Distribución t de Student

En probabilidá y estadística, la distribución t (de Student) ye una distribución de probabilidá que surde del problema d'envalorar la media d'una población de normal distribuyida cuando'l tamañu de la muestra ye pequeñu.

Apaez de manera natural al realizar la prueba t de Student pa la determinación de les diferencies ente dos medies muestrales y pa la construcción del intervalu d'enfotu pa la diferencia ente les medies de dos poblaciones cuando se desconoz la esviación típica d'una población y ésta ten de ser envalorada a partir de los datos d'una muestra.

Carauterización

La distribución t de Student ye la distribución de probabilidá del cociente

$T=\frac{Z}{\sqrt{V/\nu }}=Z\sqrt{\frac{\nu }{V}}$

onde

• Z ye una variable aleatoria distribuyida según una normal típica (de media nula y varianza 1).
• V ye una variable aleatoria que sigue una distribución χ² con $\nu$ graos de llibertá.
• Z y V son independientes

Si μ ye una constante non nula, el cociente $\frac{Z+\mu }{\sqrt{V/\nu }}$ ye una variable aleatoria que sigue la distribución t de Student non central con parámetru de non-centralidad $\mu$.

Apaición y especificaciones de la distribución t de Student

Supongamos que X₁,..., X_n son variables aleatories independientes distribuyíes de normal, con media μ y varianza σ². Sía

${\bar{X}}_n=(X_1+\cdots +X_n)/n$

la media muestral. Entós

$Z=\frac{{\bar{X}}_n-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}$

sigue una distribución normal de media 0 y varianza 1.

Sicasí, yá que la esviación estándar non siempres ye conocida de mano, Gosset estudió un cociente rellacionáu,

$T=\frac{{\bar{X}}_n-\mu }{S_n/\sqrt{n}},$

$S^2(x)=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2$

ye la cuasivarianza muestral y demostró que la función de densidá de T ye

$f(t)=\frac{\mathrm{\Gamma }((\nu +1)/2)}{\sqrt{\nu \pi }\mathrm{\Gamma }(\nu /2)}(1+t^2/\nu {)}^{-(\nu +1)/2}$

onde $\nu$ ye igual a n − 1.

La distribución de T llámase agora la distribución-t de Student.

El parámetru $\nu$ representa'l númberu de graos de llibertá. La distribución depende de $\nu$, pero non de $\mu$ o $\sigma$, lo cual ye bien importante na práutica.

Intervalos d'enfotu derivaos de la distribución t de Student

El procedimientu pal cálculu del intervalu d'enfotu basáu na t de Student consiste n'envalorar la esviación típica de los datos S y calcular l'error estándar de la media: $\bar{X}=\frac{S}{\sqrt{n}}$, siendo entós l'intervalu d'enfotu pa la media: $\bar{X}=\pm t_{\alpha /2,n-1}\frac{S}{\sqrt{n}}$ .

Ye esta resultancia'l que s'utiliza nel test de Student: yá que la diferencia de les medies de muestres de dos distribuciones normales distribúyese tamién de normal, la distribución t puede usase pa esaminar si esa diferencia puede razonablemente suponese igual a cero.

Pa efeutos práuticos el valor esperáu y la varianza son:

$Y(t(n))=0$ y $Var(t(n-1))=n/(n-2)$ pa $n>2$

Historia

La distribución de Student foi descrita en 1908 por William Sealy Gosset. Gosset trabayaba nuna fábrica de cerveza, Guinness, que prohibía a los sos emplegaos la publicación d'artículos científicos por cuenta de un espardimientu previu de secretos industriales. D'ende que Gosset publicara les sos resultaos sol seudónimu de Student.

Distribución t de Student non estandarizada

La distribución t puede xeneralizase a 3 parámetros, introduciendo un parámero locacional $\mu$ y otru d'escala $\sigma$. La resultancia ye una distribución t de Student non estandarizada que la so densidá ta definida por:

$p(x|\nu ,\mu ,\sigma )=\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{\nu +1}{2})}{\mathrm{\Gamma }(\frac{\nu }{2})\sqrt{\pi \nu }\sigma }{(1+\frac{1}{\nu }{\left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right)}^2)}^{-\frac{\nu +1}{2}}$

Equivalentemente, puede escribise en términos de ${\sigma }^2$ (correspondiente a la varianza en cuenta de a la esviación estándar):

$p(x|\nu ,\mu ,{\sigma }^2)=\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{\nu +1}{2})}{\mathrm{\Gamma }(\frac{\nu }{2})\sqrt{\pi \nu {\sigma }^2}}{(1+\frac{1}{\nu }\frac{(x-\mu {)}^2}{{\sigma }^2})}^{-\frac{\nu +1}{2}}$

Otres propiedaes d'esta versión de la distribución t son:

$\begin{array}{cc}\mathrm{Y}(X)& =\mu \text{para }\nu >1,\\ \text{Var}(X)& ={\sigma }^2\frac{\nu }{\nu -2}\text{para }\nu >2,\\ \text{Moda}(X)& =\mu .\end{array}$

Enllaces esternos

• Tabla de distribución de T de Student
• Plantía:Enllaz rotu
• Tabla distribución t de Student
• Distribución t-Student: Puntos porcentuales pa probabilidá cimera
• Probability, Statistics and Estimation n'inglés. Primeros Studentes na páxina 112.
• [1] Calcular la probabilidá d'una distribución t-Student con R (llinguaxe de programación)