Ver la fonte de Isomorfismu

{{referencies adicionales|t=20130423183000}}

En [[matemátiques]], un '''isomorfismu''' (del [[Idioma griegu|griegu]] ''iso-morfos'': Igual forma) ye un [[homomorfismo]] (o más xeneralmente un [[morfismo]]) qu'almite un inversu.<ref>{{cita llibru|autor=Awodey, Steve|capítulu=Isomorphisms|títulu=Category theory|editorial=[[Oxford University Press]]|añu=2006|isbn=9780198568612|páxina=11|url=https://books.google.com/books?id=IK_sIDI2TCwC&pg=PA11}}</ref> El conceutu matemáticu de '''isomorfismu''' pretende captar la idea de tener la mesma [[Estructura de dato|estructura]]. Dos estructures matemátiques ente les qu'esiste una rellación d'isomorfismu llámense '''isomorfes'''.

== Definición formal ==
Puede definise concisamente como un [[homomorfismo]] [[biyectivo]] tal que la so inversa ye tamién [[homomorfismo]].<ref>[http://mathworld.wolfram.com/Isomorphism.html Mathworld]</ref> Esto ye:<ref name="Definición formal">{{cita publicación|apellíu=Casanovas|nome=Y.|títulu=Teoría axomática de conxuntos|publicación=Universidá de Barcelona|añu=1998|páxines=5, 6, 7|url=http://www.ub.edu/modeltheory/documentos/T.C.pdf|fechaaccesu=23 d'abril de 2013}}</ref><ref name="propiedaes y definición">{{cita llibru|apellíos=Hrbecek|nome=Karel|títulu=Introduction to Set Theory|añu=1999|editorial=Marcel Dekker, Inc|páxines=36,58|apellíos2=Jech|nome2=Thomas|idioma=inglés}}</ref> 
{{Definición|Un '''''isomorfismu''''' ente dos conxuntos [[Rellación d'orde ordenaos]] <math style="vertical-align:-20%;">(P,\le)</math> y <math style="vertical-align:-20%;">(Q,\le')</math> ye una [[función biyectiva]] <math>\begin{array}{rrcl}h: P \to Q\\ \end{array} </math> tal que:<br /> Pa tou <math>p_1, p_2 \in P</math> tiense que <math style="vertical-align:-20%;">p_1 \le p_2</math> si y namái si <math style="vertical-align:-20%;">h(p_1) \le' h(p_2)</math>.}}

Si esiste un isomorfismu ente <math style="vertical-align:-20%;">(P,\le)</math> y <math style="vertical-align:-20%;">(Q,\le')</math>, entós <math style="vertical-align:-20%;">(P,\le)</math> y <math style="vertical-align:-20%;">(Q,\le')</math> llámense ''isomorfos'' y la biyección <math>h</math> conozse como ''isomorfismu'' ente <math style="vertical-align:-20%;">(P,\le)</math> y <math style="vertical-align:-20%;">(Q,\le')</math>. Amás, <math>P</math> y <math>Q</math> llámense '''''similares''''' ente sigo.<ref name="Definición formal" /><ref>{{cita llibru|apellíu=Hernández Hernández|nome=Fernando|títulu=Teoría de conxuntos: Una introducción|añu=1998|editorial=Sociedá Matemática Mexicana|páxines=84,85}}</ref> 

Si <math>P=Q</math> dizse que l'isomorfismu ye un '''''[[automorfismo]]'''''. Puede demostrase que dau un [[conxuntu bien ordenáu]] l'únicu automorfismo posible ye la [[función identidá]].<ref name="propiedaes y definición" />

== Propiedaes nos órdenes totales ==

Los isomorfismos en conxuntos [[Orde total|linealmente ordenaos]] cumplen la [[Rellación reflexiva|reflexividá]], la [[Rellación simétrica|simetría]] y la [[Rellación transitiva|transitividá]], esto ye:<ref name="propiedaes y definición" />
{{Teorema|Sían <math style="vertical-align:-20%;">(A,\le)</math>, <math style="vertical-align:-20%;">(B,\le')</math> y <math style="vertical-align:-20%;">(C,\le'')</math> conxuntos linealmente ordenaos, depués:<br />
*<math style="vertical-align:-20%;">(A,\le)</math> ye isomorfu a <math style="vertical-align:-20%;">(A,\le)</math>.
*Si <math style="vertical-align:-20%;">(A,\le)</math> ye isomorfu a <math style="vertical-align:-20%;">(B,\le')</math>, entós <math style="vertical-align:-20%;">(B,\le')</math> ye isomorfu a <math style="vertical-align:-20%;">(A,\le)</math>.
*Si <math style="vertical-align:-20%;">(A,\le)</math> ye isomorfu a <math style="vertical-align:-20%;">(B,\le')</math> y de la mesma, <math style="vertical-align:-20%;">(B,\le')</math> ye isomorfu a <math style="vertical-align:-20%;">(C,\le'')</math> entós <math style="vertical-align:-20%;">(A,\le)</math> ye isomorfu a <math style="vertical-align:-20%;">(C,\le'')</math>.
}}

== Historia y conceutu ==
Nel [[sieglu XX]] precisóse en [[matemátiques]] la noción intuitiva d'estructura, siguiendo la concepción d'[[Aristóteles]] de la materia y la forma, según la cual cada estructura ye un [[conxuntu]] X dotáu de ciertes operaciones (como la suma o'l productu) o de ciertes rellaciones (como una [[rellación d'orde|ordenación]]) o ciertos subconxuntos (como nel casu de la [[topoloxía]]), etc. Nesti casu, el conxuntu X ye la materia y les operaciones, rellaciones, etc., nél definíes, son la forma.

El descubrimientu de [[Platón]] de que la forma ye lo qu'importa recoyer en matemátiques col conceutu d'isomorfismu. Una [[Función (matemática)|aplicación]] f:X→Y ente dos conxuntos dotaos del mesmu tipu d'estructura ye un isomorfismu cuando cada elementu de Y provién d'un únicu elementu de X y f tresforma les operaciones, rellaciones, etc., qu'hai en X nes qu'hai en Y. Cuando ente dos estructures hai un isomorfismu, dambes son indistinguibles, tienen les mesmes propiedaes, y cualquier enunciáu ye simultáneamente ciertu o falsu. Por eso en matemátiques les estructures tienen de clasificase ''[[Salvu (matemátiques)|salvu]] isomorfismos''.

Nel sieglu XX el biólogu y filósofu de la ciencia austriacu, [[Ludwig von Bertalanffy]], recuperó esti conceutu como elementu na formulación de la so [[Teoría de sistemes|Teoría xeneral de sistemes]]. Pa esti autor esistíen una serie de coincidencies na evolución de los procesos que se lleven a cabu en distintos campos de la conocencia (la bioloxía, la demografía, la física, la sociedá, etc.) a les que denominó isomorfismu.<ref>{{cita llibru|apellíos=Von Bertalanfffy|nome=Ludwing|enllaceautor=|títulu=Teoría Xeneral de los Sistemes|url=|fechaaccesu=|añu=2009|editorial=Fondu de Cultura Económica|isbn=978-968-16-0627-5|editor=|ubicación=|páxina=82-88|idioma=|capítulu=}}</ref> Resultaba importante pal planteamientu de la nueva teoría, por cuenta de que «l'isomorfismu topáu ente distintos terrenes fundir na esistencia de principios xenerales de sistemes, d'una teoría xeneral de los sistemes más o menos bien desenvuelta».<ref>{{cita llibru|apellíos=Von Bertalanffy|nome=Ludwing|enllaceautor=|títulu=Teoría Xeneral de los Sistemes|url=|fechaaccesu=|añu=2009|editorial=Fondu de Cultura Económica|isbn=|editor=|ubicación=|páxina=86|idioma=|capítulu=}}</ref>

== Isomorfismu parcial ==

Ta definíu por:<ref name="propiedaes y definición" />
{{Definición|Un '''''isomorfismu parcial''''' ente dos conxuntos ordenaos <math style="vertical-align:-20%;">(P,\le)</math> y <math style="vertical-align:-20%;">(Q,\le')</math> ye una [[función biyectiva]] <math>\begin{array}{rrcl}h: X \to Q\\ \end{array} </math> con <math>X \subseteq P</math> tal que pa tou <math>p_1, p_2 \in X</math> tiense que: <math style="vertical-align:-20%;">p_1 \le p_2</math> si y namái si <math style="vertical-align:-20%;">h(p_1) \le' h(p_2)</math>.}}

== Exemplos d'isomorfismos ==
Por casu, si X ye'l conxuntu de los númberos reales positivos col productu y Y ye'l conxuntu de los númberos reales cola suma, la [[logaritmo|función logarítmica]] ln:X→Y ye un isomorfismu, porque <math>\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)</math> y cada númberu real ye'l llogaritmu d'un únicu númberu real positivu. Esto significa que cada enunciáu sobre'l productu de [[númberos reales]] positivos tien (ensin más que sustituyir cada númberu pol so llogaritmu) un enunciáu equivalente en términos de la suma de númberos reales, que suel ser más simple.

Otru exemplu: si nel espaciu Y escoyemos una unidá de llargor y tres eje mutuamente perpendiculares qu'alleguen nun puntu, entós a cada puntu del espaciu podemos acomuñar los sos trés coordenaes cartesianes, llogrando asina una aplicación f:Y→R³ nel conxuntu de les socesiones de tres númberos reales. Cuando en Y consideramos la distancia que define la unidá de llargor fitu y en R³ consideramos la distancia que define'l raigañu cuadráu de la suma de los cuadraos de les diferencies, f ye un isomorfismu. Esti descubrimientu fundamental de [[René Descartes|Descartes]] dexa enunciar cualquier problema de la xeometría del espaciu en términos de socesiones de tres númberos reales, y esti métodu d'encetar los problemes xeométricos ye'l nucleu de la llamada [[xeometría analítica]].{{ensin referencies}}

== Carauterístiques del isomorfismu ==
El descubrimientu d'un isomorfismu ente dos estructures significa esencialmente que l'estudiu de caúna puede amenorgase al de la otra, lo que nos da dos puntos de vista distintes sobre cada cuestión y suel ser esencial na so fayadiza comprensión. Tamién significa una [[analoxía]] como una forma d'[[Inferencia#Inferencia l.C3.B3gica|inferencia lóxica]] basada na asunción de que dos cuesas son la mesma en dellos aspeutos, aquellos sobre los que ta fecha la comparanza. En [[ciencies sociales]], un isomorfismu consiste na aplicación d'una llei análoga por non esistir una específica o tamién la comparanza d'un sistema biolóxicu con un sistema social, cuando se trata de definir la pallabra "sistema". Ser igualmente la imitación o copia d'una estructura tribal nun hábitat con estructura urbana.

== Los morfismos ==
Los isomorfismos d'una estructura consigo mesma de manera biyectiva denominar [[Automorfismo|automorfismos]].<ref>{{cita web
|url=http://mathworld.wolfram.com/Automorphism.html
|títulu=Automorphism - from Wolfram MathWorld <!--Xeneráu por Muriu Bot. Puedes ayudar a rellenar esta plantiya-->
|fechaaccesu=2009
|autor=
|enllaceautor=
|idioma=
}}</ref>

Polo xeneral, nuna categoría arbitraria, los isomorfismos definir por ser los morfismos f:X→Y que almiten un morfismo inversu h:Y→X, inversu tantu pela derecha como pela esquierda. Pueden nun ser los morfismos biyectivos, como yá asocede nel casu de los espacios topolóxicos.

== Diagrama de fases isomorfos ==
Una fase puede definise como cualquier porción, incluyendo'l total, d'un sistema'l cual ye físicamente homoxéneu dientro de sigo mesmu y delitimado por una superficie que lo dixebra de cualesquier otra porción. Una diagrama de fases amuesa les fases y les sos composiciones a cualquier combinación de temperatura y composición de l'aleación. Les diagrames de fases isomorfos atopar en dellos sistemes metálicu y cerámicu. Nestes diagrames namái se forma una fase sólida y los dos componentes nel sistema amuesen solubilidá sólida completa. Dellos exemplos d'estes diagrames seríen los sistemes de cobre-níquel y de NiO-MgO.

== <ref>{{cita llibru|apellíos=R. Askeland|nome=Donald|enllaceautor=|títulu=Ciencies ya Inxeniería de los Materiales|url=|fechaaccesu=|añu=2012|editorial=CENGAGE Learning|isbn=|editor=|ubicación=|páxina=387|idioma=|capítulu=}}</ref>Referencies ==
{{llistaref}}




{{Tradubot|Isomorfismo}}

{{control d'autoridaes}}
[[Categoría:Álxebra]]
[[Categoría:Teoría de categoríes]]
[[Categoría:Teoría de conxuntos]]