Ver la fonte de Númberu real

{{Ficha xenérica}}
[[Ficheru:Números reales.svg|thumb|Distintes clases de númberos reales.]]
[[Ficheru:Real number line.svg|300px|thumb|[[Recta real]].]]
En [[matemátiques]], el conxuntu de los '''númberos reales''' (denotado por {{unicode|ℝ}}) inclúi tanto a los [[númberu racional|númberos racionales]] (positivos, negativos y el [[cero]]) como a los [[númberu irracional|númberos irracionales]];<ref name=in>{{cita llibru |apellíu=Arias Cabezas |apellíu2=Maza Sáez |nome=José María |nome2=Ildefonso |añu=2008 |títulu=Matemátiques 1 |fechaaccesu=30 d'abril de 2017 |páxina=13|capítulu=Aritmética y Álxebra |allugamientu=Madrid |editorial=Grupu Editorial Bruño, Sociedá Llindada |apellíu-editor=Carmona Rodríguez |apellíu-editor2=Díaz Fernández |nome-editor=Manuel |nome-editor2=Francisco Javier|isbn=9788421659854 |númberu-autor=2}}</ref> y n'otru enfoque, [[númberu trascendente|trascendentes]] y [[númberu alxebraicu|alxebraicos]]. Los irracionales y los trascendentes<ref name="Tsipkin">''Manual de matemátiques'' (1985) Tsipkin, Editorial Mir, Moscú, traducción de Shapovalova; pg. 86</ref> (1970) non pueden espresase por aciu una [[fracción]] de dos enteros con denominador non nulu; tienen infinites cifres decimales aperiódicas, tales como: √<span style="border-top:1px solid #000">5</span>, {{math|π}}, el númberu real {{math|log}}2, que la so trescendencia foi enunciada por [[Euler]] nel sieglu XVIII.<ref name="Tsipkin"/>

Los númberos reales pueden ser descritos y construyíos de delles formes, delles simples anque carentes del rigor necesario pa los propósitos formales de matemátiques y otres más complexes pero col rigor necesario pal trabayu matemáticu formal.

Mientres los sieglos XVI y XVII el [[cálculu infinitesimal|cálculu]] avanzó enforma anque escarecía d'una base rigorosa, yá que nel momentu prescindíen del rigor y fundamentu lóxicu, tan esixente nos enfoques teóricos de l'actualidá, y usábense espresiones como «pequeñu», «llende», «averar ensin una definición precisa. Esto llevó a una serie de paradoxes y problemes lóxicos que fixeron evidente la necesidá de crear una base rigorosa pa la matemática, que consistió de [[definición (matemática)|definiciones]] formales y rigoroses (anque verdaderamente téuniques) del conceutu de númberu real.<ref>{{cita llibru |apellíos=Anglin |nome=W. S. |títulu=Mathematics: A concise history and philosophy |añu=1991 |editorial=Springer |isbn=3-540-94280-7}}</ref> Nuna seición posterior van describise dos de les definiciones precises más avezaes anguaño: [[clases d'equivalencia]] de [[socesión de Cauchy|socesiones de Cauchy]] de númberos racionales y [[cortadures de Dedekind]].

== Historia ==
[[Ficheru:Oudjat.svg|thumb|left]]
Los [[Antiguu Exiptu|exipcios]] dieron orixe per primer vegada a les [[fracción exipcia|fracciones comunes]] alredor del añu [[1000 e.C.|1000&nbsp;e.&nbsp;C.]]; alredor del [[500 e.C.|500&nbsp;e.&nbsp;C.]] un grupu de matemáticos [[Antigua Grecia|griegos]] lideraos por [[Pitágores]] diose cuenta de la necesidá de los [[númberu irracional|númberos irracionales]]. Los [[númberu negativu|númberos negativos]] fueron escurríos por matemáticos [[India|indios]] cerca del [[600]], posiblemente reinventaos en [[China (rexón)|China]] pocu dempués, pero nun s'utilizaron n'[[Europa]] hasta'l [[sieglu XVII]], magar a finales del [[sieglu XVIII|XVIII]] [[Leonhard Euler]] refugó les soluciones negatives de les ecuaciones porque les consideraba irreales. Nesi sieglu, nel [[Analís matemáticu|cálculu]] utilizábense númberos reales ensin una definición precisa, cosa que finalmente asocedió cola definición rigorosa fecha por [[Georg Cantor]] en [[1871]].

En realidá, l'estudiu rigorosu de la construcción total de los númberos reales esixe tener amplios antecedentes de [[teoría de conxuntos]] y [[lóxica matemática]]. Foi llograda la construcción y sistematización de los númberos reales nel sieglu XIX por dos grandes matemáticos europeos utilizando víes distintes: la teoría de conxuntos de Georg Cantor (encajamientos socesivos, cardinales finitos ya infinitos), per un sitiu, y l'analís matemáticu de [[Richard Dedekind]] (vecindaes, redolaes y [[cortadures de Dedekind]]). Dambos matemáticos llograron la sistematización de los númberos reales na hestoria, non de manera bonal, sinón utilizando toles meyores previes na materia: dende l'antigua Grecia y pasando por matemáticos como [[René Descartes|Descartes]], [[Isaac Newton|Newton]], [[Leibniz]], [[Euler]], [[Joseph-Louis de Lagrange|Lagrange]], [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]], [[Bernhard Riemann|Riemann]], [[Cauchy]] y [[Weierstrass]].

=== Evolución del conceutu de númberu ===
Sábese que los [[Matemátiques nel Antiguu Exiptu|exipcios]] y [[Matemática babilónica|babilónicos]] faíen usu de fracciones (númberos racionales) na resolución de problemes práuticos. Sicasí, foi col desenvolvimientu de la matemática griega cuando se consideró l'aspeutu filosóficu de númberu. Los pitagóricos afayaron que les rellaciones harmóniques ente les notes musicales correspondíen a cocientes de númberos enteros, lo que los inspiró a buscar proporciones numbériques en toles demás coses, y espresar cola máxima «''tou ye númberu''».

Na matemática griega, dos magnitud son ''conmensurables'' si ye posible atopar una tercera tal que les primeres dos sían múltiplos de la postrera, esto ye, ye posible atopar una ''unidá'' común pa la que los dos magnitúes tengan una midida entera. El principiu pitagóricu de que tou númberu ye un cociente d'enteros, espresaba nesta forma que cualesquier dos magnitúes tienen de ser conmensurables.

Sicasí, l'ambiciosu proyeutu pitagóricu taramellóse ante'l problema de midir la diagonal d'un cuadráu, o la hipotenusa d'un triángulu rectángulu, pos nun ye conmensurable respectu de los catetos. En notación moderna, un triángulu rectángulu que los sos catetos miden 1, tien una hipotenusa que mide [[raigañu cuadráu de dos]], <math>\sqrt 2</math>:
{{cita|1=
Si por hipótesis <math>\sqrt 2=\frac{p}{q}</math> ye un númberu racional <math>\frac{p}{q}</math> y ta amenorgáu, entós <math>2=\frac{p^2}{q^2}</math> d'onde <math>2q^2=p^2</math>.
Si supónse que <math>p</math> o <math>q</math> tienen un dos na so descomposición entós taría al cuadráu y por tanto sería una cantidá par nun llau de la igualdá cuando al otru llau ye impar.
Poro, el camientu que <math>\sqrt 2</math> ye un númberu racional ten de ser falsa.
}}
Surdió entós un dilema, yá que d'alcuerdu de primeres pitagóricu: tou númberu yera racional, mas la hipotenusa d'un triángulu rectángulu isósceles nun yera conmensurable colos catetos, lo cual implicó que d'equí p'arriba les magnitúes xeométriques y les cantidaes numbériques tendríen que tratase por separáu, fechu que tuvo consecuencies nel desenvolvimientu de la matemática mientres los dos milenios siguientes.<ref>{{cita llibru |apellíos=Dantzig |nome=Tobias |títulu=The Bequest of the Greeks |añu=1955 |editorial=London: Unwin Brothers LTD |id=3982581}}</ref>

Los griegos desenvolvieron una xeometría basada en comparances (proporciones) de segmentos ensin faer referencia a valores numbéricos, usando diverses teoríes pa remanar el casu de midíes inconmensurables, como la [[teoría de proporciones de Eudoxo]]. Asina, los númberos irracionales permanecieron a partir d'entós escluyíos de l'aritmética yá que namái podíen ser trataos por aciu el métodu d'infinitos aproximamientos. Por casu, los pitagóricos atoparon (en notación moderna) que si {{math|{{fracción|''a''|''b''}}}} ye un aproximamientu a √<span style="border-top:1px solid #000">2</span> entós {{math|''p''}} = {{math|''a''}} + 2{{math|''b''}} y {{math|''q''}} = {{math|''a''}} + {{math|''b''}} son tales que {{math|{{fracción|''p''|''q''}}}} ye un aproximamientu más precisu. Repitiendo'l procesu nuevamente llógrense mayores númberos que dan un meyor aproximamientu.<ref name="Stillwell">{{cita llibru |apellíos=Stillwell |nome=John |títulu=Mathematics and its History |añu=1989 |editorial=Springer-Verlag |isbn=3-540-96981-0 |id=19269766}}</ref>
Yá que los llargores qu'espresen los númberos irracionales podíen ser llograes por aciu procesos xeométricos senciellos pero, aritméticamente, namái por aciu procesos d'infinitos aproximamientos, anició que mientres 2000 años la teoría de los númberos reales fora esencialmente xeométrica, identificando los númberos reales colos puntos d'una llinia recta.

Nueves meyores nel conceutu de númberu real esperaron hasta los sieglos XVI y XVII, col desenvolvimientu de la notación alxebraica, lo que dexó la manipulación y operación de cantidaes ensin faer referencia a segmentos y llargores. Por casu, atopáronse fórmules pa resolver ecuaciones de segundu y tercer grau de forma mecánica por aciu [[algoritmu|algoritmos]], que incluyíen raigaños ya inclusive, n'ocasiones, «númberos non reales» (lo qu'agora conocemos como [[númberu complexu|númberos complexos]]). Sicasí, nun esistía entá un conceutu formal de númberu e siguíase dando primacía a la [[xeometría]] como fundamentu de tola matemática. Inclusive col desenvolvimientu de la [[xeometría analítica]] esti puntu de vista calteníase vixente, pos [[René Descartes|Descartes]] refugaba la idea que la xeometría pudiera encontase en númberos, yá que para él la nueva área yera a cencielles una ferramienta pa resolver problemes xeométricos.

Darréu, la invención del [[cálculu infinitesimal|cálculu]] abrió un periodu de grandes meyores matemátiques, con nuevos y poderosos métodos que dexaron per vegada primera atacar los problemes rellacionaos colo infinito por aciu el conceutu de [[Llende d'una función llende]]. Asina, un númberu irracional pudo ser entendíu como la llende d'una suma infinita de númberos racionales (por casu, la so espansión decimal). Como amuesa, el númberu {{math|π}} puede estudiase de forma alxebraica (ensin apelar a la intuición xeométrica) por aciu la serie:
{{ecuación|
<math> \pi = 4 \left (
 1 - \frac{1}{3}+\frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots
 \right ) = 4\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\frac{1}{2k+1}
</math>
||left}}
ente munches otres espresiones similares. Aquel día, el conceutu intuitivu de númberu real yera yá'l modernu, identificando ensin problema un segmentu cola midida del so llargor (racional o non). El cálculu abrió'l pasu al [[analís matemáticu]], qu'estudia conceutos como continuidá, converxencia, etc. Pero l'analís nun cuntaba con definiciones rigoroses y munches de les demostraciones apelaben entá a la intuición xeométrica. Esto traxo a una serie de paradoxes ya imprecisiones.

== Notación ==
[[Ficheru:Latex real numbers square.svg|150px|right]]
Los númberos reales espresar con decimales que tienen una secuencia infinita de díxitos a la derecha de la coma decimal, como por casu 324,8232. Frecuentemente tamién se sub representen con tres puntos consecutivos a la fin (324,823211247…), lo que significaría qu'entá falten más díxitos decimales, pero que se consideren ensin importancia.

Les midíes nes [[Física|ciencies físiques]] son siempres un aproximamientu a un númberu real. Non yá ye más concisu escribilos con forma de fracción decimal (esto ye, [[númberu racional|númberos racionales]] que pueden ser escritos como proporciones, con un denominador exactu) sinón que, sía que non, suple íntegramente el conceutu y significáu del númberu real. Nel analís matemáticu los númberos reales son oxetu principal d'estudiu. Puede dicise que los númberos reales son la ferramienta de trabayu de les matemátiques de la continuidá, como'l cálculu y l'analís matemáticu, ente que los númberos enteros ser de les [[matemátiques discretes]], nes que ta ausente la continuidá.

Dizse qu'un númberu real ye '''recursivo''' si los sos díxitos pueden espresase por un algoritmu recursivo. Un númberu '''non-recursivo''' ye aquél que ye imposible d'especificar explícitamente. Aun así, la escuela rusa de [[Constructivismo (matemátiques)|constructivismo]] supón que tolos númberos reales son recursivos.

Los ordenadores namái pueden averase a los númberos reales por númberos racionales; de toes formes, dellos programes d'ordenador pueden tratar un númberu real de manera exacta usando la so definición alxebraica (por casu, "<span style="vertical-align:text-top; line-height:100%;"><math>\sqrt{2}</math></span>") en cuenta del so respeutivu aproximamientu decimal.

Los matemáticos usen el símbolu <math>\mathbb R</math> (o, d'otra forma, <span style="vertical-align:text-top; line-height:100%;"><math>\mathbf{R}</math></span>, la lletra "[[R]]" en negrina) pa representar el conxuntu de tolos númberos reales. La [[Tabla de símbolos matemáticos|notación matemática]] <math>\mathbb R^n</math> referir a un espaciu de <math>n</math> dimensiones de los númberos reales; por casu, un valor <math>\mathbb R^3</math> consiste de tres númberu reales y determina un llugar nun espaciu de tres dimensiones.

En matemática, la pallabra "real" úsase como axetivu, col significáu de que'l campu subxacente ye'l campu de los númberos reales. Por casu, ''[[matriz (matemática)|matriz]] real'', ''[[función real]]'', y ''[[Álxebra de Lie]] real''.

== Tipos de númberos reales ==

=== Racionales ya irracionales ===
Un númberu real pue ser un ''[[númberu racional]]'' o un ''[[númberu irracional]]''. Los númberos racionales son aquellos que pueden espresase como'l [[Cociente (aritmética)|cociente]] de dos númberos enteros, tal como 3/4, -21/3, 5, 0, 1/2, ente que los irracionales son tolos demás. Los númberos racionales tamién pueden describise como aquellos que la so representación decimal ye eventualmente periódica, ente que los irracionales tienen una espansión decimal aperiódica:
; Exemplos
: 1/4 = 0,25'''0'''0'''0'''0... Ye un númberu racional yá que ye periódicu a partir del tercer númberu decimal .
: 5/7 = 0,'''714285'''714285'''714285'''7.... Ye racional y tien un periodu de llargor 6 (repite 714285) .
:<math>\frac{\sqrt[3]{7}+1}{2}=1\text{,}456465591386194\ldots</math> ye irracional y la so espansión decimal ye aperiódica .
El conxuntu de los númberos racionales designar por aciu <math>\mathbb{Q}</math> .

=== Alxebraicos y trescendentes ===
Otra forma de clasificar los númberos reales ye en ''[[númberu alxebraicu|alxebraicos]]'' y ''[[númberu trascendente|trascendentes]]''. Un númberu ye alxebraicu si esiste un [[polinomiu]] de coeficientes racionales que lo tien por raigañu y ye trascendente en casu contrariu. Obviamente, tolos númberos racionales son alxebraicos: si <math>\frac{p}{q}</math> ye un númberu racional, con ''p'' enteru y ''q'' natural, entós ye raigañu de la ecuación ''qx''=''p''. Sicasí, non tolos númberos alxebraicos son racionales.
; Exemplos
: El númberu <math>\frac{\sqrt[3]{7}+1}{2}</math> ye alxebraicu yá que ye un raigañu del polinomiu <math>4x^3-6x^2+3x-4</math>
: Un exemplu de númberu trascendente ye <math>\ln3=1\text{,}09861228866811\ldots</math>
El conxuntu de los númberos alxebraicos designar por aciu <math>\mathbb{A}</math>.

=== Computables y irreductibles ===
Un númberu real dizse computable si tien una [[complexidá de Kolmogórov]] finita, esto ye, si puede escribise un programa informáticu d'estensión finita que xenere los díxitos de dichu númberu. Si un númberu real nun ye computable dizse irreductible. Una definición de númberu irreductible ye:

El conxuntu de númberos reales computables designar por <math>\R_{\rm comp}</math>. Obviamente los racionales y los alxebraicos son númberos computables. De fechu tiense la siguiente inclusión:
{{ecuación|
<math>\mathbb{Q} \subset \mathbb{A} \subset \mathbb{R}_{\rm comp}</math>
||left}}
Amás tiense que toos estos conxuntos son [[conxuntu numerable|numerables]]:
{{ecuación|
<math>\text{card}|\mathbb{Q}| = \text{card}|\mathbb{A}| = \text{card}|\mathbb{R}_{\rm comp}| = \aleph_0</math>
||left}}
Esto implica que'l conxuntu de tolos númberos computables ye un conxuntu de [[teoría de la midida midida nula]].

== Construcciones del conxuntu de númberos reales ==

=== Presentación axomática ===
Foi propuestu pol matemáticu alemán David Hilbert. En testos actuales de cálculu y analís matemáticu apaecen enunciaos equivalentes al de Hilbert.<ref>Haaser y otros, Kudiatsev; Bartle y otru, siguen</ref>
{{AP|Axomes de los númberos reales}}

Esisten distintes formes de construyir el conxuntu de los númberos reales a partir d'axomes, siendo la carauterización más común, el conocíu como ''métodu direutu'' qu'introduz el sistema (ℝ, +,., ≤), onde los elementos de llámense ''númberos reales'', + y. son dos operaciones en ℝ, ≤ ye una rellación d'orde en ℝ.<ref>"El conceutu de númberu de Númberu" (1973) César Trejo. La propuesta ye de D. Hilbert qu'apaeció nel so célebre artículu en 1900: ''Über die Zahlbegriff'' páxs. 82 y 83</ref> Preséntase una variante axomática, por aciu les siguientes trés propiedaes:
{{teorema|Un conxuntu <math>(K,+,\cdot, \leq)</math> ye ''el conxuntu de los númberos reales'' si satisfai les siguientes trés condiciones:
# <math>(K,+,\cdot)</math> ye un [[campu (matemátiques)|campu]].
# <math> (K,\leq)</math> ye un [[orde total|conxuntu totalmente ordenáu]] y l'orde ye compatible coles operaciones del campu:
#:Si <math>a\le b</math> entós <math>a+c\le b+c</math>;
#:Si <math>a\le b</math> y <math>0\le c </math> entós <math>ac \le bc</math>.
# El conxuntu ''K'' ye completu: satisfai'l [[axoma del supremu]]:
#: Tou conxuntu non vacíu y acutáu superiormente tien un [[Supremu (matemátiques)|supremu]].
}}
* L'axoma del supremu ye una variante del ''Principiu de Weirstrass" que diz que toa socesión de númberos reales acutada superiormente tien supremu Les
primeres dos condiciones definen el conceutu de ''campu ordenáu'', ente que la tercer propiedá ye de naturaleza topolóxica y ye la qu'estrema al conxuntu de los númberos reales de tolos demás campos ordenaos. Hai que faer notar que, en principiu pueden esistir distintos conxuntos que satisfaigan les mesmes condiciones y que podríen ser distintes al conxuntu de los númberos reales, pero un teorema establez que si eso asocediera, dambes estructures seríen esencialmente la mesma.

{{teorema|Cualquier campu ordenáu que cumpla los trés propiedaes mentaes ye [[isomorfu]] al conxuntu de los númberos reales.}}

En vista de lo anterior podemos falar de ''el'' conxuntu de los númberos reales (y non de ''un'' conxuntu de númberos reales) y estableciendo la so unicidá puede usase el símbolu ℝ pa representalo.

Al enunciar la tercer propiedá n'ocasiones especifícase que ℝ ye completu nel sentíu de Dedekind, pos esisten otros axomes que pueden usase y que, asumiendo les primeres dos condiciones, toos son lóxicamente equivalentes. Dalgunos d'estos son:
* (Cauchy) El conxuntu ''K'' cumple que cualesquier [[socesión de Cauchy]] ye converxente.
* (Bolzano-Weierstrass) El conxuntu ''K'' cumple que cualquier socesión acutada tien una subsocesión converxente.
* Cualquier socesión decreciente d'intervalos zarraos <math>I_1\supseteq I_2\supseteq I_3\supseteq \cdots</math> tien interseición non vacida.

Caúna de les primeres dos propiedaes mentaes al entamu de la seición correspuenden de la mesma a otra serie d'axomes, de cuenta que si fai un desglose, puede caracterizase'l conxuntu de los númberos reales como un conxuntu que satisfaiga la siguiente llista d'axomes.

# Si <math>x,y\in\mathbb{R}</math>, entós <math>x+y\in\mathbb{R}</math> (Pesllera na suma)
# Si <math>x,y\in\mathbb{R}</math>, entós <math>x+y=y+x\,</math> (Conmutatividad na suma)
# Si <math>x,y,z\in\mathbb{R}</math>, entós <math>(x+y)+z=x+(y+z)\,</math> (Asociatividad na suma)
# Esisti <math>0\in\mathbb{R}</math> de manera que <math>x+0=x\,</math> pa tou <math>x\in\mathbb{R}</math> (Neutru aditivu)
# Pa cada <math>x\in\mathbb{R}</math> esiste un elementu <math>-x\in\mathbb{R}</math> tal que <math>-x+x=0\,</math> (Inversu aditivu)
# Si <math>x,y\in\mathbb{R}</math>, entós <math>xy\in\mathbb{R}</math> (Pesllera na multiplicación)
# Si <math>x,y\in\mathbb{R}</math>, entós <math>xy=yx\,</math> (Conmutatividad na multiplicación)
# Si <math>x,y,z\in\mathbb{R}</math>, entós <math>(xy)z=x(yz)\,</math> (Asociatividad na multiplicación)
# Esisti <math>1\in\mathbb{R}</math> de manera que <math>x\cdot{1}=1\cdot{x}=x\,</math> pa cualesquier <math>x\in\mathbb{R}</math> (Neutru multiplicativu)
# Pa cada <math>x\neq 0,x\in\mathbb{R}</math> esiste un elementu <math>x^{-1}\in\mathbb{R}</math> tal que <math>x^{-1}x=1\,</math> (Inversu multiplicativu)
# Si <math>x,y,z\in\mathbb{R}</math>, entós <math>x(y+z)=xy+xz\,</math> (Distributividad de la multiplicación na suma)
# Si <math>x,y\in\mathbb{R}</math>, entós cumplir namái una d'estes: ([[Llei de tricotomía|Tricotomía]])
#* <math>x<y\,</math>
#* <math>y<x\,</math>
#* <math>x=y\,</math>
# Si <math>x,y,z\in\mathbb{R}</math>, <math>x<y\,</math> y <math>y<z\,</math> entós <math>x<z\,</math> (Transitividá)
# Si <math>x,y,z\in\mathbb{R}</math> y <math>x<y\,</math>, entós <math>x+z<y+z\,</math> (Monotonía na suma)
# Si <math>x,y,z\in\mathbb{R}</math>, <math>x<y\,</math> y <math> 0<z \,</math>, entós <math>xz<yz\,</math> (Monotonía na multiplicación)
# Si <math> Y \subset \mathbb{R} </math> ye un conxuntu non vacíu acutáu superiormente en <math> \mathbb{R}</math>, entós <math> Y \, </math> tien supremu en <math> \mathbb{R}</math> ([[Axoma del supremu]])

Los axomes del 1 al 15 correspuenden a la estructura más xeneral de cuerpu ordenáu.
L'últimu axoma ye'l qu'estrema <math> \mathbb{R}</math> d'otros cuerpos ordenaos como <math> \mathbb{Q}</math>. Tien De señalase que los axomes 1 a 15 nun constitúin una [[teoría (lóxica)|teoría categórica]] yá que puede demostrase qu'almiten siquier un [[teoría de modelos|modelu]] [[analises non-estándar|non estándar]] distintu de los númberos reales, que ye precisamente'l modelu nel que se basa la construcción de los [[númberu hiperreal|númberos hiperreales]]

=== Construcción por númberos decimales ===
Consideramos los [[númberu decimal|númberos decimales]] como los conocemos intuitivamente. Sabemos que <math>\pi=3,1415926535897932384626\dots</math>, esto ye, el [[Númberu pi|númberu π]] esprésase como'l [[númberu enteru]] 3 y una secuencia infinita de ''díxitos'' 1, 4, 1, 5, 9, 2, etc.

Un númberu decimal esprésase entós como <math>x.d_1d_2d_3d_4\dots</math> onde <math>x</math> ye un númberu enteru y cada <math>d_i</math> ye un elementu del conxuntu <math>\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}</math>. Amás, consideramos que nun esisten les [[0,9 periódicu|coles de 9]].

Al conxuntu de tolos númberos decimales onde <math>x</math> ye un númberu enteru positivu se -y denota por <math>\mathbb{R}^+</math> y llámase-y el conxuntu de los númberos ''reales positivos''.

Al conxuntu de tolos númberos decimales onde <math>x</math> ye un númberu enteru negativu se -y denota por <math>\mathbb{R}^-</math> y llámase-y el conxuntu de los númberos ''reales negativos''.

Al númberu decimal <math>0,00000\dots</math> llámase-y ''cero''.

Al conxuntu <math>\mathbb{R}^+\cup\mathbb{R}^-\cup\{0,00000\dots\}</math> se -y denota por <math>\mathbb{R}</math> y llámase-y conxuntu de ''númberos reales''.

Defínese la rellación d'[[orde total]] de los númberos decimales como #
<math>0>x\,</math> pa tou <math>x\in\mathbb{R}^-</math>
# <math>x>y\,</math> siempres que <math>x\in\mathbb{R}^+</math> y <math>y\in\mathbb{R}^-</math>
# <math>x>0\,</math> pa tou <math>x\in\mathbb{R}^+</math>
# Daos dos númberos reales cualesquier <math>x=a.a_1a_2a_3a_4\dots</math> y <math>y=b.b_1b_2b_3b_4\dots</math>, <math>x>y\,</math> en cualesquier de los casos siguientes:
#* <math>a>b\,</math>
#* <math>a=b\,</math> y amás esiste <math>n\in\mathbb{N}</math> tal que <math>a_i=b_i\,</math> pa tou <math>1\leq i<n</math> y <math>a_n > b_n\,</math>

=== Construcción por cortadures de Dedekind ===
{{AP|Cortadures de Dedekind}}

Hai valores que nun se pueden espresar como [[Númberu racional|númberos racionales]], tal ye'l casu de <math>\sqrt 2</math>. Sicasí ye claro que puede averase <math>\sqrt 2</math> con númberos racionales tanto como se deseye. Podemos entós partir al conxuntu de los númberos racionales en dos subconxuntos <math>A</math> y <math>B</math> de manera que nel conxuntu <math>A</math> atópense tolos númberos racionales <math>x < \sqrt 2</math> y en <math>B</math> tolos númberos racionales tales que <math>x > \sqrt 2</math>.

Una ''cortadura de dedekind'' ye un [[par ordenáu]] <math>(A,B)</math> que fai precisamente esto. Conceptualmente, la cortadura ye'l "espaciu" qu'hai ente <math>A</math> y <math>B</math>. D'esta manera ye posible definir a <math>\sqrt 2</math> como <math>(A,B)</math> tal que <math>A = \{x\in\mathbb{Q}:x^2<2\}</math> y <math>B=\{x\in\mathbb{Q}:x^2>2\}</math>.

Ye posible demostrar que <math>B</math> queda unívocamente definíu por <math>A</math>, d'esta manera la cortadura <math>(A,B)</math> amenórgase a cencielles a <math>A</math>.

Tamién ye demostrable que'l conxuntu de toles cortadures cumple colos axomes de los númberos reales, d'esta manera <math>\mathbb{R}</math> ye'l conxuntu de toles cortadures de Dedekind. Esta ye la primer construcción [[Sistema formal|formal]] de los númberos reales so la [[teoría de conxuntos]].

=== Construcción por socesión de Cauchy ===
{{AP|Socesión de Cauchy}}
Les socesiones de Cauchy retomen la idea d'averar con númberos racionales un númberu real.{{ensin referencies|}} Tómese por casu, la igualdá.
: <math>
 \sum_{n=0}^{\infty } \cfrac{4(-1)^n}{2n+1} =
 \frac{4}{1} - \frac{4}{3} + \frac{4}{5} - \frac{4}{7} + \frac{4}{9} - \dots =
 \pi </math>.

Ye claro qu'esta sumatoria opera namái colos númberos racionales de la forma:
: <math>
 \cfrac{4(-1)^n}{2\,n+1}
</math>

sicasí la resultancia final ye'l númberu irracional <math>\pi\,</math>. Cada vez que s'añedir un términu, la espresión avérase más y más a <math>\pi\,</math>.

Les socesiones de Cauchy xeneralicen esti conceutu pa definir a los númberos reales. Primero defínese qu'una ''socesión de númberos racionales'' ye una función se denota a cencielles por <math>x_i</math>.

Una ''socesión de Cauchy'' ye una socesión de númberos racionales onde los sos elementos cada vez son menos distintos. Más formalmente, defínese una ''socesión de Cauchy'' como una socesión de númberos racionales tales que pa tou <math>\epsilon\in\mathbb Q^+</math> esiste un <math>n_0\in\mathbb N</math> tal que pa tou <math>m,n\geq{n_0}</math> cumplir <math>|x_m-x_n|<\epsilon\,</math>.

D'esta manera ye posible definir al númberu real <math>\pi</math> como la socesión de númberos racionales:
: <math>
 x_i =
 \sum_{n=0}^i \cfrac{4(-1)^n}{2n+1}
</math>

==== Definición de los númberos reales ====
Sía Γ el conxuntu de les socesiones de Cauchy en Q. Sía la rellación siguiente, definida ente les socesiones de Cauchy de Q, (x<sub>n</sub>) y (y<sub>n</sub>):

* <center>(x<sub>n</sub>)ρ(y<sub>n</sub>) s. s.s. lim (x<sub>n</sub>-y<sub>n</sub>) = 0 cuando n → ∞ </center>.

* Esta rellación ρ ye una rellación d'equivalencia nel conxuntu de socesiones de Cauchy con elementos del conxuntu Q de los númberos racionales.

* Llamamos '''conxuntu de los númberos reales''' al conxuntu cociente ''' R = Γ/ρ'''.
*Nel intre se define sobre R una llei de grupu aditivu, una rellación d'orde y una topoloxía. Demuéstrase que Q ( conxuntu de los racionales) ye isomorfu a una parte de R.<ref>Zamansky. ''Introducción a la álxebra y analís modernu''. Montaner y Simon, Barcelona</ref>

==== Propiedá Arquimediana (Axoma de Arquímedes) ====
Sían a > 0 y b númberos reales cualesquier, esiste un númberu natural n tal que na > b; esto espresa de la mesma que la socesión b/n tiende a cero.<ref>Haaser y otros: Análisi matemáticu I</ref>

== Operaciones con númberos reales ==
Con númberos reales pueden realizase tou tipu d'operaciones básiques con diverses esceiciones importantes:

# Nun esisten [[radicación|raigaños]] d'orde par (cuadraes, cuartes, sestes, etc.) de númberos negativos en númberos reales, (anque sí esisten nel conxuntu de los [[Númberu complexu|númberos complexos]] onde diches operaciones sí tán definíes).
# La [[división ente cero]] nun ta definida (pos cero nun tener inversu multiplicativu, esto ye, nun esiste númberu ''x'' tal que 0·''x''=1).
# Nun puede topase el llogaritmu d'un númberu real negativu, cualesquier sía la base de llogaritmos, un númberu positivu distintu de 1.<ref>Aplíquese la definición de llogaritmu</ref>

Estes restricciones tienen repercusiones n'otres árees de les matemátiques como'l cálculu: esisten [[asíntotas]] verticales nos llugares onde'l denominador d'una [[función (matemática)|función]] racional tiende a cero, esto ye, naquellos valores de la variable nos que se presentaría una [[división ente cero]], o nun esiste gráfica real naquellos valores de la variable en que resulten númberos negativos pa raigaños d'orde par, por mentar un exemplu de construcción de gráfiques en xeometría analítica.

== Dos particiones ==
# El conxuntu de los reales ye la unión dixunta de los racionales y de los irracionales
# El conxuntu R ye la unión d'A y T, Al conxuntu de los reales alxebraicos y T el conxuntu de los trascendentes<ref>Courant: ¿Qué ye la matemática?</ref>

== Ver tamién ==
{{Clasificación númberu}}

=== Dos clasificaciones ===
# Hai una partición del conxuntu de los reales en dos subconxuntos: racionales ya irracionales. Tolos racionales son alxebraicos y los irracionales pueden ser alxebraicos y trascendentes.
# Hai otra partición del conxuntu de los reales n'otros dos subconxuntos: alxebraicos y trascendentes. Los primeres son racionales ya irracionales. Tolos trascendentes son irracionales<ref name="Tsipkin" />

== Notes y referencies ==
{{llistaref}}

== Enllaces esternos ==
{{commonscat|Real numbers}}

* {{MathWorld|RealNumber}}

{{ORDENAR:Numbero reales}}

{{Control d'autoridaes}}{{Tradubot|Número real}}
[[Categoría:Númberos reales|Númberos reales]]
[[Categoría:Matemática elemental]]