Ver la fonte de Ecuación de segundu grau

[[Ficheru:Ecuación cuadrática.svg|miniatura|250px]]

Una '''ecuación de segundu grau'''<ref>{{springer|títulu=Ecuación cuadrática|id=Quadratic_equation&oldid=14167}}</ref><ref>{{MathWorld|QuadraticEquation|Ecuación cuadrática}}</ref> o '''ecuación cuadrática d'una variable''' ye una [[ecuación]] que tien la forma d'una suma alxebraica de términos que'l so grau máximu ye dos, esto ye, una ecuación cuadrática pue ser representada por un [[polinomiu]] de [[cuadráu (álxebra)|segundu grau]] o polinomiu cuadrático. La espresión canónica xeneral d'una ecuación cuadrática d'una variable ye:

{{ecuación|<math>ax^2 + bx + c = 0,\;\;\mbox{onde}\;a\neq 0 </math>}}

onde ''x'' ye la [[Variable (matemátiques)|variable]], y ''a'', ''b'' y ''c'' constantes; ''a'' ye'l [[Coeficiente (matemátiques)|coeficiente]] cuadrático (distintu de 0), ''b'' el coeficiente llinial y ''c'' ye'l términu independiente. Esti polinomiu puede interpretase por aciu la [[Gráfica d'una función gráfica]] d'una [[función cuadrática]], esto ye, por una [[Parábola (matemática)|parábola]]. Esta representación gráfica ye útil, porque les interseiciones o puntu tanxencial d'esta gráfica, nel casu d'esistir, col [[exa de les ascises|exa X]] coinciden coles soluciones reales de la ecuación.

== Historia ==
Les ecuaciones de [[cuadráu (álxebra)|segundu grau]] y el so [[resolución d'ecuaciones|solución de les ecuaciones]] conocer dende l'antigüedá. En [[Babilonia]] conociéronse [[algoritmu|algoritmos]] pa resolvela. Foi atopáu independientemente n'otros llugares del mundu. En [[Grecia]], el matemáticu [[Diofanto d'Alexandría]] apurrió un procedimientu pa resolver esti tipu d'ecuaciones (anque'l so métodu namái apurría una de les soluciones, inclusive nel casu de que los dos soluciones sían positives). La primer solución completa desenvolver el matemáticu [[Al-Juarismi]] (o Al-Khwarizmi según otres grafíes), nel sieglu IX nel so trabayu ''[[Compendiu de cálculu por reintegración y comparanza]]'', cerrando con ello un problema que s'escorriera mientres sieglos. Basándose nel trabayu d'Al-Juarismi, el matemáticu xudeoespañol [[Abraham bar Hiyya]], nel so ''[[Liber embadorum]]'', alderica la solución d'estes ecuaciones.{{ensin referencies}}
Hai qu'esperar a [[Évariste Galois]] pa consiguir resolver polo xeneral les ecuaciones polinómiques, o saber cuándo son irresolubles por radicales, que vien ser una xeneralización de los métodos de resolución de les ecuaciones de segundu grau.

La primera gran dificultá pudo surdir na solución d'ecuaciones cuadráticas dar cola ecuación <math> x^2 - 2 = 0 </math> na dómina de los pitagóricos, al calcular el llargor de la diagonal d'un cuadráu de llau 1 una y bones non podía espresase la raíz cuadrada de dos como razón de dos númberos enteros.<ref>Hoffmann. Historia de la matemática</ref>

Na Renacencia al resolver <math> x^2 + 1 = 0 </math> que rique topar un númberu real que'l so cuadráu seya -1, superar cola adopción de númberos imaxinarios y la definición de la unidá imaxinaria '''i''' que cumple <math> i^2 = -1</math>.<ref>Birkhoff- Mac Lane. Álxebra moderna</ref><ref>Otto Bekken. Una curtia hestoria de la álxebra</ref>

== Ecuación completa de segundu grau ==
Pa una ecuación cuadrática con coeficientes [[Númberu real|reales]] o [[Númberu complexu|complexos]] esisten siempres dos soluciones, non necesariamente distintes, llamaes [[raíz d'una función|raices]], que pueden ser reales o complexes (si los coeficientes son reales y esisten dos soluciones non reales, entós tienen de ser complexes conxugaes). Fórmula xeneral pal llogru de raigaños:

{{ecuación|
<math>x = \frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}</math>
||left}}

Usar pa indicar los dos soluciones:

:{|
|-
|<math>x_1 = \frac{-b + \sqrt {b^2-4ac}}{2a}</math>
| style="width:100px" align="center" | y
|<math>\ x_2 = \frac{-b - \sqrt {b^2-4ac}}{2a}</math>
|}

{{Demostración|títulu=Deducción de la solución|1=
La deducción de la fórmula cuadrática provién de la fórmula de [[completar el cuadráu]]:

La ecuación canónica de segundu grau puede simplificase estremando pol coeficiente principal, de forma
que {{ecuación|
<math>ax^2+bx+c=0 \ \Leftrightarrow \ x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0</math>
||left}}
Pa simplificar la demostración, asumir que <math> m = \frac{b}{a}</math> y <math> n = \frac{c}{a}</math>:

Dende la ecuación
:: <math> x^2+mx+n=0 \,</math>

Pasando'l términu <math>n</math> a la derecha:
:: <math> x^2 + mx = -n \,</math>

Sumando <math> \frac{m^2}{4}</math> a entrambos llaos de la ecuación pa completar cuadraos:
:: <math>x^2+mx+\frac{m^2}{4}=\frac{m^2}{4}-n</math>

Simplificamos el primer miembru a un binomiu cuadráu ::
<math> \left( x+\frac{m}{2} \right)^2=\frac{m^2}{4}-n</math>

Estrayendo la raíz cuadrada a los dos miembros
:: <math> x+\frac{m}{2} = \pm \sqrt{\frac{m^2}{4}-n}</math>

Aisllando <math>x\,</math> y simplificando la fracción de la raíz ::
<math>x = -\frac{m}{2}\pm \sqrt{\frac{m^2 - 4n}{4}}</math>

Simplificando a común denominador
:: <math>x = \frac{-m \pm \sqrt{m^2-4n}}{2}</math>

si desfaemos el cambéu de variables, llogramos la resultancia ::
<math> x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac} }{ 2a } </math>

La demostración ensin [[cambéu de variable]]s puede vese equí:

* Partimos de la nuesa ecuación simplificada:
:: <math>x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0</math>

* Pasamos al otru términu <math>\frac{c}{a}</math>: 
:: <math> x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a} </math>

* Sumamos <math> \frac{b^2}{4 a^2}</math> pa llograr un binomiu desenvueltu: 
:: <math> x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4 a^2} = \frac{b^2}{4 a^2} - \frac{c}{a}</math>

* El trinomiu a la izquierda ye un cuadráu perfectu; simplificando a común denominador el segundu miembru:
:: <math> \, \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}</math>

Estrayendo les 2 posibles raigaños cuadraos, llogramos:
:: <math> x + \frac{b}{2a} = \pm \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}}</math>

Moviendo <math>\frac{b}{2a}</math> y aplicando la raíz al denominador:
:: <math> x = -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}</math>

Simplificando a común denominador:
:: <math>x = \frac{ -b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} </math>
}}

=== Discriminante ===
[[Ficheru:Quadratic equation discriminant.png|260px|miniatura]]
Exemplu del signu del [[discriminante]]:
<br /><span style="color:#FFE600">■</span> <math>\Delta < 0</math>: dos raices complexes conxugaes.
<br /><span style="color:#bc1e47">■</span> <math>\Delta = 0</math>: una raíz real, pero de ([[multiplicidá]] 2).
<br /><span style="color:#0081cd">■</span> <math>\Delta > 0</math>: dos raices reales distintes.
Na fórmula anterior, la espresión dientro de la [[raíz cuadrada]] recibe'l nome de '''''[[discriminante]]''''' de la ecuación cuadrática. Suel representase cola lletra ''D'' o bien cola lletra griega '''Δ''' ([[Δ|delta]]) en mayúscula:

<center><math>\Delta = b^2 - 4ac.\,</math></center>

Una ecuación cuadrática con coeficientes ''reales'' tien o bien dos soluciones reales distintes o una sola solución real de [[multiplicidá]] 2, o bien dos raíz complexes. El discriminante determina la [[Naturaleza|índole]] y la [[cantidá]] de raigaños.

* Si <math>\Delta > 0</math> hai dos soluciones reales y distintos (la parábola crucia dos veces la exa de les ascises: X):
:: <math>\frac{-b + \sqrt {\Delta}}{2a} \quad\text{y}\quad \frac{-b - \sqrt {\Delta}}{2a}</math>.

* Si <math>\Delta = 0</math> hai una solución real ''doble'' (la parábola solo toca nun puntu a la exa de les ascises: X):
::<math>-\frac{b}{2a} . \,\!</math>

* Si <math>\Delta < 0</math> hai dos soluciones complexes [[Álxebra|conxugaes]] (la parábola nun corta a la exa de les ascises: X):
:: <math> \frac{-b}{2a} + i \frac{\sqrt {-\Delta}}{2a}, \quad\text{y}\quad \frac{-b}{2a} - i \frac{\sqrt {-\Delta}}{2a},</math>
:onde ''i'' ye la [[unidá imaxinaria]].

== Forma amenorgada de la ecuación completa ==
Cuando'l términu principal ye 1 la espresión queda como <math> x^2 + px + q =0 </math> que les sos raigaños son:

{{Ecuación|<math> x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{ \frac{p^2}{4} -q} </math>}}

== Ecuaciones incompletes ==
=== Ensin términu independiente ===
Son de la forma:

{{Ecuación|<math> ax^2+ bx = 0</math>, que les sos raigaños son <math> x_1 = 0; x_2 = \frac{-b}{a}</math>}}

=== Ensin términu llinial ===
Son de la forma <math> ax^2+ c = 0</math>, que les sos raigaños son reales opuestos o imaxinarios puros opuestos.

{{Ecuación|Si <math> \frac {-c}{a} > 0</math> los raigaños son reales: <math>x_1= \sqrt {\frac {-c}{a}}</math> o <math> x_2 = -\sqrt {\frac {-c}{a}} </math>|}}

{{Ecuación|Si <math> \frac {-c}{a} < 0</math> los raigaños son imaxinaries pures: <math>x_1= i\sqrt {\frac {c}{a}}</math> o <math> x_2 = -i\sqrt {\frac {c}{a}} </math>|}}

=== Solo'l términu de segundu grau ===
{{Ecuación| <math> ax^2 = 0</math> que la so raíz doble ye igual a 0}}

== Completa con coeficiente llinial par ==
Nesti casu apaez como coeficiente del términu de primer grau un númberu par ''2m'' y la ecuación ye {{Ecuación|<math> ax^2 + 2mx + n =0 </math>}}, siendo los raigaños {{Ecuación|<math> x_{1,2} = \frac{-m \pm \sqrt{m^2 - an}}{a} </math>}}

== Completa amenorgada con coeficiente llinial par ==
Nesti casu'l coeficiente principal ye 1; el coeficiente llinial ye par y asume formar {{Ecuación|<math> x^2 + 2mx + n =0 </math>}} que les sos raigaños son {{Ecuación|<math> x_{1,2} = -m \pm \sqrt{m^2 -n} </math>}}

== Ecuación bicuadrada ==
Éstes son un casu particular de la [[ecuación de cuartu grau]]. Fálten-yos los términos a la tercera y a la primer potencia. La so forma polinómica ye:
:<math> ax^4 + {bx^2}^{} + c = 0 </math>

Pa resolver estes ecuaciones tan solo hai que faer el [[cambéu de variable]] <math> {x^2}^{}=o</math> <br />
Colo que nos queda: <math> {au^2}^{} + bu + c = 0 </math>
La resultancia resulta ser una ecuación de segundu grau que podemos resolver usando la fórmula: 
<center><math> o_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}, \qquad
o_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math></center>

Al desfaer el cambéu de variable apaecen los cuatro soluciones:

:<math> x_1 = +\sqrt{o_1}</math>
:<math>x_2 = -\sqrt{o_1}</math>
:<math>x_3 = +\sqrt{o_2}</math>
:<math>x_4 = -\sqrt{o_2} </math>

=== Ecuación bicuadrada simétrica ===
Una ecuación bicuadrada simétrica asume la forma:<ref>{{cita llibru | apellíu=Tsipkin | nome = A.G. | títulu = Manual de matemátiques pa la enseñanza media | añu = 1985 | editorial = Mir | ciudad = Moscú}}</ref> {{Ecuación| <math>\alpha x^4 + \beta x^2 + \alpha = 0 </math>|}}

=== Teorema de Cardano-Vieta ===
Partiendo de que tenemos una ecuación cuadrática con raigaños <math>x_1 , x_2 \, </math>, podemos construyir el binomiu a partir d'estes con:
: <math> (x - x_1) \cdot (x - x_2) = 0 \,</math>
: <math> x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 x_2 = 0\,</math>
: <math> a x^2 - a (x_1 + x_2)x + a x_1 x_2 = 0\,</math>
: <math> a x^2 +bx + c = 0\,</math>

De lo que se deduz:

'''Suma de raigaños'''

{{Demostración|títulu=<math> x_1 + x_2 = - \frac{ b }{ a } \, </math>|1=
''Demostración a partir de Cardano Vieta''
* Partiendo d'igualar los términos del mesmu grau :
<math> - a (x_1 + x_2)x = bx \, </math>
* Esténase la suma y estrémase por x
: <math> (x_1 + x_2) = - \frac{ b }{ a } \, </math>
}}

'''Productu de raigaños'''
{{Demostración|títulu=<math> x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \, </math>|1=
''Demostración a partir de Cardano Vieta''
* Partiendo d'igualar los términos del mesmu grau :
<math> a x_1 x_2 = c \, </math>
* Esténase'l productu de raigaños:
: <math> x_1 x_2 = \frac{ c }{ a } \, </math>
}}

'''Observación''':

{{Demostración|títulu=<math> (x_1+x_2)^2-(x_1-x_2)^2=4(x_1 \cdot x_2) \, </math>|1=
Desenvolviendo los binomios:
: <math> x_1^2 + 2 x_1 x_2 + x_2^2 - (x_1^2 - 2 x_1 x_2 + x_2^2) \, </math>
* Onde finalmente queda:
: <math> 4 x_1 x_2 \, </math>
}}
<math>x_1^2+x_2^2 = {b^2-2ac \over a^2}</math>

==== Rellación ente la fórmula xeneral y la proporción áurea ====
solo na solución positiva si na fórmula xeneral el valor de les variables ye'l siguiente o se presenta'l siguiente casu en que

<math>a=1,b=-1,c=b 
</math>

entós la fórmula xeneral va dar como resultáu'l [[númberu áureo]] 

<math>\frac{-(-1)+\sqrt{(-1)^2-4(1)(-1)}}{2(1)}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\varphi</math>

== Ver tamién ==
* [[Completar el cuadráu]]
* [[Función cuadrática]]
* [[Ecuación de tercer grau]]
* [[Ecuación de cuartu grau]]
* [[Ecuación de quintu grau]]

== Referencies ==
{{llistaref}}

=== Enllaces esternos ===
{{Wikibooks|Ecuación cuadrática}}
* [http://www.ematematicas.net/ecsegundogrado.php Ecuaciones de segundu grau y bicuadradas]. ''Exercicios de matemátiques''.
* [http://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/ecuaciones-cuadraticas.html Ecuaciones cuadráticas]. ''Esfruta les matemátiques'', Pierce, Rod.
* [http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Ecuacion_de_segundu_grau/index.htm La ecuación de segundu grau, en refugues.cnice.mec.es]
* {{Enllaz rotu|1=Videu esplicativu de la ecuación cuadrática |2=http://audiovisuales.uned.ac.cr/mediateca/videos/146/ecuaci%C3%B3n-cuadr%C3%A1tica-%28ecuaciones-de-segundu-grau%29 |date=August 2024 |bot=InternetArchiveBot }}
* [http://www.elektro-energetika.cz/calculations/kvadrov.php?language=espanol Calculadora Ecuación de segundu grau]



{{Tradubot|Ecuación de segundo grado}}

[[Categoría:Álxebra elemental]]
[[Categoría:Ecuaciones alxebraiques|Ecuación de 2º grau]]