Ver la fonte de Logaritmu

{{1000}}
{{estremar|Algoritmu}}
{{Ficha xenérica}}
N'[[matemátiques|analís matemáticu]], usualmente, el '''llogaritmu'''{{DALLAref}} d'un númberu real positivu —nuna base de llogaritmu determinada— ye'l [[Potenciación|esponente]] al cual hai qu'alzar la base pa llograr dichu númberu. Por casu, el llogaritmu de 1000 en base 10 ye 3, porque 1000 ye igual a 10 a la potencia 3: 1000 = 10³ = 10×10×10.

De la mesma manera que la operación opuesta de la [[suma]] ye la [[resta]] y la de la [[multiplicación]] la [[división (matemática)|división]], el '''cálculu de llogaritmos''' ye la operación inversa a la [[exponenciación]] de la base del llogaritmu.

Pa representar la operación de llogaritmu nuna determinada base escríbese l'abreviatura log y como subíndice la base y dempués el númberu resultante del que deseyamos topar el llogaritmu. Por casu, 3⁵=243 depués log<sub>3</sub>243=5. Cuando se sobrentiende la base, puede omitise.

Los llogaritmos fueron introducíos por [[John Napier]] a principios del [[sieglu XVII]] como un mediu de simplificación de los cálculos. Estos fueron prontamente adoptaos por científicos, inxenieros, banqueros y otros pa realizar operaciones fácil y rápido, usando [[regla de cálculu|regles de cálculu]] y [[tabla de logaritmo|tables de llogaritmos]]. Estos dispositivos basar nel fechu más importante — por [[identidaes logarítmiques]] — que'l llogaritmu d'un [[productu (matemátiques)|productu]] ye la [[suma]] de los llogaritmos de los factores:
:<math> \log_b(xy) = \log_b (x) + \log_b (y). \,</math>
La noción actual de los llogaritmos vien de [[Leonhard Euler]], quien conectó estos cola [[función esponencial]] nel [[sieglu XVIII]].

== Definiciones ==
Si los númberos a y b son positivos, b la base distinta a 1 y a 0. va dicise que'l llogaritmu d'a na base b ye h si cumplir que {{Ecuación|<math> b^h = a</math>, y se denota <math> log_b = h</math>|}}
*Llogaritmu puede ser definíu de diverses maneres: como esponente, cuando se conocen la base d'una potencia y el valor d'esta; tal el casu si :<math>
2^x = \frac{1}{16}</math>, como <math>\scriptstyle x = -4</math> resuelve la ecuación, dizse que -4 ye'l llogaritmu de 1/16 en base 2. O bien
:<math> \log_2 \frac{1}{16} = -4</math>.<ref>G. M. Cirgüeyu. ''Elementos d'álxebra''. Madrid</ref>.
Esíxese que la base de llogaritmos seya un númberu positivu distintu de 1. Usualmente consideróse como base, 10: aniciando los llogaritmos '''decimales''' o '''vulgares'''. O bien la base, el númberu '''y''': xenerando los llogaritmos '''naturales''' o '''neperianos'''.
* Como una función real de variable real. Concretamente, considerando que la función esponencial ye una función creciente y continuo de dominiu ℝ y codominio ℝ<sup>+</sup>, pos tien función inversa de dominiu ℝ<sup>+</sup>, y codominio ℝ, que tamién ye creciente y continua pa base mayor que 1.<ref>Taylor- Wade. Matemática básica</ref>
* Por integral definida {{ecuación|

<math> \int_1^a \frac{1}{x}\,dx = \ln a </math>
||left}}
que se llee '''llogaritmu natural d'a''', nesti casu la base de los llogaritmos ye'l númberu irracional trascendente '''y''' que ye la llende de {{ecuación|<math>
\left( 1+\frac{1}{n} \right)^n</math>||left}}
cuando ''n'' tiende a infinitu.<ref>Haasser- La Salle- Sulivan. ''Analís matemáticu I'', Editorial Tríes, Méxicu D. F.</ref>

Dau un númberu real (argumentu ''x''), la función llogaritmu asígna-y l'esponente ''n'' (o potencia) a la qu'un númberu fixu ''b'' (base) haber d'alzar pa llograr dichu argumentu. Ye la [[función inversa]] de ''b a la potencia n''. Esta función escríbese como: ''n'' = log<sub>''b''</sub> ''x'', lo que dexa llograr ''n''.<ref>{{MathWorld |http://mathworld.wolfram.com/Logarithm.html}}</ref> 
{{ecuación|
<math>\log_b x = n \quad \Leftrightarrow\ \quad x = b^n\,</math>
||left}} 

(esto lléese como: llogaritmu en base ''b'' de ''x'' ye igual a ''n''; si y namái si ''b'' eleváu a la ''n'' da por resultancia a ''x'')

Por que la definición seya válida, non toles bases y númberos son posibles. La base ''b'' tien que ser positiva y distinta de 1, depués ''b''> 0 y ''b'' ≠ 1, ''x'' tien que ser un númberu positivu ''x'' > 0 y ''n'' puede ser cualquier númberu real (''n'' ∈ '''R''').<ref>{{cita llibru | apellíu= González | nome=Mario O. |apellíu2= Mancill| nome2=Julián| títulu=Álgebra Elemental Moderna | editorial=Editorial Kapelusz | editor=| ubicación=Buenos Aires | añu=1980 | isbn= | páxines=243 }}</ref>

Asina, na espresión 10² = 100, el llogaritmu de 100 en base 10 ye 2, y escríbese como log<sub>10</sub> 100 = 2.

== Propiedaes xenerales ==
Los llogaritmos, independientemente de la base escoyida, cumplen una serie de propiedaes comunes que los caractericen. Asina, llogaritmu de la so base ye siempres 1; log<sub>''b''</sub>&nbsp;''b''&nbsp;=&nbsp;1 yá que ''b''<sup>1</sup>&nbsp;=&nbsp;''b''. El llogaritmu de 1 ye cero (independientemente de la base); log<sub>''b''</sub>&nbsp;1=0 yá que ''b''<sup>0</sup>&nbsp;=&nbsp;1.

Si'l númberu real ''a'' alcuéntrase dientro del [[intervalu (matemátiques)|intervalu]] 0&nbsp;<&nbsp; ''a''&nbsp;<&nbsp;1 entós log<sub>''b''</sub>&nbsp;''a'' da un valor negativu o se diz que ye un llogaritmu negativu. Rescampla, yá que si llogaritmu de 1 ye cero, entós valores reales menores qu'unu van ser negativos por ser la función logarítmica puramente creciente y que'l so [[imaxe d'una función percorríu]] ye (-∞, +∞). Tamién usando la identidá logarítmica log<sub>''b''</sub>(''x/y'')=log<sub>''b''</sub>&nbsp;''x''&nbsp;-&nbsp;log<sub>''b''</sub>&nbsp;''y''; yá que ''a'' pertenez al intervalu 0&nbsp;<&nbsp; ''a''&nbsp;<&nbsp;1, el so [[inversu multiplicativu|inversu]] ''a''<sup>-1</sup> va ser mayor qu'unu, colo que log<sub>''b''</sub>(''a'')=log<sub>''b''</sub>(1/''a''<sup>-1</sup>) = log<sub>''b''</sub> 1 - log<sub>''b''</sub>(''a''<sup>-1</sup>)= -log<sub>''b''</sub>(''a''<sup>-1</sup>). 

Los númberos negativos nun tienen llogaritmu nel [[cuerpu (matemátiques)|cuerpu]] de los [[númberu real|reales]] '''R''', yá que sía'l que quier l'esponente ''n'', va tenese siempres que ''b''<sup>''n''</sup> va ser mayor que cero, ''b''<sup>''n''</sup> > 0; arriendes d'ello, nun hai nengún valor real de ''n'' que pueda satisfaer ''b''<sup>''n''</sup> = ''x'' cuando x seya menor que 0. Sicasí, esta torga puede salvase, ampliando'l [[dominiu de definición]] al cuerpu de los [[númberu complexu|númberos complexos]] '''C''', pudiendo calcular llogaritmos de númberos negativos usando'l [[llogaritmu complexu]] o recurriendo a la [[fórmula d'Euler]].

Les potencies consecutives d'una base formen una [[progresión xeométrica]] y la de los esponentes una [[progresión aritmética]]. Por casu, les [[potencies de 2]] son 1,2,4,8,16,32,64,..., etc. y los sos esponentes van ser 0, 1, 2, 3, 4,..., etc. yá que 2⁰ = 1, 2¹ = 2, 2² = 4, 2³ = 8, y 2⁴ = 16, etc. depués [[llogaritmu binariu|log<sub>2</sub>]] 1 = 0, log<sub>2</sub> 2 = 1, log<sub>2</sub> 4 = 2, log<sub>2</sub> 8 = 3 y log<sub>2</sub> 16 = 4, etc.

== Propiedaes alxebraiques ==
{{AP|Identidaes logarítmiques}}
Nesta parte destácase la capacidá operativa del usu de llogaritmos nel sentíu d'operaciones coligadas; por aciu llogaritmos, una operación convertir n'otra operación de menor nivel. Por casu, un productu de n factores amenorgar a una adición de n sumandos.Etc.

Verdaderamente, les siguientes proposiciones funcionen como identidaes pa los valores del so dominiu de definición. Sicasí, l'ésitu de la invención y usu de los llogaritmos, xustamente, anició en poder convertir productos en sumes; cocientes en restes; potencia en productu y raigañu de grau ''n'' nun cociente. Esti fechu dexa dicir que, nel so momentu, l'usu de llogaritmos produció un cambéu revolucionariu nos cálculos, emplegaos na astronomía, navegación y matemática financiera aplicada a la banca y los negocios colaterales.<ref>Kasner- Newman: ''Maemñática ya imaxinación''</ref>
Los llogaritmos caltienen ciertes identidaes aritmétiques bien útiles a la de realizar cálculos:
* El llogaritmu d'un productu ye igual a la suma de los llogaritmos de los factores.
::<math> \!\, \log_b(x y) = \log_b(x) + \log_b(y) \,</math>
* El llogaritmu d'un inversu multiplicativu ye l'inversu aditivu del llogaritmu:
::<math>\log\left(\frac{1}{x}\right) = -\log \left(x\right) = \text{colog }(x)</math>
* El llogaritmu d'un cociente ye igual al llogaritmu del numberador menos el llogaritmu del denominador.
::<math> \!\, \log_b \left ( \frac{x}{y} \right ) = \log_b(x) - \log_b(y) \,</math>
::<math> \!\, \log_b \left ( \frac{x}{y} \right ) = \log_b(x) + \text{colog }(y) \,</math>
* El llogaritmu d'una potencia ye igual al productu ente l'esponente y el llogaritmu de la base de la potencia.
::<math> \!\, \log_b(x ^ y) = y \log_b(x) \,</math>
* El llogaritmu d'un raigañu ye igual al productu ente la inversa del índiz y el llogaritmu del aniciando.
::<math> \!\, \log_b(\sqrt[y]{x}) = \frac{\log_b(x)}{y} \,</math>

En realidá la cuarta y quinta identidá son equivalentes, ensin más que faer:
::<math> \!\, \sqrt[y]{x} = x^\frac{1}{y} \,</math>

=== Seleición y cambéu de base ===
Ente los llogaritmos más utilizaos alcuéntrase'l [[llogaritmu natural]], que la so base ye [[Númberu e|e]], base 10 ([[llogaritmu común]]), base 2 ([[llogaritmu binariu]]), o en base indefinida (llogaritmu indefiníu). La eleición d'un determináu númberu como base de los llogaritmos nun ye crucial, yá que toos son proporcionales ente sigo. Ye útil la siguiente fórmula que define al ''llogaritmu de x en base b'' (suponiendo que ''b'', ''x'', y ''k'' son númberos reales positivos y que tanto ''b'' como ''k'' son distintos de 1):

:<center><math>\log_b(x) = \frac {\log_k(x)}{\log_k(b)} \,\!\,</math> </center>

na que ''k'' ye cualquier base válida. Si faemos ''k''=''x'', vamos llograr:

:<center><math>\log_b(x) = \frac {1}{\log_x(b)} \,\!\,</math> </center>

==== Base potencia ====
<center><math> \log_{b^n} a = \frac{m}{n} </math> si <math> \log_b a = n </math> </center>

<center><math> a^{\log_b c}= c^{\log_b a} </math></center><ref>Jimmy Gracía et al. Resume Teóricu Matemátiques y Ciencies. Fondu editorial Rodó. Lima (2013)</ref>

==== Por aciu desigualdaes ====
{{Teorema|1= Si <math> 1< b< p</math>, entós <math>log_b a > log_p a</math>, a menor base mayor llogaritmu. Exemplu <math>log_2 64 > log_4 64 </math>; pos 6 > 3|2=|títulu= Variación de base }}

 {{Teorema|1= Si <math> 0< b< p <1</math>, entós <math>log_b a < log_p a</math>, a menor base menor llogaritmu. Exemplu <math>log_{0,5} 16 < log_{0,25} 16 </math>; pos -4 < -2|2=|títulu= Otra variación de base }}

{{Teorema|1= Si <math> 1< b</math> y <math> 0< h < k</math> , entós <math>log_b h < log_b k</math>, con base fixa:a mayor númberu, mayor llogaritmu. Exemplu <math>log_2 8 < log_2 32 </math>; pos 3 < 5|2=|títulu= Base fixa}}

{{Teorema|1= Si <math> 0< b <1</math> y <math> 0< h < k</math> , entós <math>log_b h > log_b k</math>, con base fixa:a mayor númberu, menor llogaritmu. Exemplu <math>log_{0,5} 8 > log_{0,5} 32 </math>; pos -3 < -5|2=|títulu= Otru casu de base fixa}}<ref>Adautación del llibro «Elementos d'analís matemáticu» de S.M. Nikolski. Editorial Mir, Moscú (1984)</ref>

* Si a > 1 cumplir que log b + log<sub>b</sub>10 ≥ 2. Sicasí si 0<b<1, cabo la desigualdá log b + log<sub>b</sub>10 ≤ -2.<ref>Puede comprobar por aciu una calculadora</ref>

==== Emplegos ====
El llogaritmu más llargamente utilizáu ye'l natural, yá que tien ensame d'aplicaciones en [[física]], [[matemátiques]], [[inxeniería]] y en [[ciencia|ciencies]] polo xeneral. Tamién ye bastante utilizáu'l [[llogaritmu decimal]], que s'indica como <math>\log(x)\,\!\,</math>, en ciencies que faen usu de les matemátiques, como la química na midida de l'acidez (denomada [[pH]]) y en física en magnitúes como la midida de la lluminosidá ([[candela]]), d'[[intensidá de soníu]] ([[Decibeliu|dB]]), de la enerxía d'un terremotu ([[escala sismolóxica de Richter]]), etc. N'informática usa'l llogaritmu en base 2 la mayoría de vegaes.

== Propiedaes analítiques ==
Un estudiu más fondu de los llogaritmos rique'l conceutu de ''[[función (matemátiques)|función]]''. Un exemplu ye la función que produz la ''x''-ésima potencia de ''b'' pa cualquier númberu real ''x'', onde la base (o [[Raigañu d'una función|raigañu]]) ''b'' ye un númberu fixu. Esta función escríbese como {{ecuación|

<math>f(x) = b^x \, </math>
||left}}

=== Función logarítmica ===
Pa garantizar la definición de llogaritmos, ye necesariu demostrar que pa la [[ecuación esponencial]]
{{ecuación|
<math>b^x = y \,</math>
||left}}
esiste una única solución ''x'' , asumiendo que <math> y >0 \ </math> y que ''b'' nun ye solución de la ecuación <math> t^2 - t = 0</math>. Una demostración d'esti fechu rique del [[teorema del valor entemediu]] del [[cálculu]] elemental.{{Harvnp|Lang|1997|loc=Seición III.3}} Esti teorema establez qu'una [[función continua]] que produz dos valores ''m'' y ''n'' tamién produz cualquier valor que s'atope ente ''m'' y ''n''. Una función ye ''continua'' si esta nun salta», esto ye, si'l so gráficu puede ser escritu ensin llevantar el llapiceru del papel.

Esta propiedá puede demostrase que se cumple pa la función {{nowrap begin}}''f''(''x'') = ''b''<sup>''x''</sup>{{nowrap end}}. Yá que ''f'' toma arbitrariamente valores grandes positivos y valores pequeños positivos, cualquier númberu {{nowrap|''y'' > 0}} que s'atopa ente ''f''(''x''<sub>0</sub>) y ''f''(''x''<sub>1</sub>) pa un fayadizu ''x''<sub>0</sub> y ''x''<sub>1</sub>. Poro, el teorema del valor entemediu asegura que la ecuación ''f''(''x'') = ''y'' tien una solución. Entá más, hai namái una solución pa esta ecuación, yá que la función ''f'' ye [[función monótona|puramente creciente]] (pa {{nowrap|''b'' > 1}}), o puramente decreciente (pa {{nowrap|0 < ''b'' < 1}}).{{Harvnp|Lang|1997|loc=Seición IV.2}}

La única solución ''x'' ye'l llogaritmu de ''y'' na base ''b'', log<sub>''b''</sub>(''y''). La función qu'asigna a cada ''y'' el so llogaritmu llámase ''función logaritmo'' o ''función logarítmica'' (o ''llogaritmu'' a seques).

=== Función inversa ===
[[Ficheru:Logarithm inversefunctiontoexp.svg|right|thumb|Gráficu de la función logarítmica log<sub>''b''</sub>(''x'') (azul) llograr por aciu [[Reflexón (matemátiques)|reflexón]] del gráficu de la función ''b''<sup>''x''</sup> (colorada) sobre la llinia diagonal ({{nowrap begin}}''x'' = ''y''{{nowrap end}}).|alt=The graphs of two functions.]]
La fórmula pal llogaritmu d'una potencia diz en particular que pa cualquier númberu ''x'', :<math>\log_b
\left (b^x \right) = x \log_b(b) = x.</math>
En llinguaxe llanu, tomando la {{nowrap|''x''-ésima}} potencia de ''b'' y depués el {{nowrap|base-''b''}} llogaritmu vuelve llograse ''x''. De manera contraria, dau un númberu positivu ''y'', la fórmula :<math>b^{\log_b(y)}
= y</math>
diz que tomando primero'l llogaritmu y dempués exponenciando vuelve llograse ''y''. Asina, los dos maneres posibles de combinar (o [[Función compuesta|componer]]) llogaritmos y esponenciales vuelve dar el númberu orixinal. Poro, el llogaritmu en base ''b'' ye la ''[[función inversa]]'' de {{nowrap|''f''(''x'') {{=}} ''b''<sup>''x''</sup>}}.<ref>{{Citation | last1=Stewart | first1=James |títulu=Single Variable Calculus: Early Transcendentals |publicación=Thomson Brooks/Cole |ubicación=Belmont|isbn=978-0-495-01169-9 | añu=2007}}, section 1.6</ref>

Les funciones inverses tán íntimamente rellacionaes coles funciones orixinales. Los sos [[Gráfica d'una función gráficos]] correspuéndense l'unu col otru por aciu l'intercambiu de les coordenaes ''x'' y ''y'' (o por reflexón sobre la llinia diagonal ''x'' = ''y''), como s'amuesa na figura de la derecha: un puntu (''t'', ''o'' = ''b''<sup>''t''</sup>) sobre'l gráficu de ''f'' apurre un puntu (''o'', ''t'' = log<sub>''b''</sub>''o'') sobre'l gráficu del llogaritmu y viceversa.

=== Crecedera o decrecimiento de la función ===
De resultes, log<sub>''b''</sub>(''x'') [[Llende d'una sucesión|tiende a + infinitu]] (faise más grande que cualquier númberu dau) si ''x'' avera a + infinitu, siempres que ''b'' seya mayor que 1. Nesi casu, log<sub>''b''</sub>(''x'') ye un [[Función monótona|función creciente]]. Pa {{nowrap|''b'' < 1}}, log<sub>''b''</sub>(''x'') tiende a menos infinitu en llugar d'a infinitu. Cuando ''x'' averar a cero, log<sub>''b''</sub>(''x'') tiende a menos infinitu pa {{nowrap|''b'' > 1}} (a más infinitu cuando {{nowrap|''b'' < 1}}, respeutivamente). Sía que non, y pa tou valor apropiáu de la base b, la gráfica de la función logarítmica curtia a la exa de les ascises nel puntu (1,0).

=== Derivada ya integral indefinida ===
[[Ficheru:Logarithm derivative.svg|right|thumb|220px|El gráficu del llogaritmu natural (verde) y la so tanxente en {{nowrap|''x'' {{=}} 1.5}} (negru)|alt=A graph of the logarithm function and a line touching it in one point.]]
Les propiedaes analítiques de les funciones pasen a les sos inverses.{{Harvnp|Lang|1997|loc=Seición III.3}} Asina, como {{nowrap begin}}''f''(''x'') = ''b''<sup>''x''</sup>{{nowrap end}} ye una función continua y [[función diferenciable|diferenciable]], tamién lo será log<sub>''b''</sub>(''y''). Toscamente falando, una función continua ye diferenciable si'l so gráficu nun tien «trazos apuntiaos». Entá más, como la [[derivada]] de ''f''(''x'') evaluada en ln(''b'')''b''<sup>''x''</sup> poles propiedaes de la [[función esponencial]], la [[regla de la cadena]] implica que la derivada de log<sub>''b''</sub>(''x'') ye dada por{{Harvnp|Lang|1997|loc=Seición IV.2}}<ref>{{cita web |obra=Wolfram Alpha |títulu=Calculation of ''d/dx(Log(b,x))'' |editorial=[[Wolfram Research]] |fechaaccesu=15 de marzu de 2011 |url=http://www.wolframalpha.com/input/?i=d/dx(Log(b,x)) }}</ref>
{{ecuación|
<math>\frac{\text{d}}{\text{d}x} \log_b(x) = \frac{1}{x\ln(b)}. </math>
||left}}
Esto ye, la [[pendiente (matemátiques)|pendiente]] de la [[tanxente (xeometría)|tanxente]] que toca'l gráficu del llogaritmu en {{nowrap|base-''b''}} nel puntu {{nowrap|(''x'', log<sub>''b''</sub>(''x''))}} ye igual a {{nowrap|1/(''x'' ln(''b''))}}. En particular, la derivada de ln(''x'') ye 1/''x'', lo qu'implica que la [[integral indefinida]] de 1/''x'' ye {{nowrap|ln(''x'') + C}}.La derivada con un argumentu funcional xeneralizáu ''f''(''x'') ye {{ecuación|

<math>\frac{\text{d}}{\text{d}x} \ln(f(x)) = \frac{f'(x)}{f(x)}.</math>
||left}}
El cociente del miembru derechu ye denomináu [[derivada logarítmica]] de ''f''. Calcular ''f<nowiki>'</nowiki>''(''x'') per mediu de la derivada de ln(''f''(''x'')) conozse como [[diferenciación logarítmica]].<ref>{{Citation | last1=Kline | first1=Morris | author1-link=Morris Kline |títulu=Calculus: an intuitive and physical approach |publicación=[[Dover Publications]] |ubicación=New York | series=Dover books on mathematics | isbn=978-0-486-40453-0 | añu=1998}}, p. 386</ref> La integral indefinida del llogaritmu natural ln(''x'') ye:<ref>{{cita web |obra=Wolfram Alpha |títulu=Calculation of ''Integrate(ln(x))'' |editorial=Wolfram Research |fechaaccesu=15 de marzu de 2011 |url=http://www.wolframalpha.com/input/?i=Integrate(ln(x)) }}</ref>
{{ecuación|
<math>\int \ln(x) \,\text{d}x = x \ln(x) - x + C.</math>
||left}}
[[Llista d'integrales de funciones logarítmiques|Fórmules rellacionaes]], tales como integrales indefiníes de llogaritmos n'otres bases pueden ser llograes d'esta ecuación usando'l cambéu de bases.<ref>{{Cita Harvard |Abramowitz|Stegun|1972| p=69}}</ref>

=== Representación integral del llogaritmu natural ===
[[Ficheru:Natural logarithm integral.svg|right|thumb|El llogaritmu natural de ''t'' ye l'área avisiega sol gráficu de la función ''f''(''x'') = 1/''x'' (inversa de ''x'').|alt=A hyperbola with part of the area underneath shaded in grey.]]
{{AP|Llogaritmu natural}}
El llogaritmu natural de ''t'' concuerda cola [[integral]] de 1/''x''&nbsp;''dx'' dende 1 a ''t'':
:<cite id=integral_naturallog><math>\ln (t) = \int_1^t \frac{1}{x} \, dx.</math></cite>
N'otres pallabres, ln(''t'') ye igual al área ente la exa ''x'' y el gráficu de la función 1/''x'', percorríu dende {{nowrap begin}}''x'' = 1{{nowrap end}} a {{nowrap begin}}''x'' = ''t''{{nowrap end}} (figura a la derecha). Esto ye una consecuencia del [[teorema fundamental del cálculu]] y del fechu de que la derivada de ln(''x'') seya 1/''x''. El miembru de la derecha d'esta ecuación puede sirvir con una definición pal llogaritmu natural. Les fórmules del productu y potencies de llogaritmu pueden ser llograes d'esta definición.<ref>{{Citation|last1=Courant|first1=Richard |títulu=Differential and integral calculus. Vol. I |publicación=[[John Wiley & Sons]] |ubicación=New York|series=Wiley Classics Library|isbn=978-0-471-60842-4|mr=1009558|añu=1988}}, section III.6</ref> Por casu, la fórmula del productu {{nowrap begin}}ln(''el to'') = ln(''t'') + ln(''o''){{nowrap end}} deduzse como:

:<math> \ln(el to) = \int_1^{el to} \frac{1}{x} \, dx \ \stackrel {(1)} = \int_1^{t} \frac{1}{x} \, dx + \int_t^{el to} \frac{1}{x} \, dx \ \stackrel {(2)} = \ln(t) + \int_1^o \frac{1}{w} \, dw = \ln(t) + \ln(o).</math>

La igualdá (1) descompon la integral en dos partes, ente que la igualdá (2) ye un cambéu de variable ({{nowrap begin}}''w'' = ''x''/''t''{{nowrap end}}). Na ilustración de baxo, la descomposición correspuende a estremar l'área nes partes azul y mariella. Reescalando l'área azul de la izquierda verticalmente por aciu el factor ''t'' y contrayendo esta pol mesmu factor horizontalmente nun se camuda'l so tamañu. Moviéndola apropiadamente, l'área de la gráfica afacer a la función {{nowrap begin}}''f''(''x'') = 1/''x''{{nowrap end}} de nuevu. Poro, l'área azul del términu esquierdu, que ye la integral de ''f''(''x'') dende ''t'' a ''el to'' ye la mesma que la de la integral dende ''1'' a ''o''. Esto xustifica la igualdá (2) con otra demostración xeométrica más.

[[Ficheru:Natural logarithm product formula proven geometrically.svg|thumb|center|500px|Una demostración visual de la fórmula del productu del llogaritmu natural.|alt=The hyperbola depicted twice. The area underneath is split into different parts.]]

La fórmula de la potencia {{nowrap begin}}ln(''t''<sup>''r''</sup>) = ''r'' ln(''t''){{nowrap end}} puede ser llograda de manera similar:

:<math>
\ln(t^r) = \int_1^{t^r} \frac{1}{x}dx = \int_1^t \frac{1}{w^r} \left(rw^{r - 1} \, dw\right) = r \int_1^t \frac{1}{w} \, dw = r \ln(t).
</math>
La segunda igualdá usa los cambeos de variable ([[integración per sustitución]]), {{nowrap begin}}''w'' := ''x''<sup>1/''r''</sup>{{nowrap end}}.

La suma sobre los inversos de los númberos naturales, :<math>1
+ \frac 1 2 + \frac 1 3 + \cdots + \frac 1 n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k},</math>
ye llamada [[serie harmónica (matemátiques)|serie harmónica]]. Ta estrechamente venceyada al llogaritmu natural: cuando ''n'' tiende a [[infinitu]], la diferencia, :<math>\sum_{k=1}^n
\frac{1}{k} - \ln(n),</math>
[[Converxencia (matemátiques)|converxi]] (i.e., avérase arbitrariamente cerca) a un númberu conocíu como [[constante d'Euler-Mascheroni]]. Esta rellación ayuda a analizar el rendimientu d'algoritmos, como [[quicksort]].<ref>{{Citation|last1=Havil|first1=Julian |títulu=Gamma: Exploring Euler's Constant |publicación=[[Princeton University Press]]|isbn=978-0-691-09983-5|añu=2003}}, sections 11.5 and 13.8</ref>

=== Trescendencia del llogaritmu ===
El llogaritmu ye un exemplu de [[función trascendente]] y dende un puntu de vista teóricu, el [[teorema de Gelfond-Schneider]] afirma que los llogaritmos suelen tomar valores «difíciles» . La declaración formal basar na noción de [[númberu alxebraicu|númberos alxebraicos]], qu'inclúi a tolos [[númberu racional|númberos racionales]], pero tamién númberos tales como'l [[raigañu cuadráu de 2]] o :<math>\sqrt{-5+\sqrt[3]{3
/ 13}}.</math>
[[Númberu complexu|Númberos complexos]] que nun son alxebraicos son llamaos [[numbero trascendente|trescendentes]];<ref>{{citation |títulu=Selected papers on number theory and algebraic geometry|volume=172|first1=Katsumi|last1=Nomizu |ubicación=Providence, RI |publicación=AMS Bookstore|añu=1996|isbn=978-0-8218-0445-2 |páxina=21|url=https://books.google.com/books?id=uDDxdu0lrWAC&pg=PA21}}</ref> por casu, π y ''y'' son dos d'esos númberos. Casi tolos númberos complexos son trascendentes. Usando estes nociones, el teorema de Gelfond–Scheider declara que daos dos númberos alxebraicos ''a'' y ''b'', log<sub>''b''</sub>(''a'') ye, o un númberu trascendente, o un númberu racional ''p'' / ''q'' (y nesi casu ''a''<sup>''q''</sup> = ''b''<sup>''p''</sup>, de manera que, de mano, ''a'' y ''b'' taben estrechamente rellacionaos).<ref>{{Citation|last1=Baker|first1=Alan|author1-link=Alan Baker (mathematician) |títulu=Trescendental number theory |publicación=[[Cambridge University Press]]|isbn=978-0-521-20461-3|añu=1975}}, p. 10</ref>

== Cálculu ==
Los llogaritmos son fáciles de calcular en dellos casos, tales como {{nowrap begin}}log<sub>10</sub>(1,000) = 3{{nowrap end}}. Polo xeneral, los llogaritmos pueden ser calculaos usando [[serie de potencies|series de potencies]] o la [[media aritméticu-xeométrica]], o ser llograos d'una [[tabla de llogaritmos]] precalculada qu'apurre una precisión fita.<ref>{{Citation | last1=Muller | first1=Jean-Michel |títulu=Elementary functions |publicación=Birkhäuser Boston |ubicación=Boston, MA | edition=2nd | isbn=978-0-8176-4372-0 | añu=2006}}, sections 4.2.2 (p. 72) and 5.5.2 (p. 95)</ref><ref>{{Citation|author=Hart, Cheney, Lawson et al.|añu=1968 |publicación=John Wiley |ubicación=New York |títulu=Computer Approximations|series=SIAM Series in Applied Mathematics}}, section 6.3, p. 105–111</ref>
El [[métodu de Newton]], un métodu iterativu pa resolver ecuaciones aproximao, pue ser usáu tamién pa calcular el llogaritmu, porque la so función inversa, la función esponencial, pue ser calculada eficientemente.<ref>{{Citation|last1=Zhang|first1=M.|last2=Delgado-Frias|first2=J.G.|last3=Vassiliadis|first3=S.|títulu=Table driven Newton scheme for high precision logarithm generation|url=http://ce.et.tudelft.nl/publicationfiles/363_195_00326783.pdf|doi=10.1049/ip-cdt:19941268|publicación=IEE Proceedings Computers & Dixital Techniques|issn=1350-387|volume=141|añu=1994|issue=5|páxines=281–292}} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120509081116/http://ce.et.tudelft.nl/publicationfiles/363_195_00326783.pdf |date=2012-05-09 }}, section 1 for an overview</ref> Usando tables de referencies, métodos como [[CORDIC]] pueden ser usaos pa calcular logaritmo si la úniques operaciones disponibles son la adición y el [[Desplazamientu aritméticu|desplazamientu de bits]].<ref>{{Citation |url= |nome=J. Y. |apellíu=Meggitt |títulu=Pseudo Division and Pseudo Multiplication Processes |publicación=IBM Journal|month=April|añu=1962|doi=10.1147/rd.62.0210}}</ref><ref>{{Citation |apellíu=Kahan |nome=W. |authorlink= William Kahan |títulu=Psuedo-Division Algorithms for Floating-Point Logarithms and Exponentials |fecha=20 de mayu de 2001 |publicación= |publicación=|doi= }}</ref> Entá más, l'[[Llogaritmu binariu|algoritmu del llogaritmu binariu]] calcula lb(''x'') [[recursión|recursivamente]] basáu na repetición cuadrática de ''x'', aprovechando la rellación
:<math>\log_2(x^2) = 2 \log_2 (x). \,</math>

=== Serie de potencies ===
;Serie de Taylor

[[Ficheru:Taylor approximation of natural logarithm.gif|right|thumb|Serie de Taylor de &nbsp;ln(''z'') at&nbsp;''z''&nbsp;=&nbsp;1. L'animación amuesa les primeres &nbsp;10 aproximamientos xunto colos aproximamientos 99 y 100.|alt=An animation showing increasingly good approximations of the logarithm graph.]]
Pa cualquier númberu real ''z'' que satisfaiga {{nowrap|0 < ''z'' < 2}}, la siguiente [[serie de potencies]] cumplir:{{#tag:ref|La mesma serie cumplir pal valor principal del llogaritmu complexu pa númberos complexos ''z'' que satisfaen que <nowiki>|</nowiki>''z'' − 1<nowiki>|</nowiki> < 1.|group=nb}}<ref name=AbramowitzStegunp.68>{{Cita Harvard |Abramowitz|Stegun|1972| p=68}}</ref>
:<math>
\ln (z) = (z-1) - \frac{(z-1)^2}{2} + \frac{(z-1)^3}{3} - \frac{(z-1)^4}{4} + \cdots
</math>
Esta ye una manera rápida de dicir que ln(''z'') pue ser averáu a un valor más y más precisu por aciu les siguientes espresiones:
:<math>
\begin{array}{lllll}
(z-1) & & \\
(z-1) & - & \frac{(z-1)^2}{2} & \\
(z-1) & - & \frac{(z-1)^2}{2} & + & \frac{(z-1)^3}{3} \\
\vdots &
\end{array}
</math>
Por casu, con {{nowrap|''z'' {{=}} 1.5}} el tercer aproximamientu llogra 0.4167, que ye alredor de 0.011 mayor que {{nowrap|ln(1.5) {{=}} 0.405465}}. Esta [[serie matemática|serie]] avera ln(''z'') con precisión arbitraria, siempres que'l númberu de sumandos seya lo suficientemente grande. En cálculu elemental, ln(''z'') ye por tanto, el [[llende matemática|''llende'']] de la serie. Esta ye la [[serie de Taylor]] del llogaritmu natural en {{nowrap begin}}''z'' = 1{{nowrap end}}. La serie de Taylor de ln ''z'' apurre un particular aproximamientu útil de ln(1+''z'') cuando ''z'' ye pequeñu, ''|z| << 1'', yá que
:<math>
\ln (1+z) = z - \frac{z^2}{2} + \cdots \approx z.
</math>
Por casu, con ''z'' = 0.1 el primer orde d'aproximamientu da ln(1.1) ≈ 0.1, que ye menor del 5% del valor correutu 0.0953.

;Series más eficientes
Otra serie ta basada na función [[Función hiperbólica#Inverses de les funciones hiperbóliques|argumentu de tanxente hiperbólica]]:
:<math>
\ln (z) = 2\cdot\operatorname{artanh}\,\frac{z-1}{z+1} = 2 \left ( \frac{z-1}{z+1} + \frac{1}{3}{\left(\frac{z-1}{z+1}\right)}^3 + \frac{1}{5}{\left(\frac{z-1}{z+1}\right)}^5 + \cdots \right ), </math>

pa cualquier númberu real ''z'' > 0.{{#tag:ref|La mesma serie cumplir pal valor principal del llogaritmu complexu pa númberos complexos ''z'' con parte real positiva.|group=nb}}<ref name=AbramowitzStegunp.68 /> Usando la [[Sumatorio|notación sumatorio]] esta tamién puede ser escrita como :<math>\ln
(z) = 2\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{2n+1}\left(\frac{z-1}{z+1}\right)^{2n+1}.</math>
Esta serie puede llograse de la serie de Taylor anterior. Converxe más rápidu que la serie de Taylor, especialmente si ''z'' ye cercanu a 1. Por casu, pa {{nowrap begin}}''z'' = 1.5{{nowrap end}}, los trés primeros términos de la segunda serie averen ln(1.5) con un error de la redolada de 3×10<sup>−6</sup>. La rápida converxencia pa ''z'' cercanu a 1 pue ser tomada como una ventaya de la siguiente manera.: da un aproximamientu de baxa exactitú {{nowrap|''y'' ≈ ln(''z'')}} y calculando
:<math>A = \frac z{\exp(y)}, \,</math>
el llogaritmu de ''z'' ye:
:<math>\ln (z)=y+\ln (A). \,</math>
Cuando meyor ye l'aproximamientu inicial ''y'', más cerca ta ''A'' de 1, asina que'l so llogaritmu puede ser calculáu eficientemente. ''A'' puede ser calculáu usando la [[función esponencial|serie esponencial]], que converxe rápido siempres
que ''y'' nun seya demasiáu grande. Calculando'l llogaritmu d'un ''z'' mayor, pue ser amenorgáu a valores más pequeños que ''z'' por aciu la escritura {{nowrap|''z'' {{=}} ''a'' · 10<sup>''b''</sup>}}, asina que {{nowrap|ln(''z'') {{=}} ln(''a'') + ''b'' · ln(10)}}.

Un métodu íntimamente rellacionáu pue ser utilizáu pa calcular el llogaritmu d'enteros. De la serie anterior, deduzse que:
:<math>\ln (n+1) = \ln(n) + 2\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{2k+1}\left(\frac{1}{2 n+1}\right)^{2k+1}.</math>
Si'l llogaritmu d'un enteru grande ''n'' ye conocíu, entós esta serie llogra una rápida serie converxente pa log(''n''+1).

=== Aproximamientu por aciu media aritméticu-xeométrica ===
La [[media aritméticu-xeométrica]] da aproximamientos con gran precisión del llogaritmu natural. ln(''x'') ye averáu con una precisión de 2<sup>−''p''</sup> (o ''p'' bits precisos) por aciu la siguiente fórmula (dada por [[Carl Friedrich Gauss]]):<ref>{{Citation |first1=T. |last1=Sasaki |first2=Y. |last2=Kanada |títulu=Practically fast multiple-precision evaluation of log(x) |publicación=Journal of Information Processing |volume=5|issue=4 |páxines=247–250 |añu=1982 | url=http://ci.nii.ac.jp/naid/110002673332 |fechaaccesu=30 de marzu de 2011}}</ref><ref>{{Citation |first1=Timm |last1=Ahrendt |títulu=Fast computations of the exponential function |publicación=Springer |ubicación=Berlin, New York|series=Lecture notes in computer science|doi=10.1007/3-540-49116-3_28|volume=1564|añu=1999 |páxines=302–312}}</ref>

:<math>\ln (x) \approx \frac{\pi}{2 M(1,2^{2-m}/x)} - m \ln (2).</math>

Equí ''M'' denota la media aritméticu-xeométrica. Puede llograse por aciu el cálculu repitíu de la media ([[media aritmética]]) y del raigañu cuadráu del productu de dos númberos ([[media xeométrica]]). Entá más, ''m'' ye escoyíu tal que

:<math>x \,2^m > 2^{p/2}.\, </math>

Dambes, media aritméticu-xeométrica y les constantes π y ln(2) pueden ser calculaes por aciu series converxentes bien rápides.

== Estensiones ==
Ye posible estender el conceutu de ''llogaritmu'' más allá de los reales positivos.

=== Númberos reales ===
Para [[númberu enteru|enteros]] ''b'' y ''x'', el númberu <math>\log_b(x)\,</math> ye [[númberu irracional|irracional]] (nun puede representase como'l cociente de dos enteros) si ''b'' o ''x'' tienen un [[factorización|factor primu]] que l'otru nun tien.

El llogaritmu natural d'un númberu real positivu ta bien definíu y ye un númberu real. Sicasí, xeneralizar el llogaritmu natural a númberos reales negativos solo puede faese introduciendo númberos complexos.

Sicasí, al igual qu'asocede'l llogaritmu de númberos complexos la eleición de llogaritmu d'un númberu negativu nun ye única, anque la eleición fecha ye la más frecuentemente usada pa estender el llogaritmu a númberos reales negativos.

=== Númberos complexos ===
{{AP|Llogaritmu complexu}}
[[Ficheru:Complex log.jpg|right|thumb|Principal caña del llogaritmu complexu, Log(''z''). <!-- El puntu negru en {{nowrap|''z'' {{=}} 1}} corresponds to absolute value zero and brighter (more [[saturation (color theory)|saturated]]) colors refer to bigger absolute values. The [[hue]] of the color encodes the argument of Log(''z'').|alt=A density plot. In the middle there is a black point, at the negative axis the hue jumps sharply and evolves smoothly otherwise. -->]]
El llogaritmu natural d'un númberu complexu ''z'' ye otru númberu complexu ''b'' = ln(''z'') que seya solución de la ecuación:
{{Ecuación|<math>z = y^b\;\,</math>|*|left}}
La ecuación anterior nun tien solución única. Ello ye que tien un númberu infinitu de soluciones, anque toes elles son fáciles d'atopar. Dau un númberu complexu ''z'' escritu en forma polar, una solución posible de la ecuación {{Eqnref|*}} ye ''b''<sub>0</sub>:
{{Ecuación|<math>b_0 = \ln \rho + i \theta \qquad \mbox{con}\ z = \rho y^{i\theta}\,</math>||left}}
Puede comprobase qu'esta nun ye la única solución, sinón que pa cualquier valor <math>k\in\mathbb{Z}\,</math> resulta que'l númberu complexu ''b<sub>k</sub>'', definíu de siguío, tamién ye solución:
{{Ecuación|<math>b_k = \ln \rho + i\theta + 2\pi ki \qquad \Rightarrow y^{b_k} = \rho y^{i\theta}\cdot y^{2\pi ki} = z\,</math>||left}}
De fechu cada valor particular de ''k'' define una [[superficie de Riemann]].

=== Llogaritmu en base imaxinaria ===
{{AP|Llogaritmu en base imaxinaria}}
Un llogaritmu en base imaxinaria ye un llogaritmu que tien como base ''[[Númberu complexu#Unidá imaxinaria|i]]'' (la ''[[Númberu complexu#Unidá imaxinaria|unidá imaxinaria]]''). Esti tipu de llogaritmos puede resolvese fácilmente cola fórmula:
{{ecuación|
<math>\log_i(z) = {{2 \ln(z) } \over i\pi} .\,</math>
||left}}
Ónde ''z'' ye cualesquier [[númberu complexu]] sacante 0. Sicasí, hai de solliñar que la fórmula anterior solo ye una de les posibles soluciones yá que la ecuación:
{{ecuación|
<math>i^\lambda = z\,</math>
||left}}
almite non solo la solución dada enantes sinón que cualesquier ''x'' de la forma:
{{ecuación|
<math>\lambda = \frac{2}{i \pi}\ln(z) + 4k = \log_i(z) + 4k , \qquad k \in \mathbb{Z}\,</math>
||left}}
tamién ye solución.

=== Matrices ===
{{AP|Llogaritmu d'una matriz}}
Una matriz ''B'' ye llogaritmu d'una matriz dada ''A'' si la [[Esponencial de matrices|exponenciación]] de ''B'' ye ''A'':
{{ecuación|
<math> y^B = A\,</math>
||left}}
A diferencia de la [[exponenciación]] de matrices, el llogaritmu d'una matriz real puede nun tar definíu siempres. Nel casu d'una [[matriz diagonalizable]] ye necesariu que llogaritmu tea definíu pa toos y cada unu de los [[autovalor]]es o valores propios de la matriz. Nesi casu'l llogaritmu de la matriz ta definíu y ye llogaritmu d'una matriz con autovalores positivos ye otra matriz real. Si'l 0 ye un autovalor de la matriz, entós el so llogaritmu nun ta definíu.

Si'l llogaritmu ta definíu sobre'l [[Espectru d'un operador|espectru]] o conxuntu de autovalores y estos inclúin dalgún númberu negativu, aun así ye posible definir una matriz llogaritmu (en forma similar a como se definen los llogaritmos de númberos negativos o complexos), anque nun resulta única.

Nel casu d'una matriz non diagonalizable, esti procesu ye más complicáu, yá que rique atopar primero'l so [[forma canónica de Jordan]].

=== Llogaritmu discretu ===
{{AP|Llogaritmu discretu}}

Los [[llogaritmu discretu|llogaritmos discretos]] son los análogos en [[grupu (matemátiques)|teoría de grupos]] de los llogaritmos ordinarios. En particular, un llogaritmu ordinariu log<sub>''a''</sub>(''b'') ye una solución de la ecuación ''a''<sup>''x''</sup>&nbsp;=&nbsp;''b'' sobre [[númberu real|númberos reales]] o [[númberu complexu|númberos complexos]]. De manera similar, si ''g'' y ''h'' son elementos d'un [[grupu cíclicu]] [[conxuntu finito|finito]] ''G'', entós una solución ''x'' de la ecuación ''g''<sup>''x''</sup>&nbsp;=&nbsp;''h'' ye llamada llogaritmu discretu na base ''g'' de ''h'' nel grupu ''G''.

Si (''G'','''·''') ye un [[grupu cíclicu]] finito d'[[orde (teoría de grupos)|orde]] ''n'', onde '''·''' ye l'operador multiplicación, si escueye un [[Conxuntu xenerador d'un grupu xenerador]] ''g'' de ''G'', entós cada elementu ''h'' de ''G'' puede ser escritu como ''h''&nbsp;=&nbsp;''g''<sup>''k''</sup> pa dalgún enteru ''k'', de manera que la función

:<math>\operatorname{log}_g:G \rightarrow \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math>

asigna a cada ''h'' la [[Aritmética modular#Clases d'equivalencia módulo n|clase d'equivalencia módulo ''n'']] de ''k'', esto ye, tolos ''k'' que cumplan que ''h''&nbsp;≡&nbsp;''g''<sup>''k''</sup> mod ''n''.

Esti llogaritmu tien aplicaciones en criptografía, cuantimás nel [[Diffie-Hellman|métodu d'intercambiu de claves de Diffie-Hellman]] o nel [[Cifráu ElGamal|sistema de ElGamal]].

== Historia ==
[[Ficheru:John Napier (Neper).jpg|thumb|[[John Napier]] (Neper), foi'l primeru que definió y desenvolvió los llogaritmos.]]
El métodu de cálculu por aciu llogaritmos foi propuestu per primer vegada, públicamente, por [[John Napier]] (llatinizáu ''Neperus'') en 1614, nel so llibru tituláu ''Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio''. [[Joost Bürgi]], un matemáticu y reloxeru suizu al serviciu del duque de Hesse-Kassel, concibió per primer vegada los llogaritmos; sicasí, publicó'l so descubrimientu cuatro años dempués que Napier. La inicial resistencia al usu de llogaritmos foi camudada por [[Kepler]], pol entusiasta sofitu de la so publicación y l'impecable y clara esplicación de cómo funcionaben.

Esti métodu contribuyó a la meyora de la ciencia, y especialmente de l'[[astronomía]], facilitando la resolución de cálculos bien complexos. Los llogaritmos fueron utilizaos davezu en [[xeodesia]], [[navegación marítima]] y otres cañes de la matemática aplicada, enantes de la llegada de les calculadores y [[ordenador|ordenadores]]. Amás de la utilidá nel cálculu, los llogaritmos tamién ocuparon un importante llugar nes matemátiques más avanzaes; el llogaritmu natural presenta una solución pal problema de la cuadradura d'un sector hiperbólicu escurríu por Gregoire de Saint-Vincent en 1647.

Napier nun usó una base tal como agora entiéndese pero, los sos llogaritmos, como factor d'escala, funcionaben de manera eficaz con base 1/y. Pa los propósitos de interpolación y facilidá de cálculu, yeren útiles pa topar la rellación r nuna serie xeométrica tendente a 1. Napier escoyó ''r''&nbsp;=&nbsp;1&nbsp;-&nbsp;10<sup>−7</sup>&nbsp;=&nbsp;0,999999 (Bürgi escoyó ''r''&nbsp;=&nbsp;1&nbsp;+&nbsp;10<sup>−4</sup>&nbsp;=&nbsp;1,0001). Los llogaritmos orixinales de Napier nun teníen log&nbsp;1&nbsp;=&nbsp;0, sinón log&nbsp;10⁷&nbsp;=&nbsp;0. Asina, si N ye un númberu y L ye'l llogaritmu, Napier calcula: ''N''&nbsp;=&nbsp;10⁷(1&nbsp;−&nbsp;10<sup>−7</sup>)<sup>''L''</sup>. Onde (1&nbsp;−&nbsp;10<sup>−7</sup>)<sup><span>10⁷</span></sup> ye aproximao 1/y, faciendo ''L''/10⁷ equivalente a log<sub>1/''y''</sub>&nbsp;''N''/10⁷. Vease [[llogaritmu neperianu]].

Primeramente, Napier llamó «númberos artificiales» a los llogaritmos y «númberos naturales» a los antilogaritmos. Más tarde, Napier usa la pallabra llogaritmu nel sentíu d'un númberu qu'indica una proporción: λόγος (''logos'') el sentíu de proporción, y ἀριθμός (''arithmos'') significáu númberu, y defínese, lliteralmente, como «un númberu qu'indica una rellación o proporción». Referir a la proposición que foi fecha por Napier na so «teorema fundamental», qu'establez que la diferencia de dos llogaritmos determina la rellación de los númberos a los cualos correspuenden, de manera que una [[progresión aritmética]] de llogaritmos correspuende a una [[progresión xeométrica]] de númberos. El términu antilogaritmu foi introducíu a finales de sieglu {{versalita|xvii}} y, anque nunca s'utilizó llargamente en matemátiques, perduró en munches tables, hasta que cayó en desusu.

== Aplicaciones ==
Tanto los llogaritmos naturales, como los llogaritmos en base 10 son ferramientes imprescindibles na midida de les magnitúes que les sos midíes son bien grandes. Por casu, los terremotos tienen que ser midíos con llogaritmos dau a la so amplia enerxía desprendida; la cual provoca tales catástrofes. Pa midir la magnitú de los terremotos, creóse la Escala de Richter, que establez unos determinaos valores según la cantidá d'enerxía que lliberen, esto ye, midiendo l'amplitú de les ondes sísmiques en superficie. Richter definió la magnitú(M), utilizando'l llogaritmu por aciu la siguiente fórmula: 

'''M = logA + C'''

Tamién pueden usase los llogaritmos pa midir la intensidá del rellumu de les estrelles. Por casu Siriu, que ye la estrella más brillosa, tien una magnitú de -1,6. Sicasí, la estrella polar, relluma con una magnitú de 2,1. Esto significa que Siriu, vistu dende la Tierra, relluma unes 30 vegaes más aproximao.

== Vixencia ==
El conceutu de llogaritmu caltiénse vixente pol so venceyu cola integral definida so una hiperbólica xy = 1; na solución d'ecuaciones esponenciales y logarítmiques, na simplificación de derivaes y pol so trezu a ''y''<ref>Vavilov: Problemes de matemática</ref>

== Ecuaciones logarítmiques ==
Llámase '''ecuación logarítmica''' aquella cola incógnita sol signu de llogaritmu.

Exemplos: 

<math>\lg (x+3)- \frac{1}{2}\lg(2x-3)= 2 - \lg 25 </math> onde ''lg'' significa llogaritmu en base 10.

<math>\frac{1}{2}\lg x = \lg \sqrt{x} </math>

<math>\log_2 (9^{x-1} + 7) = 2 \log_2 (3^{x-1} + 1) </math>

=== Casos resueltos ===

== Ver tamién ==
{{llista de columnes|2|
* [[Identidaes logarítmiques]]
* [[Cologaritmo]]
* [[Llogaritmu binariu]]
* [[Llogaritmu natural]]
* [[Llogaritmu neperianu]]
* [[Llogaritmu decimal]]
* [[Llogaritmu complexu]]
* [[Llogaritmu en base imaxinaria]]
* [[Llogaritmu iterado]]
* [[Llogaritmu discretu]]
* [[Llogaritmu d'una matriz]]
* [[Función esponencial]] La función inversa del llogaritmu.
* [[Neper]]
* [[pH]]
* [[Decibeliu]] (dB) unidá logarítmica pa espresar la rellación ente dos magnitud, acústiques o llétriques.
* [[Escala logarítmica]]
}}

== Notes ==
{{llistaref|group=nb|30em}}

== Referencies ==
{{llistaref|2}}

=== Bibliografía ===
* {{cita llibru |apellíos
 = Lang
 |nome = Serge
 |enllaceautor = Serge Lang
 |títulu = Undergraduate analysis
 |editorial = [[Springer-Verlag]]
 |allugamientu = Berlin, New York
 |edición = 2ª
 |serie = Undergraduate Texts in
 Mathematics |isbn = 978-0-387-94841-6
 |mr = 1476913
 |añu = 1997}}
* {{cita llibru |autor
 = Doctor Honoris Causa Ritu Rizquez, University of Boston, J.
 |títulu = Aritmética razonada}} 
* {{cita llibru |apellíu=Marcos
 |nome = C.
 |apellíu2 = Martínez
 |nome2 = J.
 |títulu = Matemátiques
 |publicación = }} 
* {{cita llibru |apellíu=González Aguilar
 |títulu = Matemátiques
 |publicación = }} 
* {{cita llibru |apellíu=Chávez Reis
 |nome = Carmen
 |apellíu2 = León Quintanar
 |nome2 = Adriana |títulu =
 La Biblia de les Matemátiques
 |publicación = }}

== Enllaces esternos ==
{{commons|Logarithm}}
* {{MathWorld |id=Logarithm |títulu=Logarithm}}
* {{Enllaz rotu|1=Historia de los llogaritmos por Francisco Javier Tapia Moreno |2=http://www.mat.uson.mx/depto/publicaciones/apuntes/pdf/2-2-1-llogaritmos.pdf |date=August 2024 |bot=InternetArchiveBot }}
* [http://personales.unican.es/gonzaleof/Sociales_1/ExpoLog.pdf Proyeutu MaTeX: Llogaritmos (formatu PDF, 58 páxines).] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20151123143141/http://personales.unican.es/gonzaleof/Sociales_1/ExpoLog.pdf |date=2015-11-23 }}

{{Tradubot|Logaritmo}}
{{control d'autoridaes}}
[[Categoría:Llogaritmos|Llogaritmos]]
[[Categoría:Operaciones básiques de l'aritmética]]
[[Categoría:Funciones especiales elementales]]
[[Categoría:1614]]