Ver la fonte de Llende d'una socesión

{{Redirixe equí|Converxencia (matemátiques)|Serie converxente|criterios de converxencia de series}}
{| {{tablaguapa}} align="right"
| [[Ficheru:Sucesión 001.svg|right|250px]]
|-
| <math>
 a_{n} =
 \begin{cases}
 16 & \mbox{si } n = 0 \\
 \cfrac{a_{n-1}}{2} & \mbox{si } n > 0
 \end{cases}
</math>
|-
| <math>
 a_{n} =
 16 \cdot 2^{-n}
</math>
|}

El '''[[llende matemática|llende]] d'una [[socesión matemática|socesión]]''' ye unu de los conceutos más antiguos del [[analís matemáticu]]. Ye'l valor al que tienden los términos de la socesión cuando <math>n</math> toma valores bien grandes.<ref name=ls>{{cita llibru |apellíu=Arias Cabezas |apellíu2=Maza Sáez |nome=José María |nome2=Ildefonso |añu=2008 |títulu=Matemátiques 1 |fechaaccesu=3 de mayu de 2017 |páxina=19|capítulu=Aritmética y Álxebra |allugamientu=Madrid |editorial=Grupu Editorial Bruño, Sociedá Llindada |apellíu-editor=Carmona Rodríguez |apellíu-editor2=Díaz Fernández |nome-editor=Manuel |nome-editor2=Francisco Javier|isbn=9788421659854 |númberu-autores=2}}</ref> Representar por aciu <math>\lim_{n\to\infty} a_n</math>, y lléese ''llende cuando <math>n</math> tiende a más infinitu de <math>a</math> sub <math>n</math>.<ref name=ls/>

Esti conceutu ta estrechamente amestáu al de converxencia, una socesión d'elementos d'un conxuntu ye converxente si y solu si nel mesmu conxuntu esiste un elementu (al que se-y conoz como llende) al cual la socesión avérase tanto como se deseye a partir d'un momentu dau. Si una socesión tien llende, dizse que ye una '''socesión [[#Tipos de converxencia converxente]]''', y que la socesión '''converxe''' o '''tiende''' a la llende. En casu contrariu, la socesión ye '''diverxente'''.{{ensin referencies}}

La definición significa que eventualmente tolos elementos de la socesión avérense tanto como queramos al valor llende. La condición qu'impon que los elementos atópense arbitrariamente cercanos a los elementos subsiguientes ''non'' implica, polo xeneral, que la socesión tenga una llende (vease [[socesión de Cauchy]]).

Qué s'entiende por ''próximu'' da llugar a distintes definiciones de llende dependiendo del conxuntu onde se definió la socesión (vease [[distancia]]).

== Llende d'una socesión de númberos reales ==

=== Definición formal ===
El términu xeneral d'una socesión <math> \{\,x_n \}_{n\geq 1}</math> tien llende <math>\,l</math>, cuando <math>\,n</math> tiende a <math>\infty</math>, si pa tou valor <math>\,\varepsilon > 0</math> por pequeñu que sía, esiste un valor <math>\,n_0</math> a partir del cual si <math>\,n>n_0</math> tenemos que la distancia de <math>\,l</math> a <math>\,x_n</math> ye menor que <math>\,\varepsilon</math>, esto ye:

<math>\forall \varepsilon > 0, \exists n_0>0 : \forall n>n_0, d(x_n,l)<\varepsilon</math>.
x=a

=== Notación ===
<math>\lim_{n\to\infty} x_n=l</math>
o bien
<math> x_n \xrightarrow[{\;\; n \to \infty\;\; }]{}l</math>

o tamién
{{Ecuación|<math> x_n\ \stackrel{d}{\longrightarrow}\ x \quad \mbox{cuando} \quad n \to \infty </math>|}}
o a cencielles
{{Ecuación|<math> x_n \to x.</math>|}}

=== Exemplos ===
* La socesión 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ... converxe a la llende 0.
* La socesión 1, -1, 1, -1, 1, ... ye trémbole.
* La socesión 1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ... converxe a la llende 1.
* Si ''a'' ye un númberu real con [[valor absolutu]] |''a''| < 1, entós la socesión ''a<sup>n</sup>'' tien llende 0. Si 0 < ''a'' ≤ 1, entós la socesión ''a''<sup>1/''n''</sup> tien llende 1.
* <math>\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^p} = 0 \hbox{ si } p > 0</math>
* <math>\lim_{n\to\infty} n^{\frac{1}{n}} = 1</math>
* <math>\lim_{n\to\infty} a^{\frac{1}{n}} = 1 \hbox{ si } a>0</math>

=== Propiedaes ===
* Si una socesión <math>\,\{a_n\}</math> tien llende positiva, esiste un términu a partir del cual tolos términos de la socesión son positivos.
* Si una socesión <math>\,\{a_n\}</math> tien llende negativa, esiste un términu a partir del cual los términos de la socesión son negativos.
* Si una socesión <math>\,\{a_n\}</math> converxe a cero, nun puede asegurase nada avera del signu de cada unu de los términos de la socesión.
* Si una socesión <math>\,\{a_n\}</math> tiende a menos infinitu y <math>\,\{a_n\} < 0 </math> entós <math>\frac{1}{a_n}</math> tiende a 0.

== Llende d'una socesión complexa == 
{{vt|Socesión de Cauchy|Serie converxente}}
Dizse que la socesión converxe escontra un complexu <math>\ell</math> si y solu si :<math>(\forall
\varepsilon \in \mathbb R_+^*)(\exists N \in \mathbb N) (\forall n \in \mathbb N) (n \geq N \Rightarrow |o_n - \ell| <\varepsilon)</math>
Nótese que ye la mesma definición que pa <math>\R</math>, con módulu en llugar del valor absolutu.

Puede escribise
:<math>\lim_{n \to + \infty}o_n = \ell</math> o más a cencielles, si nun hai ambigüedá <math>\lim o = \ell</math>
Les socesiones complexes converxentes tienen les mesmes propiedaes que les socesiones reales, sacante les de rellación d'orde: la llende ye únicu, una socesión converxente tien módulu acutáu, toa socesión de Cauchy converxe (n'efeutu, <math>\mathbb C</math> ye tamién completu).
<!--
* Socesiones en <math>\mathbb R</math> ó <math>\mathbb C</math>

El conxuntu de los [[númberos reales]] <math>\mathbb R</math> al igual que'l conxuntu de los [[númberos complexos]] <math>\mathbb C</math> constituyir nun espaciu métricu per mediu del [[valor absolutu]]: pa cada par d'elementos <math>x,\, y</math> en <math>\mathbb R</math> ó <math>\mathbb C</math>, la función <math>d(x,y):=\vert y-x\vert</math> determina una [[Espaciu métricu|métrica]].

Por tanto, d'alcuerdu a {{Eqnref|1}}, una socesión <math>\{x_n\}\,</math> en <math>M = \mathbb R</math> converxe a un <math>x\in \mathbb R</math> si pa tou <math>\varepsilon>0</math>, esiste un enteru <math>N\,</math> tal que

{{Ecuación|<math> n\ge N \quad \Longrightarrow \quad |x_n-x| < \varepsilon.</math>|}}

Como exemplos podemos considerar:

:* La socesión constante definida por <math>x_n:=c\,</math> pa tou <math>n\,</math>, onde <math>c\in\mathbb R</math>. Esta socesión converxe a <math>c\,</math> pos
{{Ecuación|<math>|x_n-c|=|c-c|=0 < \varepsilon</math>|}}
::pa tou <math>n.\,</math>

:* La socesión <math>x_n:=1/n.\,</math> Esta socesión converxe a cero, pos pola [[propiedá arquimediana]] de los númberos reales, pa cada <math>\varepsilon>0</math>, exite númberu natural <math>N\,</math> tal que <math>N \varepsilon >1</math> y por tanto, si <math>n>N,\,</math> <math>1/n<1/N\,</math> y {{Ecuación|<math>|x_n-0|=|x_n|=1/n < 1/N < \varepsilon.</math>|}}

:* La socesión del exemplu anterior ye un casu particular d'una resultancia más xeneral. Dau <math>p>0,\,</math>
{{Ecuación|<math> \lim_{n\to \infty}\frac{1}{n^p}=0\, , \quad \lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{p}=1\,, \quad \lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{n}=1</math>|}}

:* Si <math>|a|<1,\,</math> entós <math>a^n \to 0.</math>

:* La socesión <math>z_n:=y^{i \pi n}\,</math>. Esta socesión nun converxe, los sos valores trémboles son <math>-1,1,-1,1,\ldots</math>

:* Por cuenta de que <math>\mathbb C</math> (en particular <math>\mathbb R</math>) ta dotáu d'una operación suma (lo que nun asocede en tou espaciu métricu), a cada socesión <math>\{a_n\}\,</math> en <math>\mathbb C</math> (en particular <math>\mathbb R</math>) ye posible acomuñar la socesión de sumes parciales
{{Ecuación|<math>s_n:=a_1+a_2+\cdots+a_n=\sum_{k=1}^{n}a_k\,.</math>|2}}

::La socesión <math>\{s_n\}\,</math> esprésase simbólicamente como {{Ecuación|<math>\sum_{k=1}^{\infty}a_k\,</math>|3}}.

::y denominar [[serie matemática|serie]] infinita. Nel casu en que la socesión de sumes parciales {{Eqnref|2}} converxa, <math>s_n \to s</math>, dizse que {{Eqnref|3}} ye una '''serie converxente''' y escríbese

{{Ecuación|<math>\sum_{k=1}^{\infty}a_k=s.\,</math>|}}

::En casu contrariu dizse que {{Eqnref|3}} ye una '''serie diverxente'''. Exemplos clásicos de series converxentes y diverxentes son

{{Ecuación|<math> \sum_{n=1}^{\infty}a^n = \frac{a}{1-a} , (|a|<1)\ , \quad \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} = \infty</math>|}}

Reparemos que la definición de converxencia diznos qu'una socesión <math>\{x_n\,\}</math> nun espaciu métricu <math>M\,</math> converxe a un <math>x\in M\,</math> si la socesión de númberos reales <math>a_n:=d(x_n,x\,)</math> converxe a cero en <math>\mathbb R</math>, i.e.,

{{Ecuación|<math> x_n \to x \ \ \mbox{en}\ M \quad \Longleftrightarrow \quad d(x_n,x) \to 0 \ \ \mbox{en}\ \mathbb R </math>
|-}

=== Llende nun espaciu métricu ===
Pa una socesión de puntos <math>\{x_n|n\in \mathbb{N}\}\;</math> nun [[espaciu métricu]] <math>\,M</math> con función de distancia <math>d\,</math> (por casu, una socesión de [[númberos racionales]], [[númberos reales]], [[númberos complexos]], puntos nun [[espaciu normado]])

:Si <math>L \in M\;</math> dizse que <math>\,L</math> ye '''la llende''' de la socesión y escríbese

::<math> L = \lim_{n \to \infty} x_n \Longleftrightarrow \forall \epsilon>0\;, \exist N \in \mathbb{N}: n>N \rightarrow d(x_n,L)<\epsilon.\; </math>

:i.e., si y solu si pa tou (hodap) númberu real <math>\epsilon>0\;</math>, esiste un [[númberu natural]] <math>\,N</math> tal que pa cada <math>n>N\,</math>, satisfaise que <math>d(x_n,L)<\epsilon.\;</math>

-->

== Exemplos ==
* Socesiones en <math>\mathbb R</math> ó <math>\mathbb C</math>
* Socesiones en <math>\mathbb R^n</math>
* Socesiones nel espaciu <math>\ell^p</math>
* Socesiones nel espaciu <math>L^2({\mathbb R}^n)</math>
* Socesiones nel espaciu de les funciones continues <math>C[a,b]\,</math>

== Tipos de converxencia ==

=== Converxencia puntual ===
El conceutu de '''converxencia puntual''' ye unu de los varios sentíos nos cualos una socesión de funciones puede converxer a una función particular.

Una socesión de funciones <math>f_n:S\to M</math> definíes nun conxuntu non vacíu <math>S\,</math> con valores nun espaciu métricu <math>(M,d\,)</math> ''converxe puntualmente'' a una función <math>f:S\to M</math> si

{{Ecuación|<math> \lim_{n\to \infty} f_n(x) = f(x)</math>|}}

pa cada <math>x\in S</math> fixu. Esto significa que

{{Ecuación|<math> \forall x\in S\quad \forall \varepsilon>0\quad \exist\, N\in \mathbb N\quad |\quad n \ge N\ \Longrightarrow\ d(f_n(x),f(x)) < \varepsilon.</math>|5}}

La socesión de funciones <math>f_n(x):=x/n\,</math> con <math>x\in [0,1]</math> converxe puntualmente a la función <math>f(x):=0\,</math> yá que

{{Ecuación|<math> \left\vert\frac{x}{n}\right\vert \le \frac{1}{n} \to 0</math>|}}

pa cada <math>x\in [0,1]</math> fixu.

=== Converxencia uniforme ===
Una socesión de funciones <math>f_n:S\to M</math> definíes nun conxuntu non vacíu <math>S\,</math> con valores nun [[espaciu métricu]] <math>(M,d\,)</math> ''converxe uniformemente'' a una función <math>f:S\to M</math> si pa tou <math>\varepsilon>0</math> esiste un enteru <math>N\,</math> (que depende de <math>\varepsilon</math>) tal que

{{Ecuación|<math> d(f_n(x),f(x)) < \varepsilon </math>|}}

pa tou <math>x\in S</math> y tou <math>n \ge N</math>. Esto ye,

{{Ecuación|<math>\forall \varepsilon>0\quad \exist\, N\in \mathbb N\quad |\quad d(f_n(x),f(x)) < \varepsilon\quad \forall x\in S\quad \forall n\ge N.</math>|6}}

El conceutu de '''converxencia uniforme''' ye un conceutu más fuerte que'l de '''converxencia puntual'''. En {{Eqnref|5}}, <math>N\,</math> puede depender de <math>\varepsilon</math> '''y''' de <math>x\,</math> ente qu'en {{Eqnref|6}}, <math>N\,</math> '''namái''' puede depender de <math>\varepsilon</math>. Asina, toa socesión que converxe uniformemente, converxe puntualmente. L'enunciáu recíprocu ye falsu, y un contraejemplo clásicu constituyir les socesión de funciones <math>f_n:[0,1]\to \mathbb R</math> definíes por <math>f_n(x) = x^n\,</math>. Esta socesión converxe puntualmente a la función

{{Ecuación|<math>f(x) = \begin{cases} 0, & \mbox{si}\quad 0\le x < 1 \\ 1, & \mbox{si}\quad x=1 \end{cases}</math>|}}

yá que

{{Ecuación|<math> |f_n(x)-f(x)| = |x^n| \to 0 \quad \mbox{si}\quad 0\le x < 1</math>|}}

ente que <math> \vert f_n(1)-f(1)\vert = 0.</math> Sicasí esta socesión nun converxe uniformemente, pos para <math>\varepsilon=1/4,</math> nun esiste un <math>N\,</math> que satisfaiga {{Eqnref|6}}.

D'especial interés ye l'espaciu de les funciones continues <math>C(\Omega)\,</math> definíes sobre un compactu <math>\Omega\subset \mathbb R^n.</math> Nesti casu, una socesión de funciones <math>f_n\in C(\Omega),\,</math> converxe uniformemente a una función <math>f\in C(\Omega),\,</math> si, y namái si, converxe na norma del sup, i.e.,

{{Ecuación|<math>f_n \stackrel{o}{\longrightarrow}\ f \quad \Longleftrightarrow \quad f_n \stackrel{
\Vert \cdot\Vert}{\longrightarrow}\ f</math>|}}

== Socesiones n'otros espacios matemáticos ==
Una socesión d'elementos <math>\{x_n\}\,</math> d'un [[espaciu métricu]] <math>(M,d\,)</math> '''converxe''' a un elementu <math>x\in M</math> si pa tou númberu <math>\varepsilon> 0,</math> esiste un enteru positivu <math>N \,</math> (que depende de <math>\varepsilon</math>) tal que

{{Ecuación|<math> n\ge N \quad \Longrightarrow \quad d(x_n,x) < \varepsilon.</math>|1}}

Intuitivamente, esto significa que los elementos <math>x_n\,</math> de la socesión pueden faese ''arbitrariamente cercanos'' a <math>x\,</math> si <math>n\,</math> ye ''abondo grande'', yá que <math>d(x_n,x\,)</math> ''determina'' la distancia ente <math>x_n\,</math> y <math>x\,</math>. A partir de la definición ye posible demostrar que si una socesión converxe, facer escontra una única llende.

La definición aplicar en particular a los [[Espaciu vectorial normado|espacios vectoriales normados]] y a los [[Espaciu prehilbertiano|espacios con productu internu]]. Nel casu d'un espaciu normado <math>(Y,\Vert \cdot\Vert),</math> la norma <math>\Vert \cdot\Vert</math> induz la métrica <math>d(x,y):=\Vert y - x\Vert</math> pa cada <math>x,y\in Y</math>; nel casu d'un espaciu con productu internu <math>(Y,\langle \cdot, \cdot\rangle),</math> el productu internu <math>\langle \cdot, \cdot\rangle</math> induz la norma <math>\Vert x\Vert = \sqrt{\langle x, x\rangle}</math> pa cada <math>x\in Y.</math>

=== Converxencia uniforme sobre compactos ===

==== Converxencia débil ====
Una socesión dizse que converxe sele a <math>x</math> o en sentíu débil si pa toa funcional llinial <math>f</math>, <math>f(x_n)</math> converxe a <math>f(x)</math>.

Por casu la serie <math>1/n</math> dende <math>n=1</math> hasta infinitu converxe sele a cero. Pos:{{ensin referencies}}
<br />
<math>\lim_{n \to \infty} f\left(\frac{1}{n}\right) = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n}\cdot f\left(\frac{1}{n}\right) = \lim_{n \to \infty} \frac{f\left(\frac{n}{n}\right)}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{f(1)}{n} = 0</math> <br />
Tou esto, pos <math>f</math> ye llinial.

=== Llende nun espaciu topolóxicu ===
{{AP| rede (matemática)}}

Una xeneralización d'esta rellación, pa una socesión de puntos <math>\{x_n|n\in \mathbb{N}\}\;</math> nun [[espaciu topolóxicu]] ''T'':

:Si <math>L\in T\;</math> dizse que ''L'' ye '''una llende''' d'esta socesión y escríbese

::<math> L = \lim_{n \to \infty} x_n </math>

:si y solu si pa tou [[Redolada (topoloxía)|redolada]] ''S'' de ''L'' esiste un númberu natural ''N'' tal que <math>x_n\in S\;</math> pa tou <math>n>N.\;</math>

De forma intuitiva, suponiendo que se tien una '''[[Socesión matemática|socesión de puntos]]''' (por casu un conxuntu infinitu de puntos numberaos utilizando los [[númberos naturales]]) en dalgún tipu d'oxetu matemáticu (por casu los [[númberos reales]] o un [[espaciu vectorial]]) qu'almite'l conceutu de '''redolada''' (nel sentíu de "tolos puntos dientro d'una cierta distancia d'un dau puntu fixu"). Un puntu ''L'' ye '''la llende de la socesión''' si pa toa redolada que se defina, tolos puntos de la socesión (cola posible esceición d'un númberu finito de puntos) tán próximos a ''L''. Esto pue ser interpretáu como si hubiera un conxuntu d'esferes de tamaños decrecientes hasta cero, toes centraes en ''L'', y pa cualesquier d'estes esferes, solo esistiera un númberu finito de númberos fora d'ella.

Ye posible tamién qu'una socesión nun [[espaciu topolóxicu]] xeneral, pueda tener delles llendes distintes,{{ensin referencies}} pero una socesión converxente tien un únicu llende si ''T'' ye un [[espaciu de Hausdorff]], por casu la [[recta real estendida|recta real (estendida)]], el [[planu complexu]], los sos subconxuntos ('''[[númberu real|R]]''', '''[[númberu racional|Q]]''', '''[[enteru|Z]]'''...) y [[productu cartesianu|productos cartesianos]] ('''R'''<sup>n</sup>...).

== Teoría de la probabilidá ==
En teoría de la probabilidá esisten distintes nociones de converxencia: converxencia de funciones medibles, converxencia en distribución y llendes de variables aleatories.

== Ver tamién ==
*[[Socesión matemática]]
*[[Serie matemática]]
*[[Serie converxente]]
*[[Orde de converxencia]]
*[[Llende d'una función]]
*[[Llende matemática]]
*[[Radio de converxencia]]

== Referencies ==
{{llistaref}}

== Enllaces esternos ==
*{{MathWorld|ConvergentSequence|Convergent Sequence}}
* [https://web.archive.org/web/20101215160108/http://maths.abdn.ac.uk/~igc/tch/ma2001/notes/node18.html Exemplos de socesiones]
{{ORDENAR:Llinde d'una sucesion}}

{{Tradubot|Límite de una socesión}}
{{control d'autoridaes}}
[[Categoría:Socesiones]]
[[Categoría:Analís real]]