Ver la fonte de Teorema fundamental de l'álxebra

El '''teorema fundamental de la álxebra''' establez que tou [[polinomiu]] de grau mayor que cero tien un raigañu.<ref>William R. Derick: "Variable Complexa con aplicaciones". ISBN 968-7270-35-5</ref> El dominiu de la variable ye'l conxuntu de los númberos complexos, que ye una estensión<ref>Úsase ''subconxuntu''; pero 'hiperconjunto' bien raru</ref> de los númberos reales.

Anque esti enunciáu, en principiu, paez ser una declaración débil, implica que tou polinomiu de grau ''n'' d'una variable con grau mayor que cero con coeficientes complexos tien, cuntando les [[multiplicidá]]es, esautamente ''n'' raigaños complexos. La equivalencia d'estos dos enunciaos realizar por aciu la [[división polinomial|división polinómica]] socesiva por factores lliniales.

Hai munches demostraciones d'esta importante proposición, que riquen bastantes conocencies matemátiques pa formalizales.

== Historia ==
[[Pedro Rothe]] (Petrus Roth), nel so llibru ''Arithmetica Philosophica'' (publicáu en [[1608]]), escribió qu'una ecuación polinómica de grau <math>n</math> (con coeficientes [[Númberu real|reales]]) ''puede'' tener <math>n</math> soluciones. [[Alberto Girardo]], nel so llibru ''L'invention nouvelle en l'Algebre'' (publicáu en [[1629]]), aseveró qu'una ecuación de grau <math>n</math> tien <math>n</math> soluciones, pero nun menta que diches soluciones tengan de ser númberos reales. Entá más, él amiesta que'l so aseveración ye válida "sacantes la ecuación sía incompleta", colo que quier dicir que nengún de los coeficientes del polinomiu sía igual a cero. Sicasí, cuando esplica en detalle a qué se ta refiriendo, faise evidente que l'autor piensa que la aseveración siempres ye cierta; en particular, amuesa que la ecuación
:<math>x^4 = 4\,x - 3</math>
a pesar de ser incompleta, tien les siguientes cuatro soluciones (el raigañu 1 tien multiplicidá 2):
:<math>1,\quad 1,\quad -1 + i\,\sqrt2\quad\mathrm{y}\quad -1 - i\,\sqrt2.</math>
[[Leibniz]] en 1702 y más tarde [[Bernoulli|Nikolaus Bernoulli]], conxeturaron lo contrario.

Como se va mentar de nuevu más palantre, siguir del teorema fundamental de la álxebra que tou polinomiu con coeficientes reales y de grau mayor que cero se puede escribir como un productu de polinomios con coeficientes reales del cual los sos graos son 1 o 2. De toes formes, en 1702 Leibniz dixo que nengún polinomiu de tipu <math>x^4+a^4</math> (con ''a'' real y distintu de 0) puede escribise en tal manera. Depués, Nikolaus Bernoulli fixo la mesma afirmación tocante al polinomiu <math>x^4-4x^3+2x^2+4x+4</math>, pero recibió una carta d'[[Euler]] en [[1742]] nel que-y dicía que'l so polinomiu pasaba a ser igual a:

:<math>(x^2-(2+\alpha)x+1+\sqrt{7}+\alpha)(x^2-(2-\alpha)x+1+\sqrt{7}-\alpha)</math>

con α igual a raigañu cuadráu de 4&nbsp;+&nbsp;2√<span style="text-decoration: overline">7</span>. Igualmente mentó que:

:<math>x^4+a^4=(x^2+a\sqrt{2}x+a^2)(x^2-a\sqrt{2}x+a^2).\,</math>

El primer intentu que se fixo pa demostrar el teorema facer [[Jean Le Rond d'Alembert|d'Alembert]] en 1746. La so demostración tenía un fallu, en cuantes qu'asumía implícitamente como ciertu un teorema (anguaño conocíu como'l [[teorema de Puiseux]]) que nun sería demostráu hasta un sieglu más tarde. Ente otros [[Leonhard Euler|Euler]] ([[1749]]), de Foncenex ([[1759]]), [[Joseph-Louis de Lagrange|Lagrange]] ([[1772]]) y [[Pierre Simon Laplace|Laplace]] ([[1795]]) intentaron demostrar esti teorema.

A finales del [[sieglu XVIII]], presentáronse dos nueves pruebes, una por James Wood y otra por [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]] ([[1799]]), pero dambes igualmente incorreutes. Finalmente, en [[1806]] [[Jean-Robert Argand|Argand]] publicó una prueba correuta pal teorema, enunciando'l teorema fundamental de la álxebra pa polinomios con coeficientes complexos. Gauss produció otru par de demostraciones en [[1816]] y [[1849]], siendo esta postrera otra versión de la so demostración orixinal.

El primer llibru de testu que contién la demostración d'esti teorema foi escritu por [[Augustin Louis Cauchy|Cauchy]]. Trátase de ''Course d'anlyse de l'École Royale Polytechnique'' ([[1821]]). La prueba ye la debida a Argand, sicasí, nel testu nun se-y da creitu.

Nenguna de les pruebes mentaes más arriba son constructives. Ye [[Karl Weierstrass|Weierstrass]] quien per primer vegada, a mediaos del [[sieglu XIX]], menta'l problema d'atopar una prueba constructiva del teorema fundamental de la álxebra. En [[1891]] publica una demostración d'esti tipu. En [[1940]] Hellmuth Knesser consigue otra prueba d'esti estilu, que depués sería simplificada pol so fíu Marin Kneser en [[1981]].

== Enunciáu y equivalencies ==
El teorema enúnciase comúnmente de la siguiente manera:

{{teorema|''Tou polinomiu nuna variable de grau ''n'' ≥ 1 con coeficientes reales o complexos tien a lo menos un raigañu (real o complexa)''.<ref>{{cita llibru |autor=J. Rey Pastor, P. Pi Calleja, C. A. Trejo|títulu=Analís matemáticu|volume=I|allugamientu=Buenos Aires|editorial=Kapelusz|páxina=§18-1|sinpp=non}} El testu diz: ''Toa ecuación alxebraica nuna incógnita ''z'' de grau ''n'' ≥ 1...''. La cita foi afecha al contestu del artículu.</ref>}}

Ye llargamente conocíu tamién l'enunciáu: Un [[polinomiu]] nuna variable, non constante y con coeficientes [[Númberu complexu|complexos]], tien tantos raigaños<ref>Dizse que'l númberu <math>z</math> ye un raigañu d'un polinomiu <math>p</math> si <math>p(z) = 0</math>.</ref> como indica'l so grau, cuntando los raigaños colos sos [[multiplicidá]]es. N'otres pallabres, dau un polinomiu complexu ''p''(''z'') de grau ''n'' ≥ 1, la ecuación ''p''(''z'') = 0 tien esautamente ''n'' soluciones complexes, cuntando multiplicidaes.

Otres formes equivalentes del teorema son:
* El cuerpu de los complexos ye [[cuerpu algebraicamente zarráu|zarráu]] pa les operaciones alxebraiques.
* Tou polinomiu complexu de grau ''n'' ≥ 1 puede espresase como un productu de ''n'' polinomios lliniales, ye dicir

::<math>p(z) = \sum_{k=0}^n a_k \, z^k = a_n \, \prod_{i=1}^n (z-b_i).</math>

== Demostración ==
Sía <math>p</math> un polinomiu de grau <math>n</math>. <math>p</math> ye una función entera. Pa cada constante positiva <math>m</math>, esiste un númberu real positivu <math>r</math> tal que

:<math>|p(z)| > m,\quad\mbox{si}\quad |z|>r.</math>

Si <math>p</math> nun tien raigaños, la función <math>f = 1/p</math>, ye una función entera cola propiedá de que pa cualquier númberu real <math>\epsilon</math> mayor que cero, esiste un númberu positvo <math>r</math> tal que

:<math>|f(z)| < \epsilon,\quad\mbox{si}\quad |z|>r.</math>

Concluyimos que la función <math>f</math> ye acutada. Pero'l [[Teorema de Liouville (analís complexu)|teorema de Liouville]] diz que si <math>f</math> ye una función entero y acutao, entós, <math>f</math> ye constante y esto ye una contradicción.

De manera que <math>f</math> nun ye entera y por tanto <math>p</math> tien siquier un raigañu. <math>p</math> puede escribise por tanto como'l productu

:<math>p(z) = (z-\alpha_1)q(z),\,</math>

onde <math>\alpha_1</math> ye un raigañu de <math>p</math> y <math>q</math> ye un polinomiu de grau <math>n-1</math>. Pol argumentu anterior, el polinomiu <math>q</math> de la mesma tien siquier un raigañu y poder factorizar nuevamente.

Repitiendo esti procesu <math>n-1</math> vegaes,<ref>Nel últimu pasu, lo que queda ye un polinomiu de grau unu multiplicáu por una constante</ref> concluyimos que'l polinomiu p puede escribise como'l productu

:<math> p(z) = k\,(z-\alpha_1)(z-\alpha_2)\cdots(z-\alpha_n)</math>

onde <math>\alpha_1</math>... <math>\alpha_n</math> son los raigaños de <math> p</math> (non necesariamente distintes) y <math>k</math> ye una constante.

=== Corolarios ===
Como'l teorema fundamental de la álxebra puede ser vistu como la declaración de que'l cuerpu de los númberos complexos ye [[Cuerpu algebraicamente zarráu|algebraicamente zarráu]], síguese que cualesquier teorema tocante a cuerpos algebraicamente zarraos apliquen al cuerpu de los númberos complexos. Amuésense equí delles consecuencies del teorema, avera del cuerpu de los númberos reales o alrodiu de les rellaciones ente'l cuerpu de los reales y el cuerpu de los complexos:

* El cuerpu de los númberos complexos ye la [[clausura alxebraica]] del cuerpu de númberos reales.

* Tou polinomiu mónico nuna variable <math>x</math> con coeficientes racionales ye'l productu d'un binomiu de la forma <math>x+m</math> con <math>m</math> racional, y de un trinomiu de la forma <math>x^2+bx+c</math> con <math>b</math> y <math>c</math> racionales y <math>b^2-4c<0</math> (que ye lo mesmo que dicir que'l trinomiu <math>x^2+bx+c</math> nun ye resoluble nel conxuntu de los númberos reales).<ref>Kurosch. «Álxebra cimera» Editorial Mir, Moscú (1980)</ref>

* Toa [[función racional]] nuna variable <math>x</math>, con coeficientes reales, puede escribise como la suma d'una función polinómica con funciones racionales de la forma <math>a/(x-b)^n</math>(onde <math>n</math> ye un númberu natural, y <math>a</math> y <math>b</math> son númberos reales), y funciones racionales de la forma <math>(ax+b)/(x^2+cx+d)^n</math> (onde <math>n</math> ye un númberu natural, y <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>, y <math>d</math> son númberos reales tales que <math>c^2-4d<0</math>). Un [[corolariu]] d'esto ye que toa función racional nuna variable y coeficientes reales tien una [[función primitiva|primitiva]] [[Función elemental|elemental]].

* Toa [[estensión alxebraica]] del cuerpu de los reales ye [[Isomorfismu|isomorfa]] al cuerpu de los reales o al cuerpu de los complexos.

== Referencies ==
{{llistaref|2}}

=== Bibliografía ===
* {{Citation |apellíu=Cauchy |nome=Augustin Louis|author-link = Augustin Louis Cauchy|publication-date = 1992|añu = 1821 |títulu=Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique, 1<sup>ère</sup> partie: Analyse Algébrique|url = http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k29058v|place = Paris |publicación=Éditions Jacques Gabay|isbn = 2-87647-053-5}} (tr. Course on Analysis of the [[École Polytechnique|Royal Polytechnic Academy]], part 1: Algebraic Analysis)
* {{citation|apellíu = Euler|nome = Leonhard|author-link = Leonhard Euler|añu = 1751|títulu = Recherches sur les racines imaginaires des équations|periodical = Histoire de l'Académie Royale des Sciences et des Belles-Lettres de Berlin|publication-place = Berlin|volume = 5|páxines = 222–288|url = http://bibliothek.bbaw.de/bbaw/bibliothek-digital/digitalequellen/schriften/anzeige/index_html?band=02-hist/1749&seite:int=228}} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20081224062952/http://bibliothek.bbaw.de/bbaw/bibliothek-digital/digitalequellen/schriften/anzeige/index_html?band=02-hist%2F1749&seite%3Aint=228 |date=2008-12-24 }}. English translation: {{Enllaz rotu|1=Investigations on the Imaginary Roots of Equations |2=http://www.mathsym.org/euler/y170.pdf |date=August 2024 |bot=InternetArchiveBot }}
* {{citation |apellíu=Gauss |nome=Carl Friedrich|author-link = Carl Friedrich Gauss|añu = 1799 |títulu=Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse|place = [[Helmstedt]] |publicación=C.&nbsp;G.&nbsp;Fleckeisen}} (tr. New proof of the theorem that every integral rational algebraic function of one variable can be resolvéi into real factors of the first or second degree).

=== Enllaces esternos ===
* [http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/fundamental2.shtml Fundamental Theorem of Algebra]&nbsp;— a collection of proofs (n'inglés)
* D. J. Velleman: ''The Fundamental Theorem of Algebra: A Visual Approach'', [http://www.cs.amherst.edu/~djv/ PDF (unpublished paper)], visualisation of d'Alembert's, Gauss's and the winding number proofs (n'inglés)
* {{MathWorld|FundamentalTheoremofAlgebra|Fundamental Theorem of Algebra}}
{{Tradubot|Teorema fundamental del álgebra}}
{{Control d'autoridaes}}
[[Categoría:Ecuaciones alxebraiques|*]]
[[Categoría:Teoremas d'álxebra Fundamental del algebra]]
[[Categoría:Teoremas fundamentales|Algebra]]