Ver la fonte de Mínimu común múltiplu

{{nun confundir|Mínimu común denominador|Máximu común divisor}}
En [[matemátiques]], el '''mínimu común múltiplu''' (embrivíu '''m.c.m.''') de dos o más [[númberu natural|númberos naturales]] ye'l menor númberu natural que ye [[múltiplu]] común de toos ellos (o l'ínfimu del conxuntu de los múltiplos comunes). Esti conceutu tuvo amestáu históricamente con númberos naturales, pero puede usase para [[númberu negativu|enteros negativos]] o [[Númberu complexu]]

== Cálculu del mínimu común múltiplu (m.c.m.) ==

Partiendo de dos o más númberos y por [[Descomposición en factores primos#Descomposici.C3.B3n en factores primos|descomposición en factores primos]], espresaos como productu de factores primos, el so mínimu común múltiplu va ser la resultancia de multiplicar tolos factores comunes y non comunes alzaos a la mayor potencia, por casu el mcm de 72 y 50 va ser:
[[Ficheru:Divisores 50 72.svg|200px|derecha]]
{|
|
:{|
| <math>
 \begin{array}{r|l}
 72 & 2 \\
 36 & 2 \\
 18 & 2 \\
 9 & 3 \\
 3 & 3 \\
 1 &
 \end{array}
 </math>
|-
| <math>
 72 = 2^3 \cdot 3^2 \, </math>
 
|}
|
:{|
| <math>
 \begin{array}{r|l}
 50 & 2 \\
 25 & 5 \\
 5 & 5 \\
 1 &
 \end{array}
 </math>
|-
| <math>
 50 = 2 \cdot 5^2 \, </math>
 
|}
|}

Tomando los factores non comunes y comunes col so mayor esponente, tenemos que:
: <math>
 \operatorname{mcm} (72, 50) =
 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^2 =
 1800
</math>

Conociendo'l [[máximu común divisor]] de dos númberos, puede calculase el mínimu común múltiplu d'ellos, que va ser el productu de dambos estremáu ente'l so máximu común divisor.
: <math>
 \operatorname{mcm}(a, b) =
 \frac {a \cdot b}{\operatorname{mcd}(a, b)}
</math>

== Propiedaes básiques ==
# Si a ye un enteru, entós [a, a] = a #
Cuando a y b son enteros, [a, b] = b si, namái si b ye múltiplu d'a.
# (a,b) = [a,b] si son iguales o opuestos.
# [a, b] = [ab] si, namái si (a,b)= 1
# [a/d, b/d] = [m/a, m/b] onde ''m'' = mcm y ''d'' = mcd.<ref>Malo de comprobar con una autopropuesta</ref>
# [ma,b]= m[a,b] si ([a,b]/a,m) = 1<ref>Rectificación y reconfrontación con "Aritmética" d'Universidá de Ciencies y Humanidaes de Perú</ref>
# [a,b,c]= [[a,b], [b,c]]
# [a, b, c]|abc, onde abc ≠ 0
# [a,b,c] = abc (a,b,c)/(a,b)(b,c)(c,d)<ref>Dellos autores: Aritmética, Editorial UCH, Lima (2013)</ref>
* Si'l productu de dos númberos estremar pol so máximu común divisor dichu [[Cociente (aritmética)|cociente]] ye'l mínimu común múltiplu.
:''A'' y ''B'' que descompuestos en [[númberu primu|númberos primos]] va ser ''A''=(''p''<sub>1</sub>·''p''<sub>2</sub>)·''p''<sub>3</sub>·''p''<sub>4</sub> y ''B''=(''p''<sub>1</sub>·''p''<sub>2</sub>)·''p''<sub>5</sub>·''p''<sub>6</sub> onde si m.c.d. ye (''p''<sub>1</sub>·''p''<sub>2</sub>) y el productu d'A·B=(''p''<sub>1</sub>·''p''<sub>2</sub>)·''p''<sub>3</sub>·''p''<sub>4</sub>·(''p''<sub>1</sub>·''p''<sub>2</sub>)·''p''<sub>5</sub>·''p''<sub>6</sub> onde vemos que (''p''<sub>1</sub>·''p''<sub>2</sub>) ta repitíu dos veces, depués si estremamos esi total por (''p''<sub>1</sub>·''p''<sub>2</sub>) vamos tener el total menor que contién a A y B siendo'l so mcm
* El mínimu común múltiplu de dos númberos, onde'l menor estrema al mayor, va ser el mayor. Ye lóxicu una y bones un múltiplu de dambos inferior al mayor sería imposible una y bones nun sería múltiplu del mayor.
* El mínimu común múltiplu de dos númberos primos ye'l total de la so multiplicación. Esto ye lóxicu una y bones el so máximu común divisor ye 1.
* El mínimu común múltiplu de dos númberos compuestos va ser igual al cociente ente'l so productu y el m.c.d d'ellos. Rescampla según la propiedá 1 d'esta tema.
* El máximu común divisor de dellos númberos ye un divisor del mínimu común múltiplu de tales númberos.<ref>Nestes temes de divisibilidad cabo falar de divisor, factor o submúltiplu, mas non d'inclusión</ref>
* Sía mZ el conxuntu de los múltiplos del enteru m, nZ el del enteru n. Entós el conxuntu nZ∩mZ ta formáu polos múltiplos comunes de m y n; n'otra notación ye'l conxuntu [m,n]Z.<ref>Kostrikin: Introducción a la álxebra, Editorial Mir, Moscú (1974)</ref>

== Aplicaciones del mínimu común múltiplu ==

=== Suma de fracciones ===
{{vt|Mínimu común denominador}}
{{vt|Fracción}}
El mcm puede emplegase pa sumar o restar [[fracción|fracciones]] de distintu [[denominador]], tomando'l mcm de los denominadores de les fracciones, y convirtiéndoles en [[fracción equivalente|fracciones equivalentes]] que puedan ser sumaes. Vease'l siguiente exemplu:
: <math>
 \frac {1}{6} + \frac {4}{33}
</math>

Pa poder efectuar la suma, primero débese buscar el mínimu común múltiplu de los denominadores (6 y 33)
[[Ficheru:Divisores 6 33.svg|200px|derecha]]
{|
|
:{|
| <math>
 \begin{array}{r|l}
 6 & 2 \\
 3 & 3 \\
 1 &
 \end{array}
 </math>
|-
|
|-
| <math>
 6 = 2 \cdot 3 \, </math>
 
|}
|
:{|
| <math>
 \begin{array}{r|l}
 33 & 3 \\
 11 & 11 \\
 1 &
 \end{array}
 </math>
|-
|
|-
| <math>
 33 = 3 \cdot 11 \, </math>
 
|}
|}

depués el mínimu común múltiplu de 6 y 33 ye:
: <math>
 \operatorname{mcm} (6,33)=
 2 \cdot 3 \cdot 11 =
 66
</math>

que correspuende al númberu 66; dambes fracciones van tener como denominador 66, agora namái hai que topar a cada fracción la so fracción equivalente, con denominador 66 y va ser posible la suma:
: <math>
 \cfrac {1}{6} + \frac {4}{33}
 \quad = \quad
 \cfrac {1}{6} \cdot \cfrac {\cfrac{66}{6}}{\cfrac{66}{6}} \; + \;
 \cfrac {4}{33} \cdot \cfrac {\cfrac{66}{33}}{\cfrac{66}{33}}
 \quad = \quad
 \cfrac {1 \cdot \cfrac{66}{6}}{6 \cdot \cfrac{66}{6}} \; + \;
 \cfrac {4 \cdot \cfrac{66}{33}}{33 \cdot \cfrac{66}{33}}
 \quad = \quad
 \cfrac {1 \cdot \cfrac{66}{6}}{\cancel{6} \cdot \cfrac{66}{\cancel{6}}} \; + \;
 \cfrac {4 \cdot \cfrac{66}{33}}{\cancel{33} \cdot \cfrac{66}{\cancel{33}}}
 \quad =
</math>

operando les fracciones, podemos realizar la suma:
: <math>
 \cfrac {1 \cdot 11}{66} + \frac {4 \cdot 2}{66}
 \quad = \quad
 \cfrac {11}{66} + \frac {8}{66}
 \quad = \quad
 \cfrac {19}{66}
</math>

=== Espresiones alxebraiques ===

El m.c.m. pa dos [[Espresión matemática|espresiones alxebraiques]], correspuende a la espresión alxebraica de menor [[Coeficiente (matemática)|coeficiente]] numbéricu y de menor grau que ye divisible esautamente por caúna de les espresiones daes. Esta teoría ye de suma importancia pa les fracciones y ecuaciones.<ref>{{cita llibru|apellíos=Baldor |nome=Aurelio |títulu=Álgebra |editorial=Cultural |allugamientu=Páxina 188|isbn=9684392117 |páxina=574|capítulu=XII}}</ref>

D'esta forma'l m.c.m. de [[monomiu|monomios]] <math> \ 4a</math> y <math> \ 6a^2</math> ye <math> \ 12a^2</math> igualmente pa <math> \ 2x^2 , \ 6x^3 </math> y <math> \ 9x^4</math> ye <math> \ 18x^4</math>.

== Algoritmu de cálculu ==
Pa más de dos númberos, un algoritmu ye'l siguiente:

# Descomponer cada unu de los númberos nun productu de potencies de [[factores primos]].Por casu, la descomposición factorial de 324 ye 2²·3⁴.
# D'ente toles potencies de factores primos, escuéyense tolos esistentes, y dientro de los comunes a tolos númberos, los de mayor potencia. (Ye bien conveniente disponer les factorizaciones de manera tabular o matricial pa evitar despistes al realizar l'exerciciu).
# Multiplicar tolos factores escoyíos.

Por casu, calculando'l mcm(324,16,7,5) La descomposición de 324 ye 2²·3⁴; la descomposición de 16 ye: 2⁴; la descomposición de 7 ye 7 y la descomposición de 5 ye 5.

:<math>
 \begin{bmatrix}
 324 = & 2^{2} & 3^{4} & & \\
 16 = & 2^{4} & & \\
 5 = & & & 5 & \\
 7 = & & & & 7
 \end{bmatrix}
</math>

Por tanto, llogramos el mcm: 2⁴·3⁴·7·5 = 45360.

== Xeneralización del conceutu de m.c.m. y m.c.d. ==

El conceutu de m.c.m. y de m.c.d. puede estendese a les fracciones o númberos racionales positivos.<ref>http://math.stackexchange.com/questions/44836/rational-numbers-lcm-and-hcf Mathematics Stack Exchange</ref> Puramente falando cualquier númberu racional estrema a otru racional y nun esiste un racional mayor o menor que toos. Sicasí, la estensión equí descrita tien interés en dellos problemes y ta rellacionada cola [[teoría d'aniellos]], [[Ideal (teoría d'aniellos)|ideales]], [[identidá de Bézout]], [[teorema de Krull]], etc.

Nel casu de l'[[aritmética|aritmética clásica elemental]] sería d'aplicación nel siguiente exemplu. Sían 3 corredores dando vueltes a un circuitu, si en cada vuelta'l primeru saca 1/3 de vuelta al segundu y 2/7 al terceru. ¿cuándo volverán coincidir na meta los trés corredores?. Tamién sería d'aplicación en problemes de ruedes dentaes, etc.

Sían dos fracciones <math>\frac{a}{b}</math> y <math>\frac{c}{d}</math> irreducibles

<math>

a = \prod_{i} p_i^{y_{i}(a)},

b = \prod_{i} p_i^{y_{i}(b)},

c = \prod_{i} p_i^{y_{i}(c)},

d = \prod_{i} p_i^{y_{i}(d)}

</math>

La descomposición en factores primos de <math>a, b, c, d</math>. Entós

:<math>
\frac{\prod_{i} p_i^{\max(y_{i}(a),y_{i}(c))}}{\prod_{i} p_i^{\min(y_{i}(b),y_{i}(d))}}
</math>

ye una fracción que ye común múltiplu de <math>\frac{a}{b}</math> y <math>\frac{c}{d}</math> y ye'l mínimu poles propiedaes del m.c.m. y m.c.d. de dos enteros non negativos una y bones <math>
{\prod_{i} p_i^{\max(y_{i}(a),y_{i}(c))}}</math> ye'l m.c.m. de los numberadores y <math>
{\prod_{i} p_i^{\min(y_{i}(b),y_{i}(d))}}</math> ye'l m.c.d. de los denominadores de manera que puede concluyise que :<math>

 \operatorname{mcm}\left ( \frac{a}{b},\frac{c}{d} \right ) = \frac{\operatorname{mcm}(a,c)}{\operatorname{mcd}(b,d)}.
</math>

Análogamente o teniendo en cuenta que'l productu de dos númberos ye igual al del so m.c.m. pol so m.c.d. llogramos:

:<math>
\operatorname{mcd} \left ( \frac{a}{b},\frac{c}{d} \right ) = \frac{\operatorname{mcd}(a,c)}{\operatorname{mcm}(b,d)}.
</math>

Les fórmules anteriores son válides pa una cantidá finita de fracciones. Amás el cociente del mcm ente cada fracción ye un enteru y el conxuntu de los cocientes formen un sistema de primos ente sigo. Otramiente, el cociente de cada fracción ente'l mcd ye enteru, los cocientes son primos ente sigo<ref>Galdos; Aritmética 1m ISBN 9972-891-14-3</ref>

De manera más xeneral, conceutu de m.c.m. tien sentíu en cualesquier [[dominiu enteru]]. Mayor usu dar nel conxuntu de los enteros, [[polinomio|polinomio nuna variable]], [[enteru gaussiano|enteros gaussianos]]<ref>Birkhoff- Mc Lane. Álxebra Moderna</ref>

== Ver tamién ==
* [[Máximu común divisor]]
* [[Númberu primu]]
* [[Mínimu común denominador]]
* [[Númberos naturales]]

== Referencies ==
{{llistaref}}

== Enllaces esternos ==
* [http://enciclopedia.us.es/index.php/M%C3%ADnimo_com%C3%BAn_m%C3%BAltiplo Mínimu común múltiplu n'Enciclopedia llibre universal española] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180916162843/http://enciclopedia.us.es/index.php/M%C3%ADnimo_com%C3%BAn_m%C3%BAltiplo |date=2018-09-16 }}

{{ORDENAR:Minimo comun multiplo}}


{{Tradubot|Mínimo común múltiplo}}

{{control d'autoridaes}}
[[Categoría:Aritmética elemental]]