Ver la fonte de Númberu e

{{DISPLAYTITLE:Númberu {{mvar|e}}}}
{{otros usos|esti=la constante matemática |Númberu E|el códigu d'aditivos alimenticios}}
{{Ficha xenérica}}
[[Ficheru:10,000 digits of e - poster.svg|miniatura|Diez mil primeres cifres decimales del númberu <math>e</math> en formatu [[cartelu]].]]
La constante matemática '''''<math>e\,</math>''''' ye unu de los [[Númberu irracional|númberos irracionales]] más importantes.<ref>{{cita llibru |nome=Howard Whitley |apellíu=Eves |títulu=An Introduction to the History of Mathematics |url=https://books.google.com/books?id=LIsuAAAAIAAJ ||añu=1969 |editorial=Holt, Rinehart & Winston |páxines=464}}</ref>
Ye aproximao igual a 2,71828 y apaez en diverses cañes de les [[Matemátiques]], al ser la base de los [[llogaritmu natural|llogaritmos naturales]] y formar parte de les ecuaciones del [[interés compuestu]] y otros munchos problemes.

El númberu <math>e\,</math>, conocíu n'ocasiones como '''númberu d'Euler''' o '''constante de Napier''', foi reconocíu y utilizáu per primer vegada pol matemáticu [[Escocia|escocés]] [[John Napier]], quien introdució'l conceutu de ''[[llogaritmu]]'' nel [[Cálculu infinitesimal|cálculu matemáticu]].

Xuega un papel importante nel [[Cálculu infinitesimal|cálculu]] y nel analís matemáticu, na definición de la función más importante de la matemática,{{Harvnp|Semenovich Piskunov|1979}} la función esponencial, según [[Númberu π|<math>\pi\,</math>]] lo ye de la [[xeometría]] y el númberu [[Númberu imaxinariu|<math>i\,</math>]] del [[analís complexu]] y de la álxebra.

El númberu <math>e\,</math>, al igual que'l númberu [[Númberu π|<math>\pi\,</math>]] y el [[númberu áureo]] (φ), ye un [[númberu irracional]], non expresable por aciu una razón de dos númberos enteros; o bien, nun puede ser representáu por un numberal decimal exactu o un decimal periódicu. Amás, tamién como <math>\pi\,</math>, ye un [[númberu trascendente]], esto ye, que nun puede ser raigañu de nenguna [[ecuación alxebraica]] con coeficientes racionales.{{Harvnp|Lima|1991}}
El valor de <math>e\,</math> truncáu a les sos primeres cifres decimales ye'l siguiente:

<center><math>e\ \approx 2,71828 18284 59045 23536 ...</math></center>

{| class="infobox" style ="width: 200px"
| colspan="2" align="center" | [[Llista de númberos]] – [[Númberu irracional|Númberos irracionales]]<br />[[Constante de Apéry|ζ(3)]] – [[Raigañu cuadráu de 2|√<span style="border-top:1px solid #00C">2</span>]] – [[Raigañu cuadráu de 3|√<span style="border-top:1px solid #00C">3</span>]] – [[Raigañu cuadráu de 5|√<span style="border-top:1px solid #00C">5</span>]] – [[Númberu áureo|φ]] – [[Númberos de Feigenbaum|α]] – e – [[Númberu π|π]] – [[Númberos de Feigenbaum|δ]]
|-
|[[Sistema binariu|Binariu]]
| 10.10110111111000010101…
|-
|[[Sistema de numberación decimal|Decimal]]
| 3.14159265358979323846…
|-
|[[Sistema hexadecimal|Hexadecimal]]
| 3.243F6A8885A308D31319…
|-
|[[Fraición continua]]
| <math>1+\cfrac{2}{1+\cfrac{1}{6+\cfrac{1}{10+\cfrac{1}{14+\cfrac{1}{18+\ddots\,}}}}}</math><br /><small>Nótese que la fracción continua nun ye periódica.</small>
|}

== Historia ==

[[Ficheru:Leonhard Euler.jpg|miniatura|200px|[[Leonhard Euler]] popularizó l'usu de la lletra ''e'' pa representar la constante; amás foi'l descubridor de numberoses propiedaes referentes a ella.]]

A diferencia de <math>\pi\,</math>, la introducción del númberu <math>e</math> na matemática ye relativamente recién, lo cual tien sentíu si considérase qu'esti postreru tuvo un orixe analíticu y non xeométricu, como'l primeru. Nes pallabres d'[[Eli Maor]]:<ref>{{cita llibru |apellíos=Maor |nome=Eli |títulu="E:" The Story of a Number: The Story of a Number |url=https://books.google.es/books?id=rCGM6TKHyboC&pg=PA12#v=onepage&q&f=false |capítulu=Recognition |url-capítulu=https://books.google.es/books?id=rCGM6TKHyboC&pg=PA11#v=onepage&q&f=false |fecha=12 d'ochobre de 2011 |editorial=[[Princeton University Press]] |páxina=12 |isbn=9781400832347}}</ref>

{{cita|The story of <math>\pi\,</math> has been extensively told, non doubt because its history goes back to ancient times, but 
also because much of it can be grasped without a knowledge of advanced mathematics. Perhaps non book did better than Petr Beckmann's ''A History of Pi'', a model of popular yet clear and precise exposition. The number e fared less well. Not only is it of more modern vintage, but its history is closely associated with the calculus, the subject that is traditionally regarded as the gate to "higher" mathematics.|col2=

La hestoria de <math>\pi\,</math> foi extensivamente contada, ensin dulda non yá porque la so hestoria traer dende tiempos antiguos, sinón tamién porque enforma d'él pue ser entendíu ensin una conocencia avanzada de les matemátiques. Quiciabes nengún llibru foi meyor que ''Hestoria de Pi'' de Petr Beckmann, un modelu d'esposición popular pero tamién claro y precisu. Al númberu ''y'' nun-y foi tan bien. Non yá ye d'una dómina más moderna, sinón tamién que la so hestoria ta cercanamente acomuñada col cálculu, la tema que ye tradicionalmente vistu como la puerta escontra matemátiques "más elevaes".
}}

Les primeres referencies a la constante fueron publicaes en 1618 na tabla nun apéndiz d'un trabayu sobre llogaritmos de [[John Napier]].<ref>{{MacTutor|id=y|títulu=The number ''y''|clase=HistTopics|fecha =2001}}</ref>
Sicasí, esta tabla nun contenía'l valor de la constante, sinón que yera a cencielles una llista de llogaritmos naturales calculaos a partir d'ésta. Créese que la tabla foi escrita por [[William Oughtred]]. Unos años más tarde, en 1624, <math>e</math> vese nuevamente arreyáu na lliteratura matemática, anque non del tou. Esi añu, Briggs dio un aproximamientu numbéricu a los llogaritmos en base 10, pero nun mentó al númberu <math>e</math> explícitamente nel so trabayu.

La siguiente apaición de <math>e</math> ee daqué dudosa. En 1647, Saint-Vincent calculó l'área so la hipérbola rectangular. Si reconoció la conexón colos llogaritmos ye una cuestión abierta a alderique, ya inclusive si facer, nun hubo razón por que tratara con <math>e</math> explícitamente. Quien sí entendió la rellación ente la hipérbola rectangular y el llogaritmu foi Huygens allá por 1661, al estudiar el problema del área so la curva <math>ex = 1</math>. El númberu <math>e</math> ee aquel valor d'ascisa a tomar por que l'área so esta curva a partir de 1 sía igual a 1. Esta ye la propiedá que fai que <math>e</math> sía la base de los llogaritmos naturales, y magar nun yera entendida del tou polos matemáticos d'aquel entós, d'a pocu diben averándose a la so comprensión.

Sicasí, y seique inesperadamente, nun ye al traviés de los llogaritmos que <math>e</math> ee descubiertu, sinón del estudiu del ''[[interés compuestu]]'', problema encetáu por [[Jacob Bernoulli]] en 1683. Si inviértese una ''Unidá Monetaria'' (que vamos embrivir en delantre como ''UM'') con un interés del 100% añal y páguense los intereses una vegada al añu, van llograse 2 UM. Si paguen los intereses 2 vegaes al añu, estremando l'interés ente 2, la cantidá llograda ye 1 UM multiplicáu por 1,5 dos veces, ye dicir 1 UM x 1,50² = 2,25 UM. Si estremamos l'añu en 4 periodos (trimestres), al igual que la tasa d'interés, llógrense 1 UM x 1,25⁴ = 2,4414... En casu de pagos mensuales el monto xube a 1 UM x <math>(1+\textstyle{1 \over 12})^{12}</math> = 2,61303...UM. Por tanto, cada vez que s'aumentar la cantidá de periodos de pagu nun factor de ''n'' (que tiende a crecer ensin llende) y amenórgase la tasa d'interés nel periodu, nun factor de <math>\textstyle {1 \over n}</math>, el total d'unidaes monetaries llograes va tar dau pola siguiente espresión:

:<math>\lim_{n\to\infty} \left(1+{1\over n}\right)^n.</math>

Bernoulli utilizó'l [[teorema del binomiu]] p'amosar que dichu llende atopar ente 2 y 3. Puede considerase esta'l primer aproximamientu atopáu pa <math>e</math>. Inclusive si aceptamos esta como una definición de <math>e</math>, seria la primer vegada qu'un númberu defínese como un procesu de llende. Con seguridá, Bernoulli nun reconoció nenguna conexón ente'l so trabayu y los llogaritmos.
D'equí provién la definición que se da de <math>e</math> en finances, qu'espresa qu'esti númberu ye la llende d'una inversión de 1 UM con una tasa d'interés al 100% añal compuestu en forma continua. En forma más xeneral, una inversión que s'empecipia con un capital ''C'' y una tasa d'interés añal ''R'', va apurrir <math>Ce^R</math> UM con interés compuestu.

El primer usu conocíu de la constante, representáu pola lletra ''b'', foi nuna carta de [[Gottfried Leibniz]] a [[Christiaan Huygens]] en 1690 y 1691. [[Leonhard Euler]] empezó a utilizar la lletra ''y'' pa identificar la constante en 1727, y el primer usu de <math>e</math> nuna publicación foi en ''Mechanica'', d'Euler, publicáu en [[1736]]. Ente que nos años subsiguientes dellos investigadores usaron la lletra ''c'', <math>e</math> foi la más común, y finalmente convirtióse na terminoloxía avezada. Euler realizó dellos apurras en rellación a <math>e</math> nos años siguientes, pero nun foi hasta 1748 cuando publicó'l so ''Introductio in Analysin infinitorum'' que dio un tratamientu definitivu a les idees sobre <math>e</math>. Ellí amosó que :<math>e 
= 1 + \frac{1}{1} + \frac{1}{1\cdot 2} + \frac{1}{1\cdot 2\cdot 3} + \cdots</math>
y dio un aproximamientu pa <math>e</math> de 18 cifres decimales, ensin amosar cómo la llogró. Tamién dio la so espresión como fracción continua reconociendo'l patrón que sigue dicha espresión. Foi esta carauterización la que lu sirvió de base pa concluyir que <math>e</math> ee un [[númberu irracional]], y la mayor parte de la comunidá acepta que Euler foi'l primeru en probar esta propiedá.

La pasión que guio a muncha xente a calcular más y más cifres decimales de <math>\pi\,</math> nunca paeció retrucar de la mesma manera pa <math>e</math>. Sicasí, dalgunos embarcáronse na xera de calcular la so espansión decimal y el primeru en contribuyir con esto foi [[William Shanks]] en 1854. Vale la pena destacar que Shanks foi un entusiasta entá mayor del cálculu de los decimales de <math>\pi</math>. [[James Whitbread Lee Glaisher]] amosó que los primeres 137 llugares de Shanks pal cálculu de <math>e</math> eeren correutos, pero atopó un error que, depués de correxíu por el mesmu Shanks, refundio cifres decimales de y hasta'l llugar 205. Ello ye que precísense alredor de 120 términos de 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ... pa llograr 200 decimales.

Espansiones decimales entá mayores siguieron colos trabayos de Boorman en 1884, quien calculó 346 llugares y topó que'l so cómputu coincidía col de Shanks hasta'l llugar 187, pero depués diverxíen. En 1887 Adams envaloró'l llogaritmu de <math>e</math> en base 10 con 272 cifres exactes.

En 1873, [[Charles Hermite]] (1822-1905) llogró demostrar que <math>e</math> ee trascendente, a dichu llogru llegó usando un polinomiu, consiguíu con ayuda de [[fracción continua|fracciones continues]], emplegaes, enantes, por [[Johann Heinrich Lambert|Lambert]]. [[David Hilbert]] — tamién [[Karl Weierstrass]] y otros — propunxeron, posteriomente, variantes y cambeos de les primeres demostraciones.<ref>{{cita publicación |publicación=Pro Mathematica |volume=IV |númberu=7-8 |añu=1990 |editorial=PUCP |allugamientu=Lima |issn=1012-3938}}</ref>

== Definición ==
[[Ficheru:hyperbola E.svg|miniatura|derecha|L'área ente la exa ''x'' y la gráfica ''e'' = 1/''x'', ente ''x'' = 1 y ''x'' = ''e'' ye 1.]]

La definición más común de <math>e</math> ee como'l valor llende de la socesión <math>(1+\tfrac{1}{n})^n</math>.<ref>{{cita llibru |apellíu=Arias Cabezas |apellíu2=Maza Sáez |nome=José María |nome2=Ildefonso |añu=2008 |títulu=Matemátiques 1 |url= |fechaaccesu=3 de mayu de 2017 |páxina=19 |capítulu=Aritmética y Álgebra |lugar=Madrid |editorial=Grupu Editorial Bruño, Sociedá Llindada |apellíu-editor=Carmona Rodríguez |apellíu-editor2=Díaz Fernández |nome-editor=Manuel |nome-editor2=Francisco Javier |idioma=castellanu |isbn=9788421659854 |númberu-autores=2}}</ref> En símbolos, :<math>e:=\lim_{n\to\infty}
\left(1+{1\over n}\right)^n</math>

Dacuando tómase tamién como puntu de partida la [[serie matemática|serie]]

:<math>e=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}</math>
que s'espande como :<math>e
= \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots </math>

Otra definición habitual<ref>Esta forma de definir la función llogaritmu natural, el númberu e, la función esponencial, etc. puede atopase en ''Cálculu Infinitesimal'' 2ª edición, cap. 17 (p. 465) de Michael Spivak, Reverté o en ''Calculus'' 2ª edición, cap. 6 (p. 277) de Tom Apostol, Reverté.</ref> dada al traviés del cálculu integral ye como solución de la ecuación

:<math> \int_1^x \frac {dt} t = 1,</math>

ye dicir que se define <math>e</math> como'l númberu pal que

:<math>\int_1^e \frac {dt} t = 1.</math>

== Propiedaes matemátiques y aplicaciones ==

=== Analís matemáticu ===

==== Función esponencial ====
{{AP|Función esponencial}}
[[Ficheru:Exp derivative at 0.svg|derecha|''e'' ye l'únicu númberu ''a'', tal que la derivada de la función esponencial ''f''(''x'') = a<sup>''x''</sup> (curva azul) nel puntu ''x''&nbsp;=&nbsp;0 ye igual a 1. En comparanza, les funciones 2<sup>''x''</sup> (curva a puntos) y 4<sup>''x''</sup> (curva a trazos) son amosaes; nun son tanxentes a la llinia de rimada 1 (colloráu).]]

Pa cualesquier <math>x\in\R</math>, la [[Socesión matemática|socesión]] <math>\left( 1 + \tfrac{x}{n} \right)^n</math> converxe. Podemos denotar dichu llende con <math>e^x</math>: 

: <math>e^x := \lim_{n \to \infty} \left( 1 + {x \over n} \right)^n.</math>

Llámase [[esponencial|función esponencial]] a la función real que la so variable independiente percuerre'l conxuntu <math>\R</math> de los númberos reales, y defínese como

:<math>\begin{align} f\colon \mathbb{R} &\to \mathbb{R^+} \\ x &\mapsto e^x\end{align}</math>

La traza más relevante de la [[función esponencial]] ye que la so función derivada (qu'esiste en tou puntu) coincide cola mesma función, esto ye,

:<math>\frac{d}{dx}e^x=e^x.</math>

Amás, ye la única función non hermano nula (a menos de multiplicación por constantes) con esta propiedá. Esto fai de la esponencial la función más importante del analís matemáticu, y en particular pa les [[ecuación diferencial|ecuaciones diferenciales]].

El desenvolvimientu en serie de la función <math> f(x) = e^x </math> realizar por aciu la [[Serie de Maclaurin|fórmula de Maclaurin]]. Yá que 

:<math> f(x) = f^{'}(x) = f^{''}(x) = ...= f^{n+1}(x) = e^x, </math>
:<math> f(0) = f^{'}(0) = f^{''}(0) = ...= f^{n+1}(0) = 1, </math> 

la fórmula de Maclaurin escribir de la siguiente manera:

:<math> e^x = \sum_{k=0}^n \frac {f^{(k)}(0)}{k!} \, x^{k} + R_k(x)= 1 + \frac{x}{1!} + \frac {x^2}{2!} +\frac{x^3}{3!}+...+\frac{x^n}{n!}+O(x^{n+1})</math>

Suponiendo ''x''=1, llógrase'l valor averáu del númberu 

:<math> e \approx 1 + \frac{1}{1!} + \frac {1}{2!} +\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{n!}</math>

Onde s'entiende como un valor averáu.<ref>V. S. Shipachev. Op. cit.</ref>

====Problema de Steiner====

[[Ficheru:Xth root of x.svg|miniatura|derecha|250px|El [[máximu absolutu|máximu global]] de <math>\sqrt[x]{x}</math> asocede en <math>x=e</math>.]]

Esti problema plantega atopar el [[máximu absolutu]] de la función

:<math> f(x) = x^{1/x}.</math>

Esti máximu dase precisamente en <math>e</math>.<ref>{{cita llibru |apellíu=Dorrie |nome=Heinrich |títulu=100 Great Problems of Elementary Mathematics: Their History and Solution |url=https://archive.org/stream/100GreatProblemsOfElementaryMathematicsDoverHeinrichDrrie/100%20Great%20Problems%20of%20Elementary%20Mathematics%20%28Dover%29%20-%20Heinrich%20D%C3%B6rrie#page/n357/mode/2up |capítulu=The Problem of the Loxodrome |url-capítulu=https://archive.org/stream/100GreatProblemsOfElementaryMathematicsDoverHeinrichDrrie/100%20Great%20Problems%20of%20Elementary%20Mathematics%20%28Dover%29%20-%20Heinrich%20D%C3%B6rrie#page/n327/mode/2up |añu=1965 |editorial=Courier Corporation |páxina=359 |isbn=9780486613482}}</ref>

Coles mesmes, <math>1/e</math> ye'l [[mínimu absolutu]] de la función

:<math> f(x) = x^x\, </math>

definida pa <math>x>0</math>. Más polo xeneral, la función

:<math> \!\ f(x) = x^{x^n} </math>

algama'l so máximu global en <math>1/e</math> pa <math>n<0</math>; y el mínimu global atopar en <math>e^{-1/n}</math> pa <math>n>0</math>.

La [[tetración]] infinita

:<math> x^{x^{x^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}} </math> o <math>{^\infty}x</math>

converxe si y solu si <math>e^{-e}\leq x\leq e^{1/e}</math>, por un teorema de [[Leonhard Euler]].<ref>{{cita llibru |apellíu=Euler |nome=Leonhard |enllaceautor=Leonhard Euler |capítulu=De serie Lambertina Plurimisque eius insignibus proprietatibus |títulu=Acta Acad. Scient. Petropol. 2'' |páxines=29-51 |añu=1783}}</ref><ref>{{cita llibru |apellíu=Euler |nome=Leonhard |enllaceautor=Leonhard Euler |títulu=Opera Omnia, Series Prima, Vol. 6: Commentationes Algebraicae'' |url=http://math.dartmouth.edu/~euler/docs/originals/Y532.pdf |allugamientu=Leipzig |editorial=Teubner |páxines=350-369 |añu=1921}}</ref>

=== Númberos complexos ===
[[Ficheru:Euler's formula.svg|miniatura|250px|Representación xeométrica de la [[fórmula d'Euler]].]]

El númberu <math>e</math> presenta na [[fórmula d'Euler]] un papel importante rellacionáu colos [[númberos complexos]]:

:<math>e^{ix} = \cos x + i\sin x,\,\!</math>

El casu especial con <math>x=\pi</math> ee conocíu como [[identidá d'Euler]] o ''fórmula mística d'Euler''

:<math>e^{i\pi}+1 =0 .\,\!</math>

de lo que se deduz que:

:<math>\log_e (-1) = i\pi .\,\!</math>

Amás, utilizando les lleis de la exponenciación, llógrase:
:<math>(\cos x + i\sin x)^n = \left(e^{ix}\right)^n = e^{inx} = \cos (nx) + i \sin (nx)</math>
que ye la [[fórmula de De Moivre]].

Esta fórmula llegó como una revelación a [[Benjamin Peirce]], profesor de Harvard, quien la espunxo ante los sos alumnos, y manifestó la so reconocencia ante la maraviyosa conexón de los cinco númberos más famosos de tola matemática.<ref>{{cita llibru |nome=Kasner |apellíu=Newman |títulu=Matemátiques ya imaxinación |url=https://books.google.es/books?id=zdBHMHV3m5YC&printsec=frontcover&hl=es#v=onepage&q&f=false |editorial=Libraria |añu=2007 |páxines=256 |isbn=9789685374200}}</ref>

=== Probabilidá ya estadística ===

El númberu e tamién apaez n'aplicaciones a la teoría de probabilidaes. Un exemplu ye'l problema de los [[Subfactorial|desigües]], decubierto en parte por Jacob Bernoulli xunto con [[Pierre Raymond de Montmort]], tamién conocíu como ''el problema de los sombreros'':<ref>{{cita llibru |apellíu=Grinstead |nome=Charles Miller |apellíu2=Snell |nome2= James Laurie |títulu=Introduction to Probability |url=https://books.google.es/books?hl=es&id=7ip55ODL72wC&pg=PA85#v=onepage&q&f=false |capítulu=Combinatorics |url-capítulu=https://books.google.es/books?hl=es&id=7ip55ODL72wC&pg=PA75#v=onepage&q&f=false |editorial=American Mathematical Soc. |añu=2012 |páxina=85 |isbn=9780821894149}}</ref> los {{math|''n''}} convidaos a una fiesta dexen a la entrada los sos sombreros col mayordomu, quien los asitia depués en {{math|''n''}} compartimientos, cada unu col nome d'unu de los invitaos. Pero'l mayordomu nun conoz la identidá de los invitaos, y entós asitia los sombreros nos compartimientos al azar. El problema de De Montmort ye atopar la probabilidá de que nengún de los sombreros sía asitiáu nel compartimientu correutu. La respuesta ye:

:<math>P(n) = 1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{(-1)^n}{n!} = \sum_{k = 0}^n \frac{(-1)^k}{k!}.</math>

A midida que el númberu {{math|''n''}} d'invitaos tiende a infinitu, {{math|''P''(''n'')}} averar a {{math|1/''e''}}. Mas entá, el númberu de maneres en que pueden asitiase los sombreros nos compartimientos de forma que nengún correspuenda al so dueñu ye {{math|''n''!/''e''}} arrondáu al enteru más cercanu, pa cada positivu {{math|''n''}}.<ref>{{cita llibru |nome=Donald E. |apellíu=Knuth |enllaceautor=Donald E. Knuth |títulu=The Art of Computer Programming |url=https://books.google.es/books?id=x9AsAwAAQBAJ&pg=PA183#v=onepage&q&f=false |volume=I |editorial=Addison-Wesley Professional |fecha=4 de xunetu de 1997 |páxina=183 |isbn=9780321635747}}</ref>
La resultancia anterior puede reformulase de la siguiente manera: sía <math>P(n)</math> la probabilidá de qu'una función aleatoria del conxuntu 1, 2, ..., ''n'' en sí mesmu tenga siquier un puntu fixu. Entós
:<math>\lim_{n\to\infty}P(n)=1-\frac{1}{e}=0.6321205588...</math> 

Otra apaición de <math>e</math> na probabilidá ye nel siguiente problema: tiense una secuencia infinita de variables aleatories {{math|''X''<sub>1</sub>}}, {{math|''X''<sub>2</sub>}}..., con [[distribución uniforme]] en [0,1]. Sía {{math|''V''}} el menor enteru {{math|''n''}} tal que la suma de les primeres {{math|''n''}} observaciones ye mayor que 1:

: <math>N = \min { \left \{ n \mid X_1+X_2+\cdots+X_n > 1 \right \} }.</math>

Depués, <math>e(N)=e</math>.<ref>{{cita web |nome=Dan |apellíu=Ma |títulu=A randomized definition of the natural logarithm constant |url=https://probabilityandstats.wordpress.com/2015/12/12/a-randomized-definition-of-the-natural-logarithm-constant/ |fecha=12 d'avientu de 2015 |fechaaccesu=9 de setiembre de 2017 |obra=Probability and Stats}}</ref> Esta resultancia dexa envalorar el valor de la constante per mediu de simulaciones aleatories.<ref>{{cita publicación |apellíu=Russell |nome=K. G. |añu=1991 |títulu=Estimating the Value of e by Simulation |url=https://www.jstor.org/stable/2685243?seq=1#page_scan_tab_contents |publicación=The American Statistician |volume=45 |númberu=1 |fecha=febreru de 1991 |páxines=66–68}}</ref>

Sicasí, el papel más relevante que xuega'l númberu <math>e</math> nesta caña de la matemática vien dau al traviés de la [[función de densidá de probabilidá]] pa la [[distribución normal]] con [[Media aritmética|media]] μ y [[esviación estándar]] σ, que depende de la [[integral de Gauss|integral gaussiana]]:<ref>{{MathWorld|GaussianIntegral|Gaussian Integral|fecha=7 d'ochobre de 2004|fechaaccesu=8 de payares de 2007}}</ref>

:<math>\phi(x) = {1 \over \sigma\sqrt{2\pi} }\,e^{-(x-\mu )^2/2\sigma^2}.</math>

El rol d'esta distribución ye central na teoría y la práutica.

=== Teoría de Númberos ===

Les siguientes dos rellaciones son corolarios direutos del [[teorema de los númberos primos]]<ref>S. M. Ruiz 1997</ref>

:<math>e= \lim_{n \to \infty}\sqrt[p_n]{(p_n \#)}</math>

onde <math> p_n </math> ee ''n''-esimo [[númberu primu|primu]] e <math> p_n \# </math> ee'l [[primorial]] del ''n''-esimo primu.

:<math>e= \lim_{n \to \infty}n^{\pi(n)/n} </math>

onde <math> \pi(n) </math> la [[función contador de númberos primos|función contadora de primos]].

=== Xeometría ===

[[Ficheru:Espiral3.jpg|miniatura|250px|derecha|Espiral equiangular d'ángulu α. ]]
 
Al igual que <math>\pi</math>, <math>e</math> puede interpretase como un cociente ente cantidaes amestaes a cierta curva del planu. 
Consideremos una curva cola propiedá de que cualesquier semirrecta que naz nel orixe corta a esta formando un ángulu de <math>\pi/4</math> [[radianes]] (esisten preseos que dexen trazar curves con esta carauterística).<ref>{{cita llibru |nome=Maurice Edmond J. |apellíu=Gheury de Bray |títulu=Exponentials made easy, or the story of 'epsilon' |url=https://archive.org/stream/exponentialsmade00gheuuoft#page/108/mode/2up |capítulu=Epsilone home: The logarithmic spiral |url-capítulu=https://archive.org/stream/exponentialsmade00gheuuoft#page/106/mode/2up |editorial=Wentwoth Press |ubicación=Londres |añu=1921 |páxines=108-110 |isbn=9781362576259}}</ref><ref>{{cita llibru |nome=Théodore |apellíu=Olivier |títulu=Complements de geometrie descriptive |url=https://archive.org/stream/complmentsdegom01olivgoog#page/n443/mode/2up |capítulu=Quelques applications des projections coniques ou centrales et des projections cylindriques |url-capítulu=https://archive.org/stream/complmentsdegom01olivgoog#page/n415/mode/2up |editorial=Carilian-Goeury et Dalmont |allugamientu=París |añu=1845 |páxina=445}}</ref> Si tomamos dos puntos cualesquier de la curva <math>P_1,P_2</math> con una separación angular de 1 [[radián]], y <math>r_i=\operatorname{dist}(P_i,O), r_1<r_2,</math> entonce tiense

:<math>\frac{r_2}{r_1}=e.</math>
 
Esta construcción puede paecer forzada pol fechu de riquir midir un radián, sicasí, esto puede consiguise bien fácilmente si dexamos la operación d'esmucir una circunferencia sobre una recta (operación más qu'avezada dientro del conxuntu de [[curves mecániques]]). 
La curva cola propiedá enantes señalada ye un casu especial d'[[espiral logarítmica]] o equiangular, y puede probase fácilmente qu'a partir de la so condición de "equiangularidad", la so ecuación en coordenaes polares <math>(r,\theta)</math> vien dada por
:<math>r(\theta)=Ae^{\theta}, \qquad\theta\in \mathbb{R}, A>0.</math>
Más xeneralmente, si la curva ye cortada formando un ángulu <math>0<\alpha\leq \pi/2</math>, entós la so espresión en coordenaes polares ye :<math>r(\theta)=Ae^{\cot(\alpha)\cdot\theta}.</math>.


Otra manifestación relevante de y na xeometría dar cola [[catenaria]]. La catenaria ye la curva que la so forma ye adoptada por una cuerda de densidá uniforme suxeta polos sos dos estremos y sometida namái a encomalo de la gravedá.
Queda determinada pola posición de los sos estremos y el so llargor.

=== Irracionalidá y trescendencia ===

{{AP|Demostración de que e ye irracional}}

El [[númberu real]] <math>e</math> ee [[númberu irracional|irracional]],<ref>{{cita web |nome=Jonathan |apellíu=Snow |títulu=A Geometric Proof that e is Irrational and a New Measure of its Irrationality |url=http://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/0704/0704.1282.pdf |obra=Cornell University Library}}</ref> lo que significa que nun puede espresase como fracción de dos númberos enteros, como demostró [[Euler]] en 1737. Na so demostración, Euler valir de la representación de ''e'' como fracción continua, que al ser infinita, nun puede corresponder a un númberu racional. Sicasí, la demostración más conocida foi dada por [[Joseph Fourier|Fourier]], y básase nel desenvolvimientu en serie del númberu. 
[[J. H. Lambert]] probó en 1768 que <math>e^{p/q}</math> ee irracional si <math>\tfrac{p}{q}</math> ee un racional positivu.

Tamién ye un [[númberu trascendente|trascendente]], esto ye, que nun ye'l raigañu de nengún polinomiu de coeficientes enteros (ver [[Teorema de Lindemann–Weierstrass]]). Foi'l primer númberu trascendente que foi probáu como tal, ensin ser construyíu específicamente pa tal propósitu (comparar col [[númberu de Liouville]]). La demostración d'esto foi dada por [[Charles Hermite]] en [[1873]].<ref>{{cita web |títulu=Trascendence of e |url=http://www.math.utk.edu/~freire/m400el so06/transcendence%20of%20y.pdf |obra=University of Tennessee }}</ref> Créese que ''e'' amás ye un [[númberu normal]].
Hilbert simplificó la prueba de Hermite, Hurwitz dio una variación a la de Hilbert. Esta última prueba presentar Herstein, en castellán<ref>I. N. Herstein: ''Álxebra moderna''. Editorial F. Tríes S. A. Méxicu D.F. (1970)</ref>.

=== Fórmules que contienen al númberu e ===

De siguío, esíbense delles fórmules qu'arreyen de diverses formes a <math>e</math>:

:<math> \frac{1}{e}= \sum_{k=0}^\infty \frac{1-2k}{(2k)!}. </math><ref>Formules 2–7: [[Harlan J. Brothers|H. J. Brothers]], [http://www.brotherstechnology.com/docs/Improving_Convergence_(CMJ-2004-01).pdf Improving the convergence of Newton's series approximation for ''e''], ''The College Mathematics Journal'', Vol.35, Non.1,(2004), páxs.34–39.</ref>. 

:<math>\sqrt{e} = \sum_{k=0}^\infty \frac{4k+3}{2^{2k+1}\,(2k+1)!}.</math>

:<math>\frac{e+1}{e-1} = 2+\cfrac{1}{6 + \cfrac{1}{10 + \cfrac{1}{14 + \cfrac{1}{18 + {\ddots}}}}}.</math>

:<math>\sqrt{e} -1= \cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{5+\cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{9 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + {\ddots}}}}}}}}}}.
</math>

:<math> 2 = \frac{e^{1}}{e^{1/2}}\cdot\frac{e^{1/3}}{e^{1/4}}\cdot\frac{e^{1/5}}{e^{1/6}}\cdot\frac{e^{1/7}}{e^{1/8}}\cdots,</math>
la cual llógrase de la identidá <math> \ln 2 = 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\cdots</math>

:<math>e+\frac{1}{e} = 2\prod_{k=1}^\infty \left( 1+\frac{1}{k^2\pi^2} \right ).</math>

:<math>e-\frac{1}{e} = 2\prod_{k=1}^\infty \left( 1+\frac{4}{(2k-1)^2\pi^2} \right ).</math>

[[Identidá d'Euler]] o ''fórmula mística d'Euler''

:<math>e^{i\pi}+1 =0 .\,\!</math>

[[Fórmula de Stirling]]:
: <math> n! \approx \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n. </math>

Fórmula de Gosper:
:<math>-\frac{\pi^2}{12e^3} = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2} \ \cos \left ( \frac{9}{k\pi+\sqrt{k^2\pi^2-9}} \right ).</math>

== Representaciones de ''e'' ==

El númberu <math>e</math> puede ser representáu como un [[númberu real]] en delles formes: como [[Serie matemática|serie infinita]], como [[productu infinitu]], como [[fracción continua]] o como [[llende d'una socesión]]. 

=== Como llende ===

La principal d'estes representaciones, particularmente nos cursos básicos de [[cálculu]], ye la mesma definición de <math>e</math>, esto ye, la llende:
:<math>e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n.</math>
En 1975, el suizu [[Felix A. Keller]] llogró la llende simétrica:<ref>[[Harlan J. Brothers|H. J. Brothers]] and J. A. Knox, [http://www.brotherstechnology.com/docs/Closed-Form_Approximations_(EL MIO-1998-12).pdf New closed-form approximations to the Logarithmic Constant ''e'',] ''The Mathematical Intelligencer'', Vol. 20, Non. 4, (1998), páxs. 25–29.</ref><ref>{{Cita web|títulu=From Lobatto Quadrature to the Euler constant e|url=http://ans.hsh.no/home/skk/Publications/Lobatto/PRIMUS_KHATTRI.pdf|apellíu=Khattri|nome=Sanjay}}</ref>

:<math>e=\lim_{n \to \infty} \left [ \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n}- \frac{n^n}{(n-1)^{n-1}} \right ].</math>

De la [[fórmula de Stirling]] llógrase

:<math> e= \lim_{n \to \infty} n\cdot\left ( \frac{\sqrt{2 \pi n}}{n!} \right )^{1/n} </math> e

:<math> e=\lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}} </math>.

Amosóse tamién que

:<math>e= \lim_{n \to \infty}\sqrt[p_n]{(p_n \#)}</math>

onde <math> p_n </math> ee enésimu [[númberu primu|primu]] y <math> p_n \# </math> ee'l [[primorial]] del enésimu primu.

:<math>e= \lim_{n \to \infty}n^{\pi(n)/n} </math>

onde <math> \pi(n) </math> la [[función contador de númberos primos|función contadora de primos]].

=== Como serie o suma infinita ===

:<math>e = \frac{1}{2} \sum_{k=0}^\infty \frac{k+1}{k!}</math>

:<math>e = 2 \sum_{k=0}^\infty \frac{k+1}{(2k+1)!}</math>

:<math>e = \sum_{k=0}^\infty \frac{3-4k^2}{(2k+1)!}</math>

:<math>e = \sum_{k=0}^\infty \frac{(3k)^2+1}{(3k)!}</math>

:<math>e = \sum_{k=1}^\infty \frac{k^n}{B_n(k!)}</math> onde <math>B_n</math> ee'l <math>n</math>-esimo [[númberu de Bell]]. 
Dellos exemplos d'esta última carauterización:
::<math>e = \sum_{k=1}^\infty \frac{k^2}{2(k!)}</math>
::<math>e = \sum_{k=1}^\infty \frac{k^3}{5(k!)}</math>
::<math>e = \sum_{k=1}^\infty \frac{k^4}{15(k!)}</math>
::<math>e = \sum_{k=1}^\infty \frac{k^5}{52(k!)}</math>
::<math>e = \sum_{k=1}^\infty \frac{k^6}{203(k!)}</math>
::<math>e = \sum_{k=1}^\infty \frac{k^7}{877(k!)}</math>

=== Como productu infinitu ===

El númberu <math>e</math> puede espresase tamién por aciu [[productu infinitu|productos infinitos]] "del tipu Wallis" de diverses formes,<ref>http://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1005/1005.2712.pdf</ref> incluyendo'l productu de [[Nick Pippenger|Pippenger]]<ref>Weisstein, Eric W. "Pippenger Product." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/PippengerProduct.html</ref><ref>. N. Pippenger, An infinite product for e, Amer. Math. Monthly 87 (1980) 391.</ref>

:<math> e= 2\left ( \frac{2}{1} \right )^{1/2} \left ( \frac{2}{3}\; \frac{4}{3} \right )^{1/4} \left ( \frac{4}{5}\; \frac{6}{5}\; \frac{6}{7}\; \frac{8}{7} \right )^{1/8}\left ( \frac{8}{9}\; \frac{10}{9}\; \frac{10}{11}\; \frac{12}{11}\; \frac{12}{13}\; \frac{14}{13}\; \frac{14}{15}\; \frac{16}{15} \right )^{1/16} \cdots , </math>

el productu de Catalan 

:<math> e = \left ( \frac{2}{1} \right )^{1/1} \left (\frac{4}{1 \cdot 3} \right )^{1/2} \left (\frac{6 \cdot 8}{5 \cdot 7} \right )^{1/4} 
\left (\frac{10 \cdot 12 \cdot 14 \cdot 16}{9 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 15} \right )^{1/8} \cdots ,</math>

y el productu de Guillera<ref>J. Sondow, [http://arxiv.org/abs/math/0401406 A faster product for pi and a new integral for ln pi/2,] ''Amer. Math. Monthly'' 112 (2005) 729–734.</ref><ref>J. Guillera and J. Sondow, [http://arxiv.org/abs/math.NT/0506319 Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent,]''Ramanujan Journal'' 16 (2008), 247–270.</ref>
:<math> e = \left ( \frac{2}{1} \right )^{1/1} \left (\frac{2^2}{1 \cdot 3} \right )^{1/2} \left (\frac{2^3 \cdot 4}{1 \cdot 3^3} \right )^{1/3} 
\left (\frac{2^4 \cdot 4^4}{1 \cdot 3^6 \cdot 5} \right )^{1/4} \cdots ,</math>
onde'l ''n''-ésimo factor ye la ''n''-ésima raigañu del productu :<math>\prod_{k=0}^n
(k+1)^{(-1)^{k+1}{n \choose k}},</math>

como tamién el productu infinitu

:<math> e = \frac{2\cdot 2^{(\ln(2)-1)^2} \cdots}{2^{\ln(2)-1}\cdot 2^{(\ln(2)-1)^3}\cdots }.</math>

=== Como fracción continua ===

El desenvolvimientu decimal de ''e'' nun amuesa regularidá dalguna. Sicasí, coles [[fracción continua|fracciones continues]], que pueden ser normalizaes (colos numberadores toos iguales a 1) o non, llogramos, en fracción continua normalizada:
<center><math>e = 2 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{\mathbf{2} + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{\mathbf{4} + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{\mathbf{6} + \cfrac{1}{1 + \cdots}}}}}}}}}, </math></center>

lo que s'escribe <math>e = [2; 1, \textbf{2}, 1, 1, \textbf{4}, 1, 1, \textbf{6}, 1, 1, \textbf{8}, 1, 1, \ldots, \textbf{2n}, 1, 1, \ldots]</math>, propiedá descubierta por [[Leonhard Euler]]<ref>{{Cita web|fecha=Xueves, 16 de febreru de 2006|títulu=How Euler Did It: Who proved ''e'' is Irrational?|url=http://www.maa.org/editorial/euler/How%20Euler%20Did%20It%2028%20y%20is%20irrational.pdf|fechaaccesu=18 de xunu de 2010|editorial=MAA Online|apellíu=Sandifer|nome=Ed}}</ref> ([[oeis:A003417|A003417]] en [[OEIS]]). En fracción continua non normalizada tiense <center><math>e
= 2 + \frac{2}{2 + \cfrac{3}{3 + \cfrac{4}{4 + \cfrac{5}{5 + \cfrac{6}{6 + \cfrac{7}{7 + \cdots}}}}}} </math></center>
En dambos casos, ''e'' presenta regularidaes non casuales.

=== Díxitos conocíos ===

El númberu de díxitos conocíos de ''e'' aumentó descomanadamente mientres les últimes décades. Esto ye debíu tanto al aumentu del desempeñu de los ordenadores como tamién a la meyora de los algoritmos utilizaos.<ref>Sebah, P. and Gourdon, X.; [http://numbers.computation.free.fr/Constants/E/e.html The constant e and its computation]</ref><ref>Gourdon, X.; [http://numbers.computation.free.fr/Constants/PiProgram/computations.html Reported large computations with PiFast]</ref> 
En 1949, [[J. von Neumann]] y el so grupu utilizaron el [[ENIAC]] pa llograr 2010 decimales. D. Shanks y J.W. Wrench toparon hasta 100.265 en 1961 cola fórmula d'Euler con un IBM 7090. Emplegar 2,5 hores. Yá pa 1994, R. Nemiroff y J. Bonnell llegaren a 10.000.000 de decimales.

Nes últimes décades, los ordenadores fueron capaces de llograr númberos que tienen una inmensa cantidá de decimales. Asina, por casu, nel
añu 2000, utilizando'l programa de cálculu PiFast33 nun ordenador Pentium III 800, llográronse 12
884 901 000 cifres decimales, pa lo que se precisó 167 hores.

{| {{tablaguapa}} style="margin: 1em auto 1em auto"
|+ '''Númberu de díxitos decimales conocíos de {{mvar|e}} '''
! Fecha || Cantidá de cifres || Realizador del cálculu
|-
| 1690 ||align=right| 1 || [[Jacob Bernoulli]]
|-
| 1714 ||align=right| 13 || [[Roger Cotes]]<ref>Roger Cotes (1714) "Logometria," ''Philosophical Transactions of the Royal Society of London'', '''29''' (338) : 5-45; [http://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=ucm.5324351035;view=2up;seq=16 see especially the bottom of page 10.] From page 10: ''"Porru eadem ratio est inter 2,718281828459 &c et 1, … "'' (Furthermore, the same ratio is between 2.718281828459… and 1, … )</ref>
|-
| 1748 ||align=right| 23 || [[Leonhard Euler]]<ref>Leonhard Euler, ''Introductio in Analysin Infinitorum'' (Lausanne, Switzerland: Marc Michel Bousquet & Co., 1748), volume 1, [https://books.google.com/books?id=jQ1bAAAAQAAJ&hl=en&pg=PA90#v=onepage&q&f=false page 90.]</ref>
|-
| 1853 ||align=right| 137 || [[William Shanks]]<ref>William Shanks, ''Contributions to Mathematics'', … (London, England: G. Bell, 1853), [https://books.google.com/books?id=d-9ZAAAAcAAJ&pg=PA89#v=onepage&q&f=false page 89.]</ref>
|-
| 1871 ||align=right| 205 || William Shanks<ref>William Shanks (1871) [https://books.google.com/books?id=sclTAAAAcAAJ&pg=PA27#v=onepage&q&f=false "On the numerical values of ''e'', log<sub>''e''</sub> 2, log<sub>''e''</sub> 3, log<sub>''e''</sub> 5, and log<sub>''e''</sub> 10, also on the numerical value of M the modulus of the common system of logarithms, all to 205 decimals,"] ''Proceedings of the Royal Society of London'', '''20''' : 27-29.</ref>
|-
| 1884 ||align=right| 346 || J. Marcus Boorman<ref>J. Marcus Boorman (October 1884) [https://books.google.com/books?id=mG8yAQAAMAAJ&pg=PA204#v=onepage&q&f=false "Computation of the Naperian base,"] ''Mathematical Magacín'', '''1''' (12) : 204-205.</ref>
|-
| 1949 ||align=right| 2,010 || [[John von Neumann]] (on the [[ENIAC]])
|-
| 1961 ||align=right| 100,265 || [[Daniel Shanks]] and [[John Wrench]]<ref name="We have computed e on a 7090 to 100,265D by the obvious program.">{{Cita publicación|añu=1962|títulu=Calculation of Pi to 100,000 Decimals|url=http://www.ams.org/journals/mcom/1962-16-077/S0025-5718-1962-0136051-9/S0025-5718-1962-0136051-9.pdf|volume=16|doi=10.2307/2003813|páxines=76–99 (78)|cita=We have computed e on a 7090 to 100,265D by the obvious program|númberu=77|publicación=Mathematics of Computation|autor=Daniel Shanks and John W Wrench}}</ref>
|-
| 1978 ||align=right| 116,000 || [[Steve Wozniak]] on the [[Apple II]]<ref name="wozniak198106">{{Cita noticia|fecha=Martes, 16 de xunu de 1981|títulu=The Impossible Dream: Computing ''e'' to 116,000 Places with a Personal Computer|url=https://archive.org/stream/byte-magazine-1981-06/1981_06_BYTE_06-06_Operating_Systems#page/n393/mode/2up|fechaaccesu=18 d'ochobre de 2013|páxines=392|periódicu=BYTE|autor=Wozniak, Steve}}</ref>
|-
| 1994
| align=right| 10 000 000
| Robert Nemiroff y Jerry Bonnell<ref>{{cita web|autor=Nemiroff, Robert|títulu=The Number e to 1 Million Digits|url=http://apod.nasa.gov/htmltest/gifcity/y.1mil|fechaaccesu=16 de xunu de 2013|idioma=inglés|coautores=Bonnell, Jerry}}</ref>
|-
| Mayu de 1997
| align=right| 18 199 978
| Patrick Demichel
|-
| Agostu de 1997
| align=right| 20 000 000
| Birger Seifert
|-
| Setiembre de 1997
| align=right| 50 000 817
| Patrick Demichel
|-
| Febreru de 1999
| align=right| 200 000 579
| Sebastian Wedeniwski
|-
| Ochobre de 1999
| align=right| 869 894 101
| Sebastian Wedeniwski
|-
| 21 de payares de 1999
| align=right| 1 250 000 000
| [[Xavier Gourdon]]
|-
| 10 de xunetu de 2000
| align=right| 2 147 483 648
| Shigeru Kondo y Xavier Gourdon
|-
| 16 de xunetu de 2000|| align=right| 3 221 225 472 || Colin Martin y Xavier Gourdon
|-
| 2 d'agostu de 2000|| align=right| 6 442 450 944 || Shigeru Kondo y Xavier Gourdon
|-
| 16 d'agostu de 2000|| align=right| 12 884 901 000 || Shigeru Kondo y Xavier Gourdon
|-
| 21 d'agostu de 2003|| align=right| 25 100 000 000 || Shigeru Kondo y Xavier Gourdon
|-
| 18 de setiembre de 2003|| align=right| 50 100 000 000 || Shigeru Kondo y Xavier Gourdon
|-
| 27 d'abril de 2007|| align=right| 100 000 000 000 || Shigeru Kondo y Steve Pagliarulo
|-
| 6 de mayu de 2009|| align=right| 200 000 000 000 || Shigeru Kondo y Steve Pagliarulo
|-
| 21 de febreru de 2010|| align=right| 500 000 000 000 || Alexander J. Yee<ref name="Announcing 500 billion digits of e...">[http://www.numberworld.org/misc_runs/e-500b.html Announcing 500 billion digits of e...]</ref>
|-
| 5 de xunetu de 2010|| align=right| 1 000 000 000 000 || Shigeru Kondo y Alexander J. Yee
|-
| 24 de xunu de 2015|| align=right| 1 400 000 000 000 || Matthew Hebert<ref name="">[http://www.numberworld.org/digits/E/ A list of notable large computations of e]|</ref>
|}

Na dómina computacional del cálculu de e les cifres disparáronse, non yá por cuenta de la potencia de cálculu qu'estes máquines son capaces de xenerar, sinón tamién pol prestíu que trai pal constructor de la máquina cuando la so marca apaez na llista de los récores.

===Primeres cien cifres decimales===

Los cien primeres cifres de e son:
: <math>
 e \approx 2,7182818284 \; 5904523536 \; 0287471352 \; 6624977572 \; 4709369995 \; 9574966967 \; 6277240766 \; 3035354
 759 \; 4571382178 \; 5251664274 \; 
</math>

==Curiosidaes==
{{intereses}}
===Regles mnemotécniques===
* Nel so desenvolvimientu decimal, dempués del “2,7” el númberu “1828” apaez dos veces, y dempués vienen los ángulos d'un triángulu rectángulu isósceles que son 45°, 90°, 45°: 2,7 1828 1828 45 90 45.

* 878/323 = 2.718266254 ... ye'l meyor aproximamientu racional utilizando enteros menores que 1000.<ref>{{cita llibru |nome=David |apellíu=Wells |títulu=Dictionary of Curious and Interesting Numbers |url=https://archive.org/stream/ThePenguinDictionaryOfCuriousAndInterestingGeometry/The%20Penguin%20Dictionary%20of%20Curious%20and%20Interesting%20Geometry#page/n45/mode/2up |editorial=Penguin Books |páxina=46 |isbn=9780140118131}}</ref> Amás, dambos son palíndromos y 878-323=555.

* Inventáronse frases como regles mnemotécniques pa poder recordar les primeres cifres. Una forma de memorizar los 13 primeros díxitos ye con esta frase, namái hai que cuntar les lletres de cada pallabra: "''El trabayu y esfuerciu de recordar y revuelve el mio estómagu, pero voi poder alcordame''". Otru exemplu, en francés: "''El to aideras a rappeler ta quantite a beaucoup de docteurs amis''" (Tu vas ayudar a recordar la cantidá a munchos doctores amigos)

==={{mvar|e}} na cultura informática===
[[Ficheru:billboard200-e.jpg|miniatura|230px|Cartelu publicitariu de Google que plantegaba problema rellacionáu con e.]]
* Nel so [[ufierta publica inicial]] de 2004, [[Google]] anunció la so intención de recaldar $2,718,281,828, que son {{mvar|e}} miles de millones de dólares, arredondiaos a un valor enteru.
* Google foi tamién responsable d'un cartelu publicitariu qu'apaeció nel corazón de [[Silicon Valley]], y más tarde en [[Cambridge (Massachusetts)|Cambridge]]; [[Seattle (Washington)|Seattle]]; y [[Austin (Texas)|Austin]]. Nél lleíase "{primer primu de 10 díxitos topáu ente 1vos díxitos consecutivos de {{mvar|e}}}.com". Resolviendo esti problema y visitando l'anunciáu sitio web, aportar a un problema entá más difícil, que de la mesma conducía a los [[Google Labs]], onde'l visitante taba convidáu a dexar el so currículum.<ref>{{cita noticia |nome=Andrea |apellíu=Shea |títulu=Google Entices Job-Searchers with Math Puzzle |url=http://www.npr.org/templates/story/story.php?storyId=3916173 |periódicu=NPR |fecha=14 de setiembre de 2004 |fechaaccesu=9 de xunu de 2007}}</ref> El primer primu de 10 díxitos en {{mvar|e}} ye 7427466391, qu'empieza nel noventenu novenu (99°) díxitu.<ref>{{cita web |nome=Marcus |apellíu=Kazmierczak |títulu=Google Billboard Problems |url=http://mkaz.com/math/google-billboard |periódicu=mkaz |fecha=29 de xunetu de 2004 |fechaaccesu=9 de xunu de 2007 |urlarchivu=https://web.archive.org/web/20100923111259/http://mkaz.com/math/google-billboard/ |fechaarchivu=2010-09-23 }}</ref>
* L'informáticu [[Donald Knuth]] fai que'l númberu de versión del so programa [[Metafont]] averar a {{mvar|e}}. Les versiones son 2, 2.7, 2.71, 2.718, etc.<ref>{{cita publicación |nome=Donald |apellíu=Knuth |enllaceautor=Donald Knuth |títulu=The Future of TeX and Metafont |url=https://www.tug.org/TUGboat/tb11-4/tb30knut.pdf |añu=1990 |publicación=TeX Mag |volume=5|númberu=1}}</ref>

=== Poemes al númberu {{mvar|e}} ===
* La matemática y poeta Sarah Glaz escribió un ellaboráu y estensu poema nel que describe la hestoria de {{mvar|e}} y les sos principales propiedaes.<ref>{{cita publicación |nome=Sarah |apellíu=Glaz |títulu=The Enigmatic Number y: A History in Trate and Its Uses in the Mathematics Classroom |url=http://www.math.uconn.edu/~glaz/My_Articles/TheEnigmaticNumberE.Convergence10.pdf |editorial=University of Connecticut |fecha=payares de 2010 |fechaaccesu=9 de setiembre de 2017 |publicación=Convergence |doi=10.4169/loci003482}}</ref>

* Otru poema ye'l realizáu por José Acevedo Jiménez:<ref>{{cita web |nome=José |apellíos=Acevedo Jiménez |títulu=El númberu (y) |url=https://poematrix.com/autores/acevedo/poemes/el-numbero-y |fechaaccesu=9 de setiembre de 2017 |obra=Poematrix}}</ref>
{{cita|Singular y encantador ye'l númberu (e).<br />
Los sos primeros nueve díxitos decimales nun tienen de confundir te,<br />
718281828, el 18 28 que se repite, <br />
pos al igual que (pi) ye un númberu irracional.<br />
De la fórmula del interés compuestu, <br />
estiende la llende hasta l'infinitu <br />
y vas entender lo que digo.<br />
¡Oh! qué númberu tan fascinante qu'apaez nes finances, <br />
del cálculu de Newton y Leibniz nin falar, <br />
qu'atopó nos llogaritmos de Neper <br />
la so morada al ser la so base natural.<br />
Intrigante ye'l númberu (e),<br /> 
que al alzalo a la la so derivada permanez igual;<br />
¡qué grandiosu trascendental! <br />
ensin ser la so intención del gran Euler ye la inicial<br />
y nes funciones trigonométriques hiperbóliques podemos atopar,<br />
a esi interminable numberal.<br />
Les estrelles vamos llograr cuntar,<br />
mas les cifres de (e) enxamás,<br /> 
pos como cociente d'enteros nunca podremos espresar;<br />
y como por mandatu divín,<br />
con (pi) y la unidá imaxinaria puede rellacionase por aciu una formosa identidá,<br />
que namái a Euler pudo reveláse-y.<br />
Por eso y muncho más en diverses cañes de les matemátiques,<br />
el númberu (y) nunca, enxamás hai de faltar.}}

===Otros intereses===
[[Ficheru:Numero-e-chocolate.jpg|miniatura|e en chocolate]]

* El [[valor principal]] de la espresión <math>i^i</math> ee un númberu real y ta dau por<ref>Unidá imaxinaria en Mathworld [http://mathworld.wolfram.com/i.html] (n'inglés). consulta: [[21 d'abril]] de [[2008]]</ref> <center><math>i^i=\left(e^{i\pi /2}\right)^i=e^{i^2\pi /2}=e^{-\pi /2}=0.207879...</math></center>

* Esllumáu pola identidá d'Euler, Benjamin Pierce suxirió crear nuevos símbolos pa <math>e</math> e <math>\pi</math>. Pierce publicó la so suxerencia en revistes de matemática y llibros de la so autoría. Por cuenta de les dificultaes tipográfiques y la semeyanza ente los símbolos, la so propuesta nun foi bien recibida y cayó nel olvidu rápido.

* Dellos matemáticos proponen declarar el 2 de xunetu de 2018 como'l día <math>e</math>.

==Cuestiones abiertes sobre e==
* Nun se sabe si {{mvar|e}} ye a cencielles normal en base 10 (o dalguna otra base). Esto ye, que cada unu de los diez díxitos del sistema decimal tenga la mesma probabilidá d'apaición nuna espansión decimal.
* Nun se sabe si <math>e^e</math> ye trascendente
* Nun se sabe si <math>\pi+e</math> e <math>\pi\cdot e</math> son [[númberu irracional|irracionales]]. Sábese que nun son raigaños de polinomios de grau inferior a nueve y con coeficientes enteros del orde 10⁹.<ref>{{cita publicación |apellíu=Bailey |nome=David H. |títulu=Numerical Results on the Transcendence of Constants Involving π, y and Euler's Constant |url=https://www.jstor.org/stable/2007931?seq=1#page_scan_tab_contents |publicación=Mathematics of Computation |volume=50 |númberu=181 |páxines=275-281 |fecha=xineru de 1988 |doi=10.2307/2007931}}</ref><ref>{{cita web |títulu=Pi |url=http://mathworld.wolfram.com/Pi.html |idioma=inglés |fechaaccesu=21 d'abril de 2008 |obra=Wolfram Math World}}</ref>

== Ver tamién ==
{{columnes}}
* [[Demostración de la irracionalidá de e]]
* [[Función esponencial]]
* [[Llista de constantes matemátiques]]
* [[Llogaritmu]]
* [[Llogaritmu d'una matriz]]
* [[Númberu irracional]]
* [[Númberu π]]
* [[Númberu trascendente]]
{{final columnes}}

== Referencies ==
{{EL}}
{{llistaref|2}}

== Bibliografía ==
{{refcomienza}}
* {{cita llibru |nome=V. S. |apellíu=Shipachev |títulu=Fundamento de les matemátiques cimeres |url=https://books.google.es/books?id=iOaQmwEACAAJ |editorial=Mir |añu=1991 |páxines=424 |ubicación=Moscú |isbn=9785060000481}}
* {{cita llibru |nome=Elon Lages |apellíu=Lima |títulu=Curso d'analís matemáticu |url=https://books.google.es/books?id=Q0LPOwAACAAJ |editorial=Edunsa |volume=1 |añu=1991 |páxines=369 |ubicación=Barcelona |isbn=9788477470557}}
* {{cita llibru |nome=Stefan |apellíu=Banach |títulu=Cálculu diferencial ya integral |editorial=UTEHA |añu=1967 |ubicación=Méxicu D.F.}}
* {{cita llibru |nome=Maynard |apellíu=Kong |títulu=Cálculu diferencial |url=https://books.google.es/books?id=fJ1trgEACAAJ |editorial=PUCP., Fondu Editorial |añu=1991 |páxines=540}}
* {{cita llibru |nome=William Anthony |apellíu=Granville |nome2=Percy F. |apellíu2=Smih |nome3=William Raymond |apellíu3=Longley |títulu=Cálculu diferencial ya integral |url=https://books.google.es/books?id=1paUbwAACAAJ |editorial=Limusa |añu=1980 |páxines=686 |isbn=9789681811785}}
* {{cita llibru |nome=Nikolai |apellíu=Semenovich Piskunov |enllaceautor=Piskunov |títulu=Cálculu estrema ya integral |url=https://books.google.es/books?id=6ZAPnQEACAAJ |editorial=Lopes da Silva |volume=I |añu=1979}}
* {{cita llibru |nome=Enrique |apellíu=Laguna Rodríguez |apellíu2=Vasallu |apellíu3=Gómez |apellíu4=Domínguez |títulu=Cálculu diferencial ya integral: bases pa un cálculu picudu |url=https://books.google.es/books?id=LM6NrgEACAAJ |volume=I |editorial=ULA |añu=2000 |páxines=347}}
{{reftermina}}

== Enllaces esternos ==
* [https://lasmatematicas.eu/descubriendo-el-numero-e/ Descubriendo el número e: el número e como límite de una determinada sucesión.] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20220108153512/https://lasmatematicas.eu/descubriendo-el-numero-e/ |date=2022-01-08 }} {{es}}
{{commons|E (mathematical constant)}}
* [http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/e_10000.html Les primeres diez mil cifres decimales del númberu e]
* [http://antwrp.gsfc.nasa.gov/htmltest/gifcity/e.1mil Un millón de cifres del númberu e.]
* [http://hk.youtube.com/watch?v=Iys1eJgTtXU Fórmula pal cálculu de llendes de socesiones del tipu 1 eleváu a infinitu]
* [http://numbers.computation.free.fr/Constants/constants.html Programa pal cálculu de e y d'otru gran númberu de constantes] {{n'idioma|en}}
* [http://mathworld.wolfram.com/eApproximations.html {{mvar|e}} Approximations]&nbsp;– Wolfram MathWorld
* http://www.numberworld.org/misc_runs/e-500b.html
* [https://oeis.org/A001113 The On-line Encyclopedia of Integer Sequences]

{{ORDENAR:Numbero e}}

{{Tradubot|Número e}}

{{control d'autoridaes}}
[[Categoría:Constantes matemátiques]]
[[Categoría:Llogaritmos]]
[[Categoría:Esponenciales]]
[[Categoría:Númberos trascendentes]]