x^2}}{\left|x\right|});x\ne 0& \frac{d}{dx}(\mathrm{arccsch(x)})& =\frac{-1}{\left|x\right|\sqrt{1+x^2}};x\ne 0\end{array}$

Series de Taylor

Les series de Taylor de les funciones inverses de les funciones hiperbóliques vienen daes por:

$\mathrm{argsinh}(x)=x-\left(\frac{1}{2}\right)\frac{x^3}{3}+\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)\frac{x^5}{5}-\left(\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\right)\frac{x^7}{7}+\cdots =$

$\mathrm{argsinh}(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{(-1{)}^n(2n)!}{2^{2n}(n!{)}^2}\right)\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)},\left|x\right|<1$

$\mathrm{argcosh}(x)=\ln 2x-(\left(\frac{1}{2}\right)\frac{x^{-2}}{2}+\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)\frac{x^{-4}}{4}+\left(\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\right)\frac{x^{-6}}{6}+\cdots )=$

$\mathrm{argcosh}(x)=\ln 2x-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{(-1{)}^n(2n)!}{2^{2n}(n!{)}^2}\right)\frac{x^{-2n}}{(2n)},x>1$

$\mathrm{argtanh}(x)=x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^7}{7}+\cdots =$

$\mathrm{argtanh}(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)},\left|x\right|<1$

$\mathrm{argcsch}(x)=\mathrm{argsinh}(x^{-1})=x^{-1}-\left(\frac{1}{2}\right)\frac{x^{-3}}{3}+\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)\frac{x^{-5}}{5}-\left(\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\right)\frac{x^{-7}}{7}+\cdots =$

$\mathrm{argcsch}(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{(-1{)}^n(2n)!}{2^{2n}(n!{)}^2}\right)\frac{x^{-(2n+1)}}{(2n+1)},\left|x\right|>1$

$\mathrm{argsech}(x)=\mathrm{argcosh}(x^{-1})=\ln 2-(\left(\frac{1}{2}\right)\frac{x^2}{2}+\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)\frac{x^4}{4}+\left(\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\right)\frac{x^6}{6}+\cdots )=$

$\mathrm{argsech}(x)=\ln 2-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{(-1{)}^n(2n)!}{2^{2n}(n!{)}^2}\right)\frac{x^{2n}}{(2n)},0<x\le 1$

$\mathrm{argcoth}(x)=\mathrm{argtanh}(x^{-1})=x^{-1}+\frac{x^{-3}}{3}+\frac{x^{-5}}{5}+\frac{x^{-7}}{7}+\cdots =$

$\mathrm{argcoth}(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{-(2n+1)}}{(2n+1)},\left|x\right|>1$

Rellación cola función esponencial

De la rellación del cosenu y senu hiperbólicu pueden derivase les siguientes rellaciones:

$y^x=\cosh x+\sinh x$

y

$y^{-x}=\cosh x-\sinh x.$

Estes espresiones son análogues a les que tán en términos de senos y cosenos, basaes na fórmula d'Euler, como suma d'esponenciales complexos.

Ver tamién

• Trigonometría
• Llogaritmu natural
• Númberu e
• Hipérbola