Ver la fonte de Teorema de los númberos primos

{{Ficha xenérica}}
En [[teoría de númberos]] el '''teorema de los númberos primos''' ye un enunciáu que describe la distribución [[analís asintótico|asintótica]] de los [[númberos primos]]. Esti teorema da una descripción xeneral de cómo tán distribuyíos los númberos primos nel conxuntu de los númberos naturales. Esto formaliza la idea intuitiva de que los primos son menos comunes cuanto más grandes son. Ye unu de los teoremas más importantes de la historia de les matemátiques, non solo pola so guapura sinón pola so influencia nel desenvolvimientu posterior de la investigación de los númberos primos.<ref> Gracián, Enrique: «Los númberos primos. Un llargu camín al infinitu» ISBN 978-84-473-6625-5, páx.77</ref>

El teorema tamién ye conocíu como '''teorema del númberu primu'''<ref>Introducción a la teoría analítica de númberos primos, T. M. Apostol, páx.98; ISBN 84-291-5006-4</ref> o '''teorema del númberu de primos'''.

== Espresión del teorema ==
[[Ficheru:PrimeNumberTheorem.png|thumb|right|300px|Gráficu comparativu de π(''x'') (colloráu), ''x'' / ln ''x'' (verde) y Li(''x'') (azul).]]
Sía <math>\pi(x)\,</math> la [[función contador de númberos primos]], que denota la cantidá de primos que nun entepasen a <math>x\,</math>. El teorema establez que:<ref>Niven y Zuckerman: ''Introducción a la teoría de númberos'' ISBN 968-18-0669-7, páxs.23 y 24</ref>

{{teorema|<math>\pi(x) \sim \frac{x}{\ln(x)}</math>, onde ''<math>\ln (x)</math>'' ye'l [[llogaritmu natural]] de <math>x</math>.}}

Esta espresión nun implica que la diferencia de les dos partes de la mesma pa valores de <math>x</math> bien grandes sía cero; namái implica que'l cociente d'éstes pa valores de <math>x\,</math> bien grandes ye casi igual a 1.

Un meyor aproximamientu que l'anterior vien dada pola [[llogaritmu integral|integral logarítmica movida]]:

{{teorema|<math>\pi(x) \approx \operatorname{Li} (x)</math> , onde ''<math>\operatorname{Li} (x)</math>'' ye la [[llogaritmu integral|integral logarítmica movida]] de <math>x</math>.}}

== Historia ==
En 1792 o 1793,<ref> Savitt, David (n'inglés). [http://www.math.cornell.edu/~web401/steve.gauss17gon.pdf «The Mathematics of Gauss.»] [[Cornell University]]. Consultáu'l 13 de xunu de 2015.</ref> tando entá nel [[Universidá Técnica de Brunswick|Collegium Carolinum]], y siempres según el mesmu Gauss («ins Jahr 1792 oder 1793»),<ref>Gauss, C. F. ''Werke'', Bd 2, 1st ed, 444-447. Göttingen 1863.</ref> este anotó na so llibreta de notes:
:: «Númberos primos menores que ''a'' (= ∞) ''a''/l''a''» qu'en llinguaxe modernu quier dicir que π(''a'') pa valores cada vez más grandes averar al cociente ''a''/ln''a'') y considérase como "la primer conxetura del Teorema de los númberos primos". Amás la función π(''x'') qu'indica la cantidá de númberos primos que nun superen a ''x'' foi definida por Gauss.<ref>Tou un capítulu, el cuartu dedicar a la rellación de llogaritmos y primos en «Los númberos primos. Un llargu camín al infinitu» d'Enrique Gracián, ISBN 978-84-473-6625-5</ref>

El teorema de los númberos primos tamién foi conxeturáu por [[Adrien-Marie Legendre]] en 1798, indicando que π(''x'') paecía tener la forma ''a''/(''A'' ln(''a'') + ''B''), onde ''A'' y ''B'' son constantes ensin especificar. Na segunda edición del so llibru de teoría de númberos (1808) él fixo una conxetura más precisa, indicando que ''A'' = 1 y ''B'' = −1.08366.<ref name="Sidki">Said Sidki: Indtoduçao à teoria dos númberos, impa 1975</ref> La conxetura foi darréu refinada por [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]] cola espresión que, anguaño, acomúñase más frecuentemente al teorema. Emprestaron contribuciones significatives sobre esta proposición [[Legendre]], Gauss, [[Dirichlet]], [[Chebychev]] y [[Riemann]].<ref name="Sidki"/>

La demostración formal del teorema facer de forma independiente tantu [[Jacques Hadamard]] como [[Charles-Jean de la Vallée Poussin]] nel añu 1896. Dambes demostraciones basar na resultancia de que la [[función zeta de Riemann]] <math>\zeta(z)\,</math> nun tien ceros de la forma ''1 + it'' con ''t > 0''. En realidá la demostración fixo sobre una espresión daqué más estricta de lo que s'indica na definición anterior del teorema, siendo la espresión demostrada por Hadamard y Poussin la siguiente:

<center>
<math>\pi(x)\approx\mbox{Li}(x)</math>
</center>
onde <center>

<math>\mbox{Li}(x)=\int_{2}^{x}\frac{dy}{\ln(y)}</math>.
</center>

Dende 1896 la espresión acomuñada al teorema de los númberos primos foi ameyorada socesivamente, siendo'l meyor aproximamientu actual la dada por:
<center>
<math>\pi(x)={\rm Li} (x) + O \left(x \, \exp \left( -\frac{A(\ln x)^{3/5}}{(\ln \ln x)^{1/5}} \right) \right)</math>
<br />
</center>
onde <math>O(f(x))\,</math> defínese como la función asintótica a <math>f(x)\,</math> y <math>A\,</math> ye una constante indeterminada.

Pa valores de <math>x\,</math> pequeños demostrárase que <math>\pi(x)<\mbox{Li}(x)\,</math>, lo que llevó a conxeturar a dellos matemáticos na dómina de Gauss que <math>\mbox{Li}(x)\,</math> yera una cota cimera estricta de <math>\pi(x)\,</math> (esto ye que la ecuación <math>\pi(x) - \mbox{Li}(x) = 0\,</math> nun tien soluciones reales). Sicasí, en 1912 [[J. Y. Littlewood]] demostró que dicha cota ye cruciada pa valores de <math>x\,</math> abondo grandes. El primeru d'ellos conozse como primer númberu de Skewes, y anguaño sábese que ye inferior a <math>\scriptstyle 10^{317}\,</math>, anque se piensa que pue ser inferior inclusive a <math>\scriptstyle 10^{176}\,</math>. En 1914 Littlewood amplió la so demostración cola inclusión de múltiples soluciones a la ecuación <math>\pi(x) - \mbox{Li}(x) = 0\,</math>. Munchos d'estos valores y afayos tán acomuñaos a la validez de la [[hipótesis de Riemann]].

== Rellación cola hipótesis de Riemann ==

Dada la conexón qu'hai ente la [[función zeta de Riemann]] ζ(''s'') y [[función contador de númberos primos|π(''x'')]], la [[hipótesis de Riemann]] ye bien importante en teoría de númberos, y de xacíu, nel teorema de los númberos primos.

Si la hipótesis de Riemann cumplir, entós el términu error qu'apaez nel teorema de los númberos primos puede acutase de la meyor manera posible. Concretamente, [[Helge von Koch]] demostró en 1901 que

:<math> \pi(x) = {\rm Li} (x) + O\left(\sqrt x \ln x\right). </math>

[[si y namái si]] la hipótesis de Riemann cumplir.
Una variante refinada de la resultancia de Koch, dada por Lowel Schoenfeld en 1976, afirma que la hipótesis de Riemann ye equivalente a la siguiente resultancia:

:<math>|\pi(x) - \operatorname{Li}(x)| < \frac{1}{8\pi} \sqrt{x} \, \ln(x), \qquad \text{pa tou } x \ge 2657. </math>

== Aproximamientos pal enésimu númberu primu ==

De resultes del teorema de los númberos primos, llógrase una espresión [[asíntota|asintótica]] pal enésimu númberu primu, denotado por ''p''<sub>''n''</sub>:
:<math>p_n \approx n \ln n.</math>
Un aproximamientu meyor ye:
:<math> p_n = n \ln n + n \ln \ln n + \frac{n}{\ln n} \big( \ln \ln n - \ln n- 2 \big) 
+ O\left( \frac {n (\ln \ln n)^2} {(\ln n)^2}\right).</math><ref>{{cita publicación|autor=Michele Cipolla|títulu=La determinazione assintotica dell'n<sup>imo</sup> numbero primu|añu=1902|revista=Matematiche Napoli|volume=3|páxines=132-166}}</ref>

== Teorema de los númberos primos pa progresiones aritmétiques ==

Sía <math>\pi_{n,a}(x)</math> la función que denota el númberu de primos nuna [[progresión aritmética]] ''a'', ''a'' + ''n'', ''a'' + 2''n'', ''a'' + 3''n'', … menor que ''x''. [[Dirichlet]] y [[Adrien-Marie Legendre|Legendre]] conxeturaron, y [[Charles Jean de la Vallée-Poussin|Vallée-Poussin]] demostró, que, si ''a'' y ''n'' son [[coprimos]], entós

:<math>
\pi_{n,a}(x) \sim \frac{1}{\varphi(n)}\mathrm{Li}(x), </math>.


onde φ(·) ye la [[función φ de Euler]]. N'otres pallabres, los númberos primos distribúyense uniformemente ente los residuos de clases [''a''] [[aritmética modular|módulu]] ''n'' con mcd(''a'', ''n'') = 1. Esto puede demostrase usando métodos similares utilizaos por Newman na so demostración del teorema de los númberos primos.<ref>{{cita publicación|autor=Ivan Soprounov|url=http://academic.csuohio.edu/soprunov_i/pdf/primes.pdf|títulu=A short proof of the Prime Number Theorem for arithmetic progressions|añu=1998|archiveurl=https://web.archive.org/web/20161109070841/http://academic.csuohio.edu/soprunov_i/pdf/primes.pdf|archivedate=2016-11-09|fechaaccesu=2018-02-24}}</ref>

El [[teorema de Siegel–Walfisz]] da una bona estimación de la distribución de los númberos primos nes residuos de clases.

=== Carrera de númberos primos ===

Anque tenemossobremanera, que

:<math>
\pi_{4,1}(x) \sim \pi_{4,3}(x), \, </math>.


empíricamente los primos congruentes con 3 son más numberosos y tán casi siempres en delantre nesta carrera de númberos primos», la primer inversión producir en ''x'' = 26,861.<ref name="Granville Martin MAA">
{{cita publicación
 | doi = 10.2307/27641834
 | last1 = Granville | first1 = Andrew
 | last2 = Martin | first2 = Greg
 | enllaceautor = Andrew Granville
 | fecha = xineru de 2006 
 | títulu = Prime Number Races
 | publicación = American Mathematical Monthly
 | volume = 113 | númberu = 1 | páxines = 1–33
 | url = http://www.dms.umontreal.ca/%7Eandrew/PDF/PrimeRace.pdf
 | jstor = 27641834
}}</ref>{{Rp|1–2}} Sicasí, Littlewood amosó en 1914<ref name="Granville Martin MAA" />{{Rp|2}} qu'hai un númberu infinitu de cambeos de signu de la función

:<math>
\pi_{4,1}(x) - \pi_{4,3}(x), \, </math>

de manera que'l lideralgu d'esta carrera camuda socesivamente infinites vegaes. El fenómenu de que π<sub>4,3</sub>(''x'') ta per delantre la mayor parte del tiempu llámase [[polarización de Chebyshev]]. La carrera de los númberos primos xeneralizada a otros módulos ye oxetu de numberoses investigaciones; Pál Turán preguntó si dase siempres el casu de que π(''x'';''a'',''c'') y π(''x'';''b'',''c'') camuden posiciones cuando ''a'' y ''b'' son coprimos con ''c''.<ref name=GuyA4>{{cita llibru |apellíu=Guy | nome=Richard K. | enllaceautor=Richard K. Guy | títulu=Unsolved problems in number theory | editorial=[[Springer-Verlag]] |edición=3rd | añu=2004 |isbn=978-0-387-20860-2 | zbl=1058.11001 | at=A4 }}</ref> Granville y Martin dan-y una esposición completa y estudiada.<ref name="Granville Martin MAA" />

== Referencies ==
{{llistaref}}
* {{cita web |url=http://www.math.columbia.edu/~goldfeld/ErdosSelbergDispute.pdf |títulu= The elementary proof of the prime number theorem:An historical perspective|fechaaccesu=10 de febreru de 2011|autor=Dorian Goldfeld|formatu=PDF |idioma=inglés}}

== Enllaces esternos ==
* {{MathWorld|PrimeNumberTheorem|Prime Number Theorem}}
* {{planetmath reference|id=199|títulu=Prime number theorem}}

{{ORDENAR:Numeros primos, teorema}}





{{Tradubot|Teorema de los números primos}}

{{control d'autoridaes}}
[[Categoría:Teoría multiplicativa de númberos]]
[[Categoría:Teoremas de teoría de númberos]]