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La '''fórmula d'Euler''' o '''rellación d'Euler''', atribuyida a [[Leonhard Euler]], establez el teorema, nel que:

:<math>e^{i x} = \cos x + i\,\sen x</math>

pa tou [[númberu real]] ''x'', que representa un ángulu nel [[planu complexu]]. Equí, ''e'' ye la [[númberu e|base del llogaritmu natural]], ''i'' ye la [[unidá imaxinaria]], <math>\sen x</math> y <math>\cos x</math> son les [[trigonometría|funciones trigonométriques]] [[senu (trigonometría)|senu]] y [[cosenu]].

== Historia ==

[[Roger Cotes]] afayó en [[1714]] la rellación ente les funciones trigonométriques y el llogaritmu,

:<math> ix = \ln (\cos x + i\sen x ) </math>

y foi publicada na so obra póstuma ''Harmonia mensurarum'' (1722), 20 años primero que lu fixera [[Leonhard Euler]]. Euler desenvolvió la fórmula utilizando la función esponencial en vegada del llogaritmu y comunicar nuna carta unviada a [[Christian Goldbach]] en [[1741]], siendo publicada y popularizada na so obra ''Introductio in analysin infinitorum'' en [[1748]]. Ye interesante notar que nengún de los descubridores vio la interpretación xeométrica señalada enantes: la visión de los númberos complexos como puntos nel planu surdió en 1787 per parte del matemáticu [[Caspar Wessel]] nel so únicu informe pa la Real Academia Danesa. 

Un sieglu más tarde B. Peirce concluyó la deducción de la fórmula delantre de los sos alumnos, diciendo: "Caballeros, con seguridá esta fórmula ye cierta , anque-yos paeza paradóxica..."<ref>N.V. Alexándrova. ''Diccionariu Históricu de notaciones, términos y conceutos de les matemátiques'' ISBN 978-5-396-00676-8, distribuyir nel Perú.</ref>

==Potencia complexa de y==
O bien se suel espresar como:

:<math>e^{z} = e^{x + i y} =e^{x}(\cos y + i\,\sen\,y)</math>

siendo <math>z</math> la variable complexa definida por <math>z=x+iy</math>

===Demostración ===
Nótese qu'esta nun ye una demostración basada nes propiedaes de los númberos complexos y de la [[función esponencial]], sinón que ye necesaria la definición de la esponencial complexa como l'equivalente a la serie de Taylor sobre los [[númberu real|númberos reales]] pa parámetros complexos.

La fórmula puede interpretase geométricamente como una [[circunferencia unidá]] nel [[planu complexu]], dibuxada pola función ''e''<sup>''ix''</sup> al variar <math>x</math> sobre los [[númberu real|númberos reales]]. Asina, <math>x</math> ye'l [[ángulu]] d'una recta que coneuta l'orixe del planu y un puntu sobre la [[circunferencia unidá]], cola exa positiva real, midíu en sentíu contrariu a les manes del reló y en radianes. La fórmula namái ye válida si tamién el senu y el cosenu tienen los sos argumentos en [[radián|radianes]]. 

=== Demostración usando les Series de Taylor ===
[[Ficheru:Euler's formula.svg|thumb|300px|La fórmula d'Euler ilustrada nel [[planu complexu]].]]
Sabiendo que:

: <math>\begin{align}
i^0 &{}= 1, \quad &
i^1 &{}= i, \quad &
i^2 &{}=-1\quad &
i^3 &{}= -i, \\
i^4 &={} 1, \quad &
i^5 &={} i, \quad &
i^6 &{}= -1, \quad &
i^7 &{}= -i, \\
\end{align}</math>

y asina socesivamente. Amás d'esto, les funciones [[función esponencial|''e''<sup>''x''</sup>]], cos(''x'') y sen(''x'') (asumiendo que ''x'' seya un [[númberu real]]) pueden ser espresaes utilizando los sos [[Serie de Taylor|series de Taylor]] alredor de cero.

: <math> \begin{align}
 e^x &{}= \frac{x^0}{0!} + \frac{x^1}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots \\
 \cos x &{}= \frac{x^0}{0!} - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots \\
 \sin x &{}= \frac{x^1}{1!} - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots
\end{align}</math>
Otra definición que se-y puede dar a <math>e^x</math> basándose nes [[Serie de Taylor|series de Taylor]] ye la siguiente:

: <math>e^x=\biggl(\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}\biggr)</math>
también válido para:
: <math>\cos x=\biggl(\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k x^{2k}}{(2k)!}\biggr)</math>
: <math>\sin x=\biggl(\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k x^{2k+1}}{(2k+1)!}\biggr)</math>

''Definimos'' caúna d'estes funciones poles series anteriores, remplazando ''x'' por ''i·z'', onde ''z'' ye una variable real y ''i'' la unidá imaxinaria. Esto ye posible porque'l [[radio de converxencia]] ye infinitu en cada serie. Entós atopamos que:

: <math>\begin{align}
 e^{iz} &{}= \frac{(iz)^0}{0!} + \frac{(iz)^1}{1!} + \frac{(iz)^2}{2!} + \frac{(iz)^3}{3!} + \frac{(iz)^4}{4!} + \frac{(iz)^5}{5!} + \frac{(iz)^6}{6!} + \frac{(iz)^7}{7!} + \frac{(iz)^8}{8!} + \cdots \\
 &{}= \frac{z^0}{0!} + i\frac{z^1}{1!} - \frac{z^2}{2!} - i\frac{z^3}{3!} + \frac{z^4}{4!} + i\frac{z^5}{5!} - \frac{z^6}{6!} - i\frac{z^7}{7!} + \frac{z^8}{8!} + \cdots \\
 &{}= \left( \frac{z^0}{0!} - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \frac{z^6}{6!} + \frac{z^8}{8!} - \cdots \right) + i\left( \frac{z^1}{1!} - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \frac{z^7}{7!} + \cdots \right) \\
 &{}= \cos (z) + i\sin (z)
\end{align}</math>

El reordenamientu ye posible por cuenta de que cada serie ye [[converxencia absoluta|absolutamente converxente]]. Remplazando ''z'' = ''x'' como un númberu real resulta na identidá orixinal tal como la afayó Euler.

== Relevancia matemática ==
La fórmula apurre una potente conexón ente l'[[analís matemáticu]] y la [[trigonometría]]. Utilizar pa representar los númberos complexos en [[coordenaes polares]] y dexa definir el [[llogaritmu]] pa númberos negativos y númberos complexos.

===Llogaritmu d'un númberu negativu===
Nesti casu, la fórmula d'Euler ye evaluada en <math>x=\pi</math> , llogrando la [[identidá d'Euler]]:

:<math>e^{\mathrm{i}\pi} = \cos \pi+ \mathrm{i}\,\sen \pi=-1 </math> 
:<math>e^{\mathrm{i}\pi} =-1 \,\!</math>

Depués, al aplicar el llogaritmu natural llógrase:
:<math>\mathrm{i}\pi =\ln (-1) \,\!</math>.

===Llogaritmu d'un númberu negativu cualesquier===
Como estensión de la ecuación anterior, el llogaritmu de cualquier númberu negativu defínese como:

:<math>\ln (-a) = \ln (a) + \ln (-1) = \ln (a) + \mathrm{i}\pi \,\!</math>. Onde <math>a>0</math>.

Amás puede definise'l llogaritmu d'un númberu negativu en cualquier base, a partir del llogaritmu natural y la [[Logaritmo#Eleición y cambéu de base|fórmula de cambéu de base]].

=== Integración y derivación ===
Una propiedá importante de la fórmula d'Euler ye que ye la única función matemática que permanez cola mesma forma (sacante pola unidá imaxinaria) coles operaciones d'integración y derivación del cálculu integral, lo que dexa que s'utilice pa convertir ecuaciones diferenciales n'ecuaciones con forma alxebraica, simplificando descomanadamente eses operaciones.

De les regles de la [[exponenciación]] 
: <math>e^{a + b} = e^a \cdot e^{b}</math>
y
: <math>(e^a)^b = e^{a \cdot b}</math>
(válides pa tou par de númberos complexos <math>a</math> y <math>b</math>), pueden derivase delles [[identidaes trigonométriques]], según la [[fórmula de De Moivre]]. 

=== Funciones trigonométriques ===
La fórmula d'Euler tamién dexa interpretar funcionar senu y cosenu como meres variaciones de la función esponencial:

: <math>\cos x = {e^{ix} + e^{-ix} \over 2}</math>
: <math>\sen x = {e^{ix} - e^{-ix} \over 2i}</math>
A partir d'estes igualdaes, ye posible definir les funciones trigonométriques pa los númberos complexos d'esta miente:<ref>{{Cita web|url=https://www.ugr.es/~dpto_am/docencia/Apuntes/Calculo_avanzáu_Caminos.pdf|títulu=Apuntes de Cálculu avanzáu|fechaaccesu=18 d'abril de 2016|autor=|enllaceautor=|apellíu=Alaminos Prats|nome=Jerónimo|fecha=15 d'ochobre de 2012|idioma=|sitiuweb=|editorial=Departamentu d'Analís Matemáticu de la Universidá de Granada}}</ref>

:<math>\sen z=\cfrac {e^{zi}-e^{-zi}}{2i}</math>

:<math>\cos z=\cfrac {e^{zi}+e^{-zi}}{2}</math>

:<math>\tan z=\cfrac {e^{zi}-e^{-zi}}{e^{zi}+e^{-zi}}\cdot\cfrac{1}{i}</math>

siendo <math>z \in \mathbb {C}</math>, esto ye, que pertenez al conxuntu de númberos complexos. Estes funciones trigonométriques cumplen les lleis de los sos similares aplicaes a los númberos reales. Sean los númberos complexos <math>z</math> y <math>w</math>, ye dicir <math>z \land w \in \mathbb {C}</math>, entós son válides les siguientes igualdaes:

:<math>\cos^2{z}+\sen^2{z}=1</math>

:<math>\cos(-z)=\cos(z)</math>

:<math>\sen(-z)=-\sen(z)</math>

:<math>\sen(z+w)=\sen(z)\cos(w)+\sen(w)\cos(z)
</math>

:<math>\cos(z+w)=\cos(z)\cos(w)-\sen(w)\sen(z)</math>

=== Ecuaciones diferenciales ===
Nes [[ecuación diferencial|ecuaciones diferenciales]], la espresión <math>e^{ix}</math> ye utilizada de cutiu pa simplificar derivaes, inclusive si la respuesta final ye una [[función matemática|función real]] na qu'apaezan senos o cosenos. La [[identidá d'Euler]] ye una consecuencia inmediata de la fórmula d'Euler.

=== Analís de señales ===
Les señales que varien dacuando suelen describise como una combinación de funciones seno y cosenu, como asocede nel [[analís de Fourier]], y estes son espresaes más convenientemente como la parte real d'una [[función esponencial]] con esponente imaxinariu, utilizando la fórmula d'Euler.

== Ver tamién ==
* [[Númberu complexu]]
* [[Planu complexu]]
* [[Analís de Fourier]]
* [[Número π|Pi]]

== Referencies ==
{{llistaref}}

== Enllaces esternos ==
* {{springer|títulu=Euler formules|id=Euler_formules&oldid=14630}}
* {{MathWorld|EulerFormula|Euler Formula}}

{{Tradubot|Fórmula de Euler}}

[[Categoría:Trigonometría]]