Ver la fonte de Distribución normal

{{Ficha de distribución de probabilidá |nome =Distribución
normal
|pdf_image = [[Ficheru:Normal distribution pdf.png|325px]]<br /><small>La llinia verde correspuende a la distribución normal estándar</small>
|cdf_image = [[Ficheru:Normal distribution cdf.png|325px]]
|parámetros = <math>\mu \in\mathbb{R} \,\!</math>
 <math>\sigma > 0 \,\!</math>
|dominiu = <math>x \in\mathbb{R} \,\!</math>
|pdf = <math>\frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}\; y^{ - \frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \,\!</math>
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}}

En [[estadística]] y [[teoría de probabilidad|probabilidad]] llámase '''distribución normal''', '''distribución de Gauss''' o '''distribución gaussiana''' o '''distribución de Laplace-Gauss''', a una de les [[distribución de probabilidad|distribuciones de probabilidá]] de [[Distribución de probabilidad#Distribuciones de variable continua|variable continua]] que con más frecuencia apaez estadística y teoría de probabilidá.<ref>{{cita llibru |títulu=Estadística Básica|url=https://books.google.es/books?id=pLF16Y8nF6gC&pg=PA97&dq=distribuci%C3%B3n+normal,+distribuci%C3%B3n+de+Gauss+o+distribuci%C3%B3n+gaussiana,+a+una+de+les distribuciones+de+probabilidá&hl=es&sa=X&ved=0ahUKEwj__al99oTYAhXHtRoKHayaD7MQ6AEIJzAA#v=onepage&q=distribuci%C3%B3n%20normal,%20distribuci%C3%B3n%20de%20Gauss%20o%20distribuci%C3%B3n%20gaussiana,%20a%20una%20de%20les%20distribuciones%20de%20probabilidá&f=false|fechaaccesu=12 d'avientu de 2017|fecha=2007|editorial=ITM|isbn=9789589831410|idioma=es}}</ref>

La [[gráfica]] de la so [[función de densidá]] tien una forma acampanada y ye simétrica respectu d'un determináu [[parámetru estadísticu]]. Esta curva conozse como [[campana de Gauss]] y ye'l gráficu d'una [[función gaussiana]].<ref>{{cita llibru |apellíos=Orrego|nome=Juan José Pumar|títulu=LOGISTICA DE SUMINISTRU|url=https://books.google.es/books?id=KhlfAwAAQBAJ&pg=PA140&dq=gr%C3%A1fica+de+el so+funci%C3%B3n+de+densidá+tien+una forma acampanada&hl=es&sa=X&ved=0ahUKEwit3puU-ITYAhWIQBQKHQyAAn0Q6AEINDAC#v=onepage&q=gr%C3%A1fica%20de%20el so%20funci%C3%B3n%20de%20densidá%20tien%20una%20forma%20acampanada&f=false|fechaaccesu=12 d'avientu de 2017|fecha=2014|editorial=Ediciones Paraninfu, S.A.|isbn=9788497329811|idioma=es}}</ref>

La importancia d'esta distribución anicia en que dexa [[Modelu matemáticu|modelar]] numberosos fenómenos naturales, sociales y psicolóxicos.<ref>{{cita llibru |apellíu=Gómez-Chacón|nome=Inés Ma|títulu=Educación matemática y ciudadanía|url=https://books.google.es/books?id=zCUBJxQj_4AC&pg=PA73&dq=dexa+modelar+numberosos+fen%C3%B3menos+naturales,&hl=es&sa=X&ved=0ahUKEwihlezb-ITYAhUK1hQKHVOeBn8Q6AEILDAB#v=onepage&q=dexa%20modelar%20numberosos%20fen%C3%B3menos%20naturales,&f=false|fechaaccesu=12 d'avientu de 2017|fecha=4 d'ochobre de 2010|editorial=Grao|isbn=9788499801667|idioma=es|apellíos2=Català|nome2=Claudi Alsina|apellíos3=Raig|nome3=Núria Planes|apellíos4=Rodríguez|nome4=Joaquim Giménez|apellíos5=Muñoz|nome5=Yuly Marsela Vanegas|apellíos6=Sirera|nome6=Marta Civil}}</ref>Ente que los mecanismos que subyacen a gran parte d'esti tipu de fenómenos son desconocíos, pola enorme cantidá de variables incontrolables que nellos intervienen, l'usu del modelu normal puede xustificase asumiendo que cada observación llógrase como la suma d'unes poques causes independientes. 

Ello ye que la estadística descriptiva namái dexa describir un fenómenu, ensin esplicación dalguna. Pa la esplicación causal ye precisu'l ''diseñu esperimental'', d'ende que al usu de la estadística en psicoloxía y socioloxía seya conocíu como ''métodu correlacional''. 

La distribución normal tamién ye importante pola so rellación cola estimación por [[mínimos cuadraos]], unu de los métodos d'estimación más simples y antiguos.

Dellos exemplos de variables acomuñaes a fenómenos naturales que siguen el modelu de la normal son:

* calteres [[Morfoloxía (bioloxía)|morfolóxicos]] d'individuos como la [[estatura]];
* calteres [[Fisioloxía|fisiolóxicos]] como l'efeutu d'un [[fármacu]];
* calteres [[Socioloxía|sociolóxicos]] como'l [[consumu]] de ciertu productu por un mesmu grupu d'individuos;
* calteres [[Psicoloxía|psicolóxicos]] como'l [[cociente intelectual]];
* nivel de [[Ruiu (física)|ruiu]] en [[Telecomunicación|telecomunicaciones]];
* [[Error esperimental|errores]] cometíos al midir ciertes magnitúes;
* etc.

La distribución normal tamién apaez en munches árees de la mesma estadística. Por casu, la [[distribución muestral]] de les [[media aritmética|medies]] muestrales ye aproximao normal, cuando la distribución de la población de la cual estrayer la muestra nun ye normal.<ref>Ye una consecuencia del [[Teorema Central de la Llende]]</ref> Amás, la distribución normal maximiza la [[Entropía (información)|entropía]] ente toles distribuciones con media y [[varianza]] conocíes, lo cual convertir na eleición natural de la distribución subxacente a una llista de datos resumíos en términos de media muestral y varianza. La distribución normal ye la más estendida n'estadística y munchos tests estadísticos tán basaos nuna "normalidá" más o menos xustificada de la variable aleatoria so estudiu. 

En probabilidá, la distribución normal apaez como la llende de delles distribuciones de probabilidá [[Distribución de probabilidá continua|continues]] y [[Distribución de probabilidad#Distribuciones de variable discreta|discretes]].

== Historia ==
[[Ficheru:Abraham de moivre.jpg|thumb|left|Abraham de Moivre, primero n'afayar la distribución normal]]
La distribución normal foi presentada per primer vegada por [[Abraham de Moivre]] nun artículu del añu 1733,<ref>Abraham de Moivre, "Approximatio ad Summam Terminorum Binomii (''a''&nbsp;+&nbsp;''b'')<sup>''n''</sup> in Seriem expansi" (impresu'l 12 de payares de 1733 en Londres pa una edición privada). Esti panfletu se reimprimió en: '''(1)''' Richard C. Archibald (1926) “A rare pamphlet of Moivre and some of his discoveries,” ''Isis'', vol. 8, páxines 671-683; '''(2)''' Helen M. Walker, “De Moivre on the law of normal probability” en David Eugene Smith, ''A Source Book in Mathematics'' [Nueva York, Nueva York: McGraw-Hill, 1929; reimpresión: Nueva York, Nueva York: Dover, 1959], vol. 2, páxines 566-575.; '''(3)''' Abraham De Moivre, ''The Doctrine of Chances'' (2ª ed.) [Londres: H. Woodfall, 1738; reimpresión: Londres: Cass, 1967], páxines 235-243; (3ª ed.) [Londres: A Millar, 1756; reimpresión: Nueva York, Nueva York: Chelsea, 1967], páxines 243-254; '''(4)''' Florence N. David, ''Games, Gods and Gambling: A History of Probability and Statistical Ideas'' [Londres: Griffin, 1962], Apéndiz 5, páxines 254-267.</ref> que foi reimpreso na segunda edición de la so ''[[The Doctrine of Chances]]'', de 1738, nel contestu de ciertu aproximamientu de la [[distribución binomial]] para grandes valores de ''n''. La so resultancia foi ampliáu por [[Pierre Simon Laplace|Laplace]] nel so llibru ''[[Teoría analítica de les probabilidaes]]'' (1812), y na actualidá llámase [[Teorema de De Moivre-Laplace]]. 
 
Laplace usó la distribución normal nel [[analís d'errores]] d'esperimentos. L'importante [[métodu de mínimos cuadraos]] foi introducíu por [[Adrien Marie Legendre|Legendre]] en 1805. [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]], qu'afirmaba usar el métodu dende [[1794]], xustificar rigorosamente en [[1809]] asumiendo una distribución normal de los errores. El nome de Gauss acomuñóse a esta distribución porque la usó con mapa cuando analizaba datos astronómicos<ref>Havil, 2003</ref> y dellos autores atribúyen-y un descubrimientu independiente del de De Moivre.<ref>{{cita llibru | apellíos = Wussing | nome = Hans | editorial = Sieglu XXI d'España Editores, S.A. | títulu = leición d'Historia de les Matemátiques | url = https://books.google.es/books?id=IG3_b5Xm8PMC | edición = 1ª (castellán) | añu = 1998 | mes = marzu | isbn = 84-323-0966-4 | páxines = 190 | capítulu = leición 10 | cita = "La distribución normal y les sos aplicaciones a la teoría d'errores acomúñase de cutiu col nome de Gauss, quien la afayó -igual que Laplace- independientemente; sicasí yá fuera estudiada por de Moivre}}</ref>Esta atribución del nome de la distribución a una persona distinta del so primer descubridor ye un claru exemplu de la [[llei de Stigler]].

El nome de "campana" vien d'[[Esprit Jouffret]] qu'usó'l términu "bell surface" (superficie campana) per primer vegada en [[1872]] pa una [[Distribución normal multivariante|distribución normal bivariante]] de componentes independientes. El nome de "distribución normal" foi dau independientemente por [[Charles Sanders Peirce|Charles S. Peirce]], [[Francis Galton]] y [[Wilhelm Lexis]] escontra [[1875]].{{ensin referencies}} A pesar d'esta terminoloxía, otres distribuciones de probabilidá podríen ser más apropiaes en determinaos contestos; vease'l discutiniu sobre [[#Incidencia|incidencia]], más embaxo.

== Definición formal ==
La [[función de distribución]] de la distribución normal ta definida como sigue:

: <math> \begin{align}
\Phi_{\mu,\sigma^2}(x)
&{}=\int_{-\infty}^x\varphi_{\mu,\sigma^2}(o)\,du\\
&{}=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}
\int_{-\infty}^x
y^{-\frac{(o - \mu)^2}{2\sigma^2}}\, du ,\quad x\in\mathbb{R}\\
\end{align}
</math>

Poro, la función de distribución de la normal estándar ye:

:<math>
\Phi(x) = \Phi_{0,1}(x)
= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}
\int_{-\infty}^x
y^{-\frac{o^2}{2}}
\, du, \quad x\in\mathbb{R}.
</math>

Esta función de distribución puede espresase en términos d'una [[función especial]] llamada [[función error]] de la siguiente forma:

:<math>
\Phi(x)
=\frac{1}{2} \Bigl[ 1 + \operatorname{erf} \Bigl( \frac{x}{\sqrt{2}} \Bigr) \Bigr], \quad
x\in\mathbb{R}, </math>.

y la mesma función de distribución puede, poro, espresase asina:

:<math>
\Phi_{\mu,\sigma^2}(x)
=\frac{1}{2} \Bigl[ 1 + \operatorname{erf} \Bigl( \frac{x-\mu}{\sigma\sqrt{2}} \Bigr) \Bigr], \quad
x\in\mathbb{R}.
</math>

El complementu de la función de distribución de la normal estándar, <math>1 - \Phi(x)</math>, se denota con frecuencia <math>Q(x)</math>, y ye referida, dacuando, como a cencielles '''función Q''', especialmente en testos d'inxeniería.<ref>[http://cnx.org/content/m11537/latest/ La función Q]</ref><ref>https://web.archive.org/web/20090325160012/http://www.eng.tau.ac.il/~jo/academic/Q.pdf</ref> Esto representa la cola de probabilidá de la distribución gaussiana. Tamién s'usen dacuando otres definiciones de la función Q, que son toes elles tresformamientos simples de <math>\Phi</math>.<ref>{{MathWorld|NormalDistributionFunction|Normal Distribution Function}}</ref>

La inversa de la función de distribución de la normal estándar ([[función cuantil]]) puede espresase en términos de la inversa de la función d'error:

:<math>
\Phi^{-1}(p)
= \sqrt2
\;\operatorname{erf}^{-1} (2p - 1), \quad
p\in(0,1), </math>.

y la inversa de la función de distribución puede, poro, espresase como:

:<math>
\Phi_{\mu,\sigma^2}^{-1}(p)
= \mu + \sigma\Phi^{-1}(p)
= \mu + \sigma\sqrt2
\; \operatorname{erf}^{-1}(2p - 1), \quad
p\in(0,1).
</math>

Esta función cuantil llámase dacuando la [[función probit]]. Nun hai una [[función primitiva|primitiva]] elemental pa la función probit. Esto nun quier dicir puramente que nun se conoz, sinón que se probó la inesistencia de tal función. Esisten dellos métodos exactos p'averar la función cuantil por aciu la distribución normal (vease [[función cuantil]]).

Los valores Φ(''x'') pueden averase con muncha precisión por distintos métodos, tales como [[integración numbérica]], [[series de Taylor]], [[Serie asintótica|series asintóticas]] y [[Fracción continua de Gauss|fracciones continues]].

=== Llende inferior y superior estrictos pa la función de distribución ===
Pa grandes valores de ''x'' la función de distribución de la normal estándar <math>\scriptstyle\Phi(x)</math> ye bien próxima a 1 y <math>\scriptstyle\Phi(-x)\,{=}\,1\,{-}\,\Phi(x)</math> ta mui cerca de 0. Les llendes elementales

:<math>
\frac{x}{1+x^2}\varphi(x)<1-\Phi(x)<\frac{\varphi(x)}{x}, \qquad x>0, </math>.

en términos de la densidá <math>\scriptstyle\varphi</math> son útiles. 

Usando'l [[Métodos d'integración#Método d'integración per sustitución|camudo de variable]] ''v''&nbsp;=&nbsp;''o''²/2, la llende cimera llógrase como sigue:

:<math>
\begin{align}
1-\Phi(x)
&=\int_x^\infty\varphi(o)\,du\\
&<\int_x^\infty\frac ux\varphi(o)\,du
=\int_{x^2/2}^\infty\frac{y^{-v}}{x\sqrt{2\pi}}\,dv
=-\biggl.\frac{y^{-v}}{x\sqrt{2\pi}}\biggr|_{x^2/2}^\infty
=\frac{\varphi(x)}{x}.
\end{align}
</math>

De forma similar, usando <math>\scriptstyle\varphi'(o)\,{=}\,-o\,\varphi(o)</math> y la [[regla del cociente]],

:<math>
\begin{align}
\Bigl(1+\frac1{x^2}\Bigr)(1-\Phi(x))&=\Bigl(1+\frac1{x^2}\Bigr)\int_x^\infty\varphi(o)\,du\\
&=\int_x^\infty \Bigl(1+\frac1{x^2}\Bigr)\varphi(o)\,du\\
&>\int_x^\infty \Bigl(1+\frac1{o^2}\Bigr)\varphi(o)\,du
=-\biggl.\frac{\varphi(o)}o\biggr|_x^\infty
=\frac{\varphi(x)}x.
\end{align}
</math>

Resolviendo pa <math>\scriptstyle 1\,{-}\,\Phi(x)\,</math> apurre la llende inferior.

=== Funciones generatrices ===

==== Función generatriz de momentos ====
La [[función generatriz de momentos]] defínese como la [[Esperanza matemática|esperanza]] de ''y''<sup>(''tX'')</sup>. Pa una distribución normal, la función generatriz de momentos ye:

: <math> M_X(t) = \mathrm{Y} \left[ y^{tX} \right] = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi} } y^{-\frac{(x - \mu)^2}{2 \sigma^2}} y^{tx} \, dx = y^{\mu t + \frac{\sigma^2 t^2}{2}} </math>

como puede comprobase al [[completar el cuadráu]] nel esponente.

<!-- ENSIN TRADUCIR, DEL ARTÍCULU INGLÉS N'ESTE MESMU APARTÁU ====
Cumulant generating function ====
The [[cumulant]] generating function is the logarithm of the moment generating function: ''g''(''t'') = μ''t''&nbsp;+&nbsp;σ<sup>2</sup>''t''<sup>2</sup>/2. Since this is a quadratic polynomial in ''t'', only the first two cumulants are nonzero.
-->

==== Función carauterística ====
La [[función carauterística]] defínese como la esperanza de ''y''<sup>''itX''</sup>, onde ''i'' ye la [[unidá imaxinaria]]. D'esta miente, la función carauterística llógrase reemplazando ''t'' por ''it'' na función generatriz de momentos.
Pa una distribución normal, la función carauterística ye<ref>{{cita web | url=http://www.planetmathematics.com/CharNormal.pdf | títulu=Characteristic function of the univariate normal distribution | autor=M.A. Sanders | fechaaccesu=6 de marzu de 2009 | urlarchivu=https://web.archive.org/web/20090325160011/http://www.planetmathematics.com/CharNormal.pdf | fechaarchivu=2009-03-25 }}</ref>

: <math> 
\begin{align}
\chi_X(t;\mu,\sigma) &{} = M_X(i t) = \mathrm{Y}
\left[ y^{i t X} \right] \\
&{}=
\int_{-\infty}^{\infty}
\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}
y^{- \frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}
y^{i t x}
\, dx \\
&{}=
y^{i \mu t - \frac{\sigma^2 t^2}{2}}.
\end{align}
</math>

== Propiedaes ==
Delles propiedaes de la distribución normal son les siguientes:

# Ye simétrica respectu de la so media, <math>\mu</math>;[[Ficheru:Standard_deviation_diagram_micro.svg||325px|thumb|Distribución de probabilidá alredor de la media nuna distribución N(''μ'', ''σ<sup>2</sup>'').]]
# La [[Midíes d'enclín central|moda]] y la [[Mediana (estadística)|mediana]] son dambes iguales a la media, <math>\mu</math>;
# Los [[puntu d'inflexión|punto d'inflexón]] de la curva dar pa <math>x=\mu-\sigma</math> y <math>x=\mu+\sigma</math>.
# Distribución de probabilidá nuna redolada de la media:
## nel intervalu <math>[\mu-\sigma, \mu+\sigma]</math>atópase entendida, aproximao, el 68,26% de la distribución;
## nel intervalu <math>[\mu-2\sigma, \mu+2\sigma]</math> atópase, aproximao, el 95,44% de la distribución;
## pela so parte, nel intervalu <math>[\mu-3\sigma, \mu+3\sigma]</math> atópase entendida, aproximao, el 99,74% de la distribución. Estes propiedaes son de gran utilidá pal establecimientu d'[[intervalu de confianza|intervalo d'enfotu]]. Per otra parte, el fechu de que práuticamente la totalidá de la distribución atopar a tres esviación típiques de la media xustifica les llendes de les tables emplegaes davezu na normal estándar.
# Si <math>X \sim N(\mu, \sigma^2)</math> y <math>a,b\in\mathbb{R}</math>, entós <math>aX+b \sim N(a\mu+b, a^2\sigma^2)</math>.
# Si <math>X \sim N(\mu_X, \sigma_X^2)</math> y <math>Y \sim N(\mu_Y, \sigma_Y^2)</math> son variables aleatories normales [[independencia estadística|independientes]], entós:
#* La so suma ta de normal distribuyida con <math>O = X + Y \sim N(\mu_X + \mu_Y, \sigma^2_X + \sigma^2_Y)</math> ([[suma de variables aleatories de normal distribuyíes|demostración]]). Recíprocamente, si dos variables aleatories independientes tienen una suma de normal distribuyida, tienen de ser normales ([[Teorema de Crámer]]).
#* La so diferencia ta de normal distribuyida con <math>V = X - Y \sim N(\mu_X - \mu_Y, \sigma^2_X + \sigma^2_Y)</math>.
#* Si les varianzas de ''X'' y ''Y'' son iguales, entós ''O'' y ''V'' son independientes ente sigo.
#* La [[diverxencia de Kullback-Leibler]], <math>D {\rm KL}( X \| Y ) =
{ 1 \over 2 } \left( \log \left( { \sigma^2_Y \over \sigma^2_X } \right) + \frac{\sigma^2_X}{\sigma^2_Y} +
\frac{\left(\mu_Y - \mu_X\right)^2}{\sigma^2_Y} - 1\right).
</math>
# Si <math>X \sim N(0, \sigma^2_X)</math> y <math>Y \sim N(0, \sigma^2_Y)</math> son variables aleatories independientes de normal distribuyíes, entós:
#* El so productu <math>X Y</math> sigue una distribución con densidá <math>p\,</math> dada por
#*: <math>p(z) = \frac{1}{\pi\,\sigma_X\,\sigma_Y} \; K_0\left(\frac{|z|}{\sigma_X\,\sigma_Y}\right),</math> onde <math>K_0\,</math> ye una [[Función de Bessel#Funciones de Bessel modificaes|función de Bessel modificada de segundu tipu]].
#* El so cociente sigue una [[distribución de Cauchy]] con <math>X/Y \sim \mathrm{Cauchy}(0, \sigma_X/\sigma_Y)\,</math>. D'esta miente la distribución de Cauchy ye un tipu especial de [[distribución cociente]].
# Si <math>X_1, \dots, X_n</math> son variables normales estándar independientes, entós <math>X_1^2 + \cdots + X_n^2</math> sigue una [[distribución χ²]] con ''n'' graos de llibertá.
# Si <math>X_1,\dots,X_n</math> son variables normales estándar independientes, entós la [[media muestral]] <math>\bar{X}=(X_1+\cdots+X_n)/n</math> y la [[varianza#varianza muestral|varianza muestral]] <math>S^2=((X_1-\bar{X})^2+\cdots+(X_n-\bar{X})^2)/(n-1)</math> son independientes. Esta propiedá [[definición (matemática)|caracteriza]] a les distribuciones normales y contribúi a esplicar por qué'l [[test-F]] nun ye robezu al respective de la non-normalidá).

=== Estandarización de variables aleatories normales ===
De resultes de la Propiedá 1; ye posible rellacionar toles variables aleatories normales cola distribución normal estándar.

Si <math>X\, \sim N(\mu, \sigma^2)\,</math>, entós

:<math>Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \!</math>

ye una variable aleatoria normal estándar: <math>Z\,</math> ~ <math>N(0,1)\,</math>.

El tresformamientu d'una distribución X ~ N(μ, σ) nuna N(0, 1) llámase '''normalización''', '''estandarización''' o '''tipificación''' de la variable X.

Una consecuencia importante d'esto ye que la función de distribución d'una distribución normal ye, poro,

:<math>\Pr(X \le x)
=
\Phi
\left(
\frac{x-\mu}{\sigma}
\right)
=
\frac{1}{2}
\left(
1 + \operatorname{erf}
\left(
 \frac{x-\mu}{\sigma\sqrt{2}}
\right)
\right)
.
</math>

A la inversa, si <math>Z</math> ye una distribución normal estándar, <math>Z</math> ~ <math>N(0,1)</math>, entós

:<math>X = \sigma Z + \mu\,</math>

ye una variable aleatoria normal tipificada de media <math>\mu\,</math> y varianza <math>\sigma^2\,</math>.

La distribución normal estándar ta tabulada (davezu na forma del valor de la función de distribución Φ) y les otres distribuciones normales pueden llograse como tresformamientos simples, como se describe más arriba, de la distribución estándar. D'esta miente pueden usase los valores tabulados de la función de distribución normal estándar p'atopar valores de la función de distribución de cualesquier otra distribución normal.

=== Momentos ===
Los primeres [[Momentu centráu|momentos]] de la distribución normal son:
{| {{tablaguapa}}
|- bgcolor="#CCCCCC"
! Númberu !! Momentu !! Momentu central !! Cumulante
|-
| 0 || 1 || 1 ||
|-
| 1 || <math>\mu</math> || 0 || <math>\mu</math>
|-
| 2 || <math>\mu^2 + \sigma^2</math> || <math>\sigma^2</math> || <math>\sigma^2</math>
|-
| 3 || <math>\mu^3 + 3\mu\sigma^2</math> || 0 || 0
|-
| 4 || <math>\mu^4 + 6 \mu^2 \sigma^2 + 3 \sigma^4</math> || <math>3 \sigma^4</math> || 0
|-
| 5 || <math>\mu^5 + 10 \mu^3 \sigma^2 + 15 \mu \sigma^4</math> || 0 || 0
|-
| 6 || <math>\mu^6 + 15 \mu^4 \sigma^2 + 45 \mu^2 \sigma^4 + 15 \sigma^6 </math> || <math> 15 \sigma^6 </math> || 0
|-
| 7 || <math>\mu^7 + 21 \mu^5 \sigma^2 + 105 \mu^3 \sigma^4 + 105 \mu \sigma^6 </math> || 0 || 0
|-
| 8 || <math>\mu^8 + 28 \mu^6 \sigma^2 + 210 \mu^4 \sigma^4 + 420 \mu^2 \sigma^6 + 105 \sigma^8 </math> || <math> 105 \sigma^8 </math> || 0
|}

Tolos [[cumulante]]s de la distribución normal, más allá del segundu, son cero.

Los momentos centrales d'orde cimeru (2''k'' con ''μ''&nbsp;=&nbsp;0) vienen daos pola fórmula

: <math> Y\left[X^{2k}\right]=\frac{(2k)!}{2^k k!} \sigma^{2k}. </math>

=== El Teorema de la Llende Central ===
{{AP|Teorema de la llende central}}

[[Ficheru:Normal approximation to binomial.svg|325px|thumb|[[Gráfica]] de la función de distribución d'una normal con μ = 12 y σ = 3, averando la función de distribución d'una [[binomial]] con ''n'' = 48 y ''p'' = 1/4.]]

El [[Teorema de la llende central]] establez que so ciertes condiciones (como pueden ser [[Independencia y distribución idéntica de variables aleatories|independientes y hermano distribuyíes]] con varianza finita), la suma d'un gran númberu de variables aleatories distribúyese aproximao como una normal.

La importancia práutica del Teorema de la llende central ye que la función de distribución de la normal puede usase como aproximamientu de delles otres funciones de distribución. Por casu:

* Una [[distribución binomial]] de parámetros ''n'' y ''p'' ye aproximao normal pa grandes valores de ''n'', y ''p'' non demasiáu cercanu a 0 o a 1 (dellos llibros encamienten usar esti aproximamientu namái si ''np'' y ''n''(1&nbsp;−&nbsp;''p'') son dambos, siquier, 5; nesti casu tendría d'aplicase una [[correición de continuidá]]).<br />La normal averada tien parámetros μ = ''np'', σ<sup>2</sup> = ''np''(1&nbsp;−&nbsp;''p'').

* Una [[distribución de Poisson]] con parámetru λ ye aproximao normal pa grandes valores de λ.<br />La distribución normal averada tien parámetros μ = σ<sup>2</sup> = λ.

La exactitú d'estos aproximamientos depende del propósitu pal que se precisen y de la tasa de converxencia a la distribución normal. Dase'l casu típicu de que tales aproximamientos son menos precises nes coles de la distribución. El [[Teorema de Berry-Esséen]] apurre una llende cimera xeneral del error d'aproximamientu de la función de distribución.

=== Divisibilidad infinita ===
{{AP|Divisibilidad infinita (probabilidá)}}
Les normales tienen una distribución de probabilidá [[Divisibilidad infinita (probabilidá)|infinitamente divisible]]: Pa una distribución normal X de media ''μ'' y varianza ''σ''<sup>2</sup>&nbsp;≥&nbsp;0, ye posible atopar ''n'' variables aleatories independientes {''X''<sub>1</sub>,...,''X''<sub>n</sub>} caúna con distribución normal de media ''μ/n'' y varianza ''σ''<sup>2</sup>/n yá que la suma ''X''<sub>1</sub>&nbsp;+ .&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;+ ''X<sub>n</sub>'' d'estes ''n'' variables aleatories

:<math>X_1+X_2+\dots+X_n \sim N(\mu, \sigma^2)\,</math>

tenga esta específica distribución normal (pa verificalo, úsese la [[función carauterística de convolución]] y la [[inducción matemática]]).

=== Estabilidá ===
Les distribuciones normales son puramente [[distribución estable|estables]].

== Esviación típica ya intervalos d'enfotu ==
Alredor del 68% de los valores d'una distribución normal tán a una distancia σ&nbsp;<&nbsp;1 (esviación típica) de la media, μ; alredor del 95% de los valores tán a dos esviación típiques de la media y alredor del 99,7% tán a tres esviación típiques de la media. Esto conozse como la "[[regla 68-95-99,7]]" o la "[[regla empírica]]".

Pa ser más precisos, l'área so la curva campana ente μ&nbsp;−&nbsp;''n''σ y μ&nbsp;+&nbsp;''n''σ en términos de la función de distribución normal vien dada por

:<math>\begin{align}&\Phi_{\mu,\sigma^2}(\mu+n\sigma)-\Phi_{\mu,\sigma^2}(\mu-n\sigma)\\
&=\Phi(n)-\Phi(-n)=2\Phi(n)-1=\mathrm{erf}\bigl(n/\sqrt{2}\,\bigr),\end{align}</math>

onde erf ye la función error. Los valores pa n=1, n=2, ... , n= 6, son... (con 12 decimales)...:
{| {{tablaguapa}} style="text-align:center"
|- bgcolor="#CCCCCC"
!&nbsp;<math>n\,</math>&nbsp;!! <math>\mathrm{erf}\bigl(n/\sqrt{2}\,\bigr)\,</math>
|-
|1 || &nbsp;0,682689492137&nbsp;
|-
|2 || 0,954499736104
|-
|3 || 0,997300203937
|-
|4 || 0,999936657516
|-
|5 || 0,999999426697
|-
|6 || 0,999999998027
|}

La siguiente tabla apurre la rellación inversa de múltiples σ correspondientes a unos pocos valores usaos con frecuencia pa l'área so la campana de Gauss. Estos valores son útiles pa determinar [[intervalu de confianza|intervalo d'enfotu]] pa los niveles especificaos basaos nuna curva de normal distribuyida (o [[estimador]]es [[Estimador#Normalidá asintótica|asintóticamente normales]]):

{| {{tablaguapa}} style="text-align:center"
|- bgcolor="#CCCCCC"
!&nbsp;<math>\mathrm{erf}\bigl(n/\sqrt{2}\,\bigr)</math>&nbsp;!!<math>n\,</math>&nbsp; 
|-
|0,80 ||&nbsp;1,28155&nbsp;
|-
|0,90 || 1,64485
|-
|0,95 || 1,95996
|-
|0,98 || 2,32635
|-
|0,99 || 2,57583
|-
|0,995 || 2,80703
|-
|0,998 || 3,09023
|-
|0,999 || 3,29052
|-
|0,9999 || 3,8906
|-
|0,99999 ||4,4172
|}

onde'l valor a la izquierda de la tabla ye la proporción de valores que van cayer nel intervalu dau y ''n'' ye un múltiplu de la esviación típica que determina l'anchor del intervalu.

=== Forma familia esponencial ===
La distribución normal tien forma de [[familia esponencial]] biparamétrica con dos parámetros naturales, μ y 1/σ<sup>2</sup>, y estadísticos naturales ''X'' y ''X''<sup>2</sup>. La forma canónica tien como parámetros <math>{\mu \over \sigma^2}</math> y <math>{1 \over \sigma^2}</math> y [[estadísticu muestral|estadísticos suficientes]] <math>\sum x </math> y <math>-{1 \over 2} \sum x^2. </math>

== Distribución normal complexa ==
Considérese la [[variable aleatoria complexa]] gaussiana

:<math>
Z=X+iY\, </math>.

onde ''X'' y ''Y'' son variables gaussianas reales ya independientes con igual varianza <math>\sigma_r^2</math>. La función de distribución de la variable conxunta ye entós

:<math>
\frac{1}{2\,\pi\,\sigma_r^2} y^{-(x^2+y^2)/(2 \sigma_r ^2)}.
</math>

Como <math>\sigma_Z =\sqrt{2}\sigma_r</math>, la función de distribución resultante pa la variable gaussiana complexa ''Z'' ye

:<math>
\frac{1}{\pi\,\sigma_Z^2} y^{-|Z|^2\!/\sigma_Z^2}.
</math>

== Distribuciones rellacionaes ==
* <math>R \sim \mathrm{Rayleigh}(\sigma)\,</math> ye una [[distribución de Rayleigh]] si <math>R = \sqrt{X^2 + Y^2}</math> onde <math>X \sim N(0, \sigma^2)\,</math> y <math>Y \sim N(0, \sigma^2)\,</math> son dos distribuciones normales independientes.

* <math>Y \sim \chi_{\nu}^2</math> ye una [[distribución χ²]] con <math>\nu\,</math> [[Dimensión|grado de llibertá]] si <math>Y = \sum_{k=1}^{\nu} X_k^2</math> onde <math>X_k \sim N(0,1)\,</math> pa <math>k=1,\dots,\nu</math> y son independientes.

* <math>Y \sim \mathrm{Cauchy}(\mu = 0, \theta = 1)\,</math> ye una [[distribución de Cauchy]] si <math>Y = X_1/X_2\,</math> pa <math>X_1 \sim N(0,1)\,</math> y <math>X_2 \sim N(0,1)\,</math> son dos distribuciones normales independientes.

* <math>Y \sim \mbox{Log-N}(\mu, \sigma^2)\,</math> ye una [[distribución log-normal]] si <math>Y = y^X\,</math> y <math>X \sim N(\mu, \sigma^2)\,</math>.

* Rellación con una [[distribución estable]]: si <math>X\sim \textrm{stable}(2,\beta,\sigma/\sqrt{2},\mu)</math> entós <math>X \sim N(\mu,\sigma^2)\,</math>.

* [[Distribución normal truncada]]. si <math>X \sim N(\mu, \sigma^2),\!</math> entós atayando ''X'' per debaxo de <math>A</math> y percima de <math>B</math> va dar llugar a una variable aleatoria de media <math>Y(X)=\mu + \frac{\sigma(\varphi_1-\varphi_2)}{T},\!</math> onde <math>T=\Phi\left(\frac{B-\mu}{\sigma}\right)-\Phi\left(\frac{A-\mu}{\sigma}\right), \; \varphi_1 = \varphi\left(\frac{A-\mu}{\sigma}\right), \; \varphi_2 = \varphi\left(\frac{B-\mu}{\sigma}\right)</math> y <math>\varphi\,</math> ye la función de densidá d'una variable normal estándar.

* Si <math>X\,</math> ye una variable aleatoria de normal distribuyida y <math>Y=|X|\,</math>, entós <math>Y\,</math> tien una [[distribución normal doblada]].

== Estadística descriptiva y inferencial ==

=== Resultaos ===
De la distribución normal derívense munches resultaos, incluyendo [[rangu percentil|rangos de percentiles]] ("percentiles" o "cuantiles"), [[curva normal equivalente|curves normales equivalentes]], [[stanine]]s, [[Standard score|z-scores]], y [[T-scores]]. Amás, un númberu de procedimientos d'estadísticos de comportamientu tán basaos na asunción de qu'eses resultaos tán de normal distribuyíos. Por casu, el [[test de Student]] y el [[analís de varianza]] (ANOVA) (vease más embaxo). La [[gradación de la curva campana]] asigna graos relativos basaos nuna distribución normal de resultaos.
<!-- CREO QUE LA TRADUCCIÓN DE "SCORES", NEL ORIXINAL, POR "RESULTANCIES" TENDRÍA DE REVISASE -->

=== Tests de normalidá ===
{{AP|Test de normalidá}}

Los tests de normalidá aplicar a conxuntos de datos pa determinar la so semeyanza con una distribución normal. La [[hipótesis nula]] ye, nestos casos, si'l conxuntu de datos ye similar a una distribución normal, polo qu'un [[P-valor]] abondo pequeñu indica datos non normales.

* [[Prueba de Kolmogórov-Smirnov]]
* [[Test de Lilliefors]]
* [[Test de Anderson–Darling]]
* [[Test de Ryan–Joiner]]
* [[Test de Shapiro–Wilk]]
* [[Normal probability plot]] ([[rankit]] plot)
* [[Test de Jarque–Bera]]
* [[Test omnibús de Spiegelhalter]]

=== Estimación de parámetro ===

==== Estimación de parámetros de máxima verosimilitud ====
{{VT|Máxima verosimilitud}}

Supóngase que

:<math>X_1,\dots,X_n</math>

son independientes y caúna ta de normal distribuyida con media ''μ'' y varianza ''σ''<sup>&nbsp;2</sup> > 0. En términos estadísticos los valores reparaos d'estes ''n'' variables aleatories constitúin una "muestra de tamañu ''n'' d'una población de normal distribuyida. Deseyar envalorar la [[media poblacional]] ''μ'' y la [[esviación típica poblacional]] ''σ'', basándose nos valores reparaos d'esta muestra. La función de densidá conxunta d'estes ''n'' variables aleatories independientes ye

:<math>\begin{align}f(x_1,\dots,x_n;\mu,\sigma)
&= \prod_{i=1}^n \varphi_{\mu,\sigma^2}(x_i)\\
&=\frac1{(\sigma\sqrt{2\pi})^n}\prod_{i=1}^n \exp\biggl(-{1 \over 2} \Bigl({x_i-\mu \over \sigma}\Bigr)^2\biggr),
\quad(x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb{R}^n.
\end{align}
</math>

Como función de ''μ'' y ''σ'', la [[función de verosimilitud]] basada nes observaciones ''X''<sub>1</sub>, ..., ''X''<sub>''n''</sub> ye

:<math>
L(\mu,\sigma) = \frac C{\sigma^n} \exp\left(-{\sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2 \over 2\sigma^2}\right),
\quad\mu\in\mathbb{R},\ \sigma>0,
</math>

con dalguna constante ''C'' > 0 (de la cual, polo xeneral, dexaríase inclusive que dependiera de ''X''<sub>1</sub>, ..., ''X''<sub>''n''</sub>, anque sumiera coles derivaes parciales de la función de log-verosimilitud al respective de los parámetros teníos en cuenta, vease más embaxo).

Nel métodu de [[máxima verosimilitud]], los valores de ''μ'' y ''σ'' que maximizan la función de verosimilitud tómense como estimadores <!--QUICIABES "ESTIMACIONES" EN LLUGAR DE "ESTIMADORES"--> de los parámetros poblacionales ''μ'' y ''σ''.

Davezu na maximización d'una función de dos variables, podríen considerase [[derivaes parciales]]. Pero equí esplótase'l fechu de que'l valor de ''μ'' que maximiza la función de verosimilitud con ''σ'' fixu nun depende de ''σ''. Sicasí, atopamos qu'esi valor de ''μ'', entós sustitúyese por ''μ'' na función de verosimilitud y finalmente atopamos el valor de ''σ'' que maximiza la espresión resultante.

Rescampla que la función de verosimilitud ye una función decreciente de la suma

:<math>\sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2. \,\!</math>

Asina que se deseya'l valor de ''μ'' que ''embrive'' esta suma. Sía

:<math>\overline{X}_n=(X_1+\cdots+X_n)/n</math>

la media muestral basada nes ''n'' observaciones. Nótese que

:<math>
\begin{align}
\sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2
&=\sum_{i=1}^n\bigl((X_i-\overline{X}_n)+(\overline{X}_n-\mu)\bigr)^2\\
&=\sum_{i=1}^n(X_i-\overline{X}_n)^2 + 2(\overline{X}_n-\mu)\underbrace{\sum_{i=1}^n (X_i-\overline{X}_n)}_{=\,0} + \sum_{i=1}^n (\overline{X}_n-\mu)^2\\
&=\sum_{i=1}^n(X_i-\overline{X}_n)^2 + n(\overline{X}_n-\mu)^2.
\end{align}
</math>

Namái l'últimu términu depende de ''μ'' y embrívese por

:<math>\widehat{\mu}_n=\overline{X}_n.</math>

Esta ye la estimación de máxima verosimilitud de ''μ'' basada nes ''n'' observaciones ''X''<sub>1</sub>, ..., ''X''<sub>''n''</sub>. Cuando sustituyimos esta estimación por ''μ'' na función de verosimilitud, llogramos

:<math>L(\overline{X}_n,\sigma) = \frac C{\sigma^n} \exp\biggl(-{\sum_{i=1}^n (X_i-\overline{X}_n)^2 \over 2\sigma^2}\biggr), \quad\sigma>0.</math>.

Convenir en denotar la "log-función de verosimilitud", esto ye, el llogaritmu de la función de verosimilitud, con una minúscula ''ℓ'', y tenemos

:<math>\ell(\overline{X}_n,\sigma)=\log C-n\log\sigma-{\sum_{i=1}^n(X_i-\overline{X}_n)^2 \over 2\sigma^2}, \quad\sigma>0,</math>.

entós

:<math>
\begin{align}
{\partial \over \partial\sigma}\ell(\overline{X}_n,\sigma)
&=-{n \over \sigma} +{\sum_{i=1}^n (X_i-\overline{X}_n)^2 \over \sigma^3}\\
&=-{n \over \sigma^3}\biggl(\sigma^2-{1 \over n}\sum_{i=1}^n (X_i-\overline{X}_n)^2 \biggr), \quad\sigma>0.

\end{align}
</math>

Esta derivada ye positiva, cero o negativa según ''σ''<sup>2</sup> tea ente 0 y

:<math>\hat\sigma_n^2:={1 \over n}\sum_{i=1}^n(X_i-\overline{X}_n)^2,</math>

esto ye igual a esa cantidá, o mayor qu'esa cantidá. (Si hai solamente una observación, lo que significa que ''n'' = 1, o si ''X''<sub>1</sub> = ... = ''X''<sub>''n''</sub>, lo cual namái asocede con probabilidad cero, entós <math>\hat\sigma{}_n^2=0</math> por esta fórmula, reflexa'l fechu de que nestos casos la función de verosimilitud ye ilimitada cuando ''σ'' escai hasta cero.)

Consecuentemente esta media de cuadraos de [[errores y residuos|residuos]] ye'l estimador de máxima verosimilitud de ''σ''<sup>2</sup>, y el so raigañu cuadráu ye'l estimador de máxima verosimilitud de ''σ'' basáu nes ''n'' observaciones. Esti estimador <math>\hat\sigma{}_n^2</math> ye [[estimador sesgado|sesgado]], pero tien un menor [[error mediu al cuadráu]] que l'habitual estimador insesgado, que ye ''n''/(''n''&nbsp;−&nbsp;1) vegaes esti estimador.

===== Sorprendente xeneralización =====
La derivada del estimador de máxima verosimilitud de la [[matriz de covarianza]] d'una [[distribución normal multivariante]] ye despreciable. Arreya'l [[teorema espectral]] y la razón pola que puede ser meyor pa ver un [[Esguilar (matemática)|esguilar]] como la [[Traza (álxebra llinial)|traza]] d'una [[matriz (matemática)|matriz]] 1×1 que como un pixín esguilar. Vease [[estimación de la covarianza de matrices]].

==== Estimación insesgada de parámetros ====
El estimador <math> \overline{X}</math> de máxima verosimilitud de la media poblacional ''μ'', ye un [[estimador insesgado]] de la media poblacional.

El estimador de máxima verosimilitud de la varianza ye insesgado si asumimos que la media de la población ye conocida ''a priori'', pero na práutica esto nun asocede. Cuando disponemos d'una muestra y nun sabemos nada de la media o la varianza de la población de la que s'estrayxo, como s'asumía na derivada de máxima verosimilitud de riba, entós el estimador de máxima verosimilitud de la varianza ye sesgado. Un estimador insesgado de la varianza ''σ''<sup>2</sup> ye la cuasi varianza muestral:

:<math>
S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2.
</math>

que sigue una [[distribución Gamma]] cuando les ''X''<sub>''i''</sub> son normales independientes y hermano distribuyíes:

:<math>
S^2 \sim \operatorname{Gamma}\left(\frac{n-1}{2},\frac{2 \sigma^2}{n-1}\right), </math>.

con media <math>\operatorname{Y}(S^2)=\sigma^2</math> y varianza <math>\operatorname{Var}(S^2)=2\sigma^4/(n-1).</math>

La estimación de máxima verosimilitud de la esviación típica ye'l raigañu cuadráu de la estimación de máxima verosimilitud de la varianza. Sicasí, nin ésta, nin el raigañu cuadráu de la cuasivarianza muestral apurren un estimador insesgado pa la esviación típica (vease [[estimación insesgada de la esviación típica]] pa una fórmula particular pa la distribución normal.

== Incidencia ==
Les distribuciones ''aproximao'' normales apaecen peruquier, como queda esplicáu pol [[Teorema de la llende central|teorema central de la llende]].
Cuando nun fenómenu abarrúntase la presencia d'un gran númberu de pequeñes causes ''actuando de forma aditiva ya independiente'' ye razonable pensar que les observaciones van ser "normales". Hai métodos estadísticos pa probar empíricamente esta asunción, por casu, el test de [[D'Agostino-Pearson]]. El [[test de Kolmogorov-Smirnov]], antes llargamente usáu, agora paez tar desaconseyáu.

Hai causes que pueden actuar de forma ''multiplicativa'' (más que aditiva). Nesti casu, l'asunción de normalidá nun ta xustificada y ye'l [[llogaritmu]] de la variable en cuestión el que taría de normal distribuyíu. La distribución de les variables direutamente reparaes nesti casu denominar [[distribución log-normal|log-normal]].

Finalmente, si hai una simple influencia esterna que tien un gran efeutu na variable en considerancia, l'asunción de normalidá nun ta tampoco xustificada. Esto ye ciertu inclusive si, cuando la variable esterna caltiénse constante, les distribuciones marxinales resultantes son, n'efeutu, normales. La distribución completa va ser una superposición de variables normales, que nun ye polo xeneral normal. Ello ta rellacionáu cola teoría d'errores (vease más embaxo).

De siguío amuésense una llista de situaciones que taríen, aproximao, de normal distribuyíes. Más embaxo puede atopase un discutiniu detalláu de caúna d'elles:

* En problemes de recuentu, onde'l teorema central de la llende inclúi un aproximamientu de discreta a continua y onde les distribuciones [[infinitamente divisibles]] y [[distribución non descomponible|descomponibles]] tán arreyaes, tales como:
** [[Distribución binomial|variables aleatories binomiales]], acomuñaes con entrugues sí/non;
** [[Distribución de Poisson|variables aleatories de Poisson]], acomuñaes con [[eventos raros]];
* En midíes fisiolóxiques de especímenes biolóxicos:
** El ''llogaritmu'' de les midíes del tamañu de texíos vivos (llargor, altor, superficie de piel, pesu);
** La ''llargor'' d'apéndices ''inertes'' (pelo, garres, rabos, dientes) de especímenes biolóxicos ''na direición del crecimento'';
** Otres midíes fisiolóxiques podríen tar de normal distribuyíes, anque nun hai razón pa esperalo ''a priori'';
* Asumir con frecuencia que los errores de midida tán de normal distribuyíos y cualquier esviación de la normalidá considérase una cuestión que tendría d'esplicase;
* Variables financieres, nel [[modelu Black-Scholes]]:
** Cambeos nel ''llogaritmu'' de Cambeos 
nel ''llogaritmu'' de tases de cambéu, índices de precios, índices d'esistencies de mercáu; estes variables pórtense como l'interés compuestu, non como l'interés simple, por tanto, son multiplicatives;
** Ente que el modelu Black-Scholes presupon normalidá, en realidá estes variables exhiben [[coles pesaes]], como puede trate en [[crash de les esistencies de mercáu]]; 
** Otres variables financieres podríen tar de normal distribuyíes, pero nun hai razón pa esperalo ''a priori'';
* Intensidá de la lluz:
** La intensidá de la lluz láser ta de normal distribuyida;
** La [[lluz térmico]] <!--thermal light, nel orixinal--> tien una [[distribución de Bose-Einstein]] n'escales de tiempu bien curtios y una distribución normal en grandes escales de tiempu debíu al teorema central de la llende.

Ye relevante pa la bioloxía y la economía el fechu de que los sistemes complexos tienden a amosar la [[llei de potencies]] más que normal.

=== Recuentu de fotones ===
La intensidá de la lluz d'una sola fonte varia col tiempu, según les fluctuaciones térmiques que pueden reparase si la lluz analizar a una resolución abondo altu. La [[mecánica cuántica]] interpreta les midíes de la intensidá de la lluz como un recuentu de [[fotón|fotones]], onde'l camientu natural lleva a usar la [[distribución de Poisson]]. Cuando la intensidá de la lluz integrar a lo llargo de grandes periodos de tiempu mayores que'l tiempu de coherencia, l'aproximamientu Poisson - Normal ye apoderada.

=== Midida d'errores ===
La normalidá ye la ''asunción central'' de la [[teoría d'error|teoría matemática d'errores]]. De forma similar nel axuste de modelos estadísticu, un indicador de la bondá del axuste ye que'l [[error residual]] (asina ye como se llamen los errores nesta circunstancia) seya independiente y de normal distribuyíu. L'asunción ye que cualquier esviación de la normalidá precisa ser esplicada. Nesi sentíu, en dambos, axuste de modelos y teoría d'errores, la normalidá ye la única observación que nun precisa ser esplicada, sinón que ye esperada. Sicasí, si los datos orixinales nun tán de normal distribuyíos (por casu, si siguen una [[distribución de Cauchy]], entós los residuos tampoco van tar de normal distribuyíos. Esti fechu ye ignoráu davezu na práutica.

Les midíes repitíes de la mesma cantidá espérase que dexen el pasu a resultaos que tán arrexuntaos en redol a un valor particular. Si toles fontes principales d'errores tomáronse en cuenta, se ''asume'' que l'error que queda ten de ser la resultancia d'un gran númberu de bien pequeños y ''aditivos'' efeutos y, poro, normal. Les esviaciones de la normalidá interprétense como indicaciones d'errores sistemáticos que nun fueron tomaos en cuenta. Puede aldericase si esta asunción ye válida.

Una famosa observación atribuyida a [[Gabriel Lippmann]] diz:{{ensin referencies}} 
{{cita|Tol mundu cree na llei normal de los errores: los matemáticos, porque piensen que ye un fechu esperimental; y el esperimentadores, porque suponen que ye un teorema matemáticu}}

Otra fonte podría ser [[:q:en:Henri_Poincaré#Misattributed|Henri Poincaré]].

=== Carauterístiques físiques de especímenes biolóxicos ===
Los tamaños de los animales adultos siguen aproximao una distribución [[log-normal]]. La evidencia y esplicación basada en modelos de crecedera foi publicada per primer vegada nel llibru ''[[Problemes de crecedera relativa]]'', de 1932, por [[Julian Huxley]].

Les diferencies de tamañu por cuenta de [[dimorfismu sexual|dimorfismos sexuales]] o otros [[polimorfismu xenéticu|polimorfismos]] d'inseutos, como la división social de les abeyes n'obreres, zánganos y reines, por casu, fai que la distribución de tamaños esviar escontra la lognormalidad. <!-- AMEYORAR TRADUCCIÓN D'ESTI PÁRRAFU, QU'EN L'ORIXINAL YE:
Differences in size due to sexual dimorphism, or other polymorphisms like the worker/soldier/queen division in social insects, further make the distribution of sizes deviate from lognormality. -->

L'asunción de que'l tamañu llinial de los especímenes biolóxicos ye normal (más que lognormal) llévanos a una distribución non normal del pesu (yá que el pesu o'l volume ye proporcional al cuadráu o'l cubu del llargor y les distribuciones gaussianas namái caltienen los tresformamientos lliniales). A la inversa, asumir que'l pesu sigue una distribución normal implica llargores non normales. Esto ye un problema porque, ''a priori'', nun hai razón pola que cualesquier d'elles (llargor, masa corporal o otres) tendría de tar de normal distribuyida. Les distribuciones lognormales, per otru llau, caltener ente potencies, asina que el "problema" esmorezse si asume la lognormalidad.
 
Per otra parte, hai delles midíes biolóxiques onde s'asume normalidá, tales como la presión sanguínea n'humanos adultos. Esta asunción namái ye posible en dixebrando a homes y muyeres en distintes poblaciones, caúna de les cuales ta de normal distribuyida.

=== Variables financieres ===
[[Ficheru:Crowd outside nyse.jpg|thumb|El modelu normal de movimientu d'activos nun inclúi movimientos estremos tales como [[quiebra financiera|quiebres financieres]].]]

Yá en 1900 [[Louis Bachelier]] propunxo representar los precios de cambéu usando la distribución normal. Esti aproximamientu modificóse dende entós llixeramente. Por causa de la naturaleza multiplicativa del [[interés compuestu]], los indicadores financieros como valores de mercáu y precios de les materies primes exhiben un "comportamientu multiplicativu". Como tales, los sos cambeos periódicos (por casu, cambeos añales) nun son normales, sinón [[lognormal]]es. Esta ye inda la hipótesis más comúnmente aceptada en [[economía]].

Sicasí, en realidá les variables financieres exhiben [[coles pesaes]] y asina, l'asunción de normalidá infravalora la probabilidá d'eventos estremos como [[quiebra financiera|quiebres financieres]]. Suxiriéronse correiciones a esti modelu per parte de matemáticos como [[Benoît Mandelbrot]], quien reparó que los cambeos nel llogaritmu mientres curtios periodos de tiempu (como un día) avérense bien por distribuciones que nun tienen una varianza finita y, poro, el teorema central de la llende nun puede aplicase. Entá más, la suma de munchos de tales cambeos sigue una [[distribución de log-Levy]].

=== Distribuciones en tests d'intelixencia ===
Dacuando, la dificultá y númberu d'entrugues nun [[test d'intelixencia]] escuéyese de cuenta qu'apurran resultaos de normal distribuyíos. Entá más, les puntuaciones "en crudu" convertir a valores que marquen el [[cociente intelectual]] afaciéndoles a la distribución normal. Sía que non trátase d'una resultancia causada deliberadamente pola construcción del test o d'una interpretación de les puntuaciones que suxer normalidá pa la mayoría de la población. Sicasí, la cuestión alrodiu de si la [[intelixencia]] en sí ta de normal distribuyida ye más complicada porque se trata d'una [[variable latente]] y, poro, nun puede reparase direutamente.

=== Ecuación d'espardimientu ===
La función de densidá de la distribución normal ta estrechamente rellacionada cola [[ecuación d'espardimientu]] (homoxénea y isótropa) y, por tanto, tamién cola [[ecuación de calor]]. Esta [[ecuación diferencial parcial]] describe'l tiempu d'evolución d'una función de densidá baxu [[espardimientu (física)|espardimientu]]. En particular, la función de densidá de masa

: <math>\varphi_{0,t}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi t\,}}\exp\left(-\frac{x^2}{2t}\right), </math>

pa la distribución normal con esperanza 0 y varianza ''t'' satisfai la ecuación d'espardimientu:

: <math> \frac{\partial}{\partial t} \varphi_{0,t}(x) = \frac{1}{2} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \varphi_{0,t}(x). </math>

Si la densidá de masa pa un tiempu ''t''&nbsp;=&nbsp;0 vien dada pola [[delta de Dirac]], lo cual significa, esencialemente que tola masa ta primeramente concentrada nun puntu, entós la función de densidá de masa nel tiempu ''t'' va tener la forma de la función de densidá de la normal, con varianza creciendo linealmente con ''t''. Esta conexón nun ye coincidencia: l'espardimientu deber a un [[movimientu browniano]] que queda descritu matemáticamente por un [[procesu de Wiener]], y tal procesu nun tiempu ''t'' tamién va resultar normal con varianza creciendo linealmente con ''t'''.

Más xeneralmente, si la densidá de masa inicial vien dada por una función φ(''x''), entós la densidá de masa nun tiempu ''t'' va venir dada pola [[convolución]] de φ y una función de densidá normal.
[[Ficheru:FitNormDistr.tif|thumb|300px|Aplicación de la distribución normal de probabilidá acumulada a agües mensuales en Surinam.<ref>CumFreq software p'adecuación de distribuciones de probabilidá [https://www.waterlog.info/cumfreq.htm]</ref> ]]

=== Hidroloxía ===
Na [[hidroloxía]] presumir que precipitaciones y descagas de ríos de llarga duración (por casu mensuales o añales) siguen una [[distribución normal]] d'alcuerdu al [[teorema de la llende central]].
<ref>{{cita llibru |apellíu=Ritzema (ed.) |nome=H.P.|títulu=Frequency and Regression Analysis|añu=1994 |publicación=Chapter 6 in: Drainage Principles and Applications, Publication 16, International Institute for Land Reclamation and Improvement (ILRI), Wageningen, The Netherlands |páxines=175–224|url=http://www.waterlog.info/pdf/freqtxt.pdf|isbn=90-70754-33-9}}</ref>

La imaxe azul ilustra un exemplu del axuste de la distribución normal a datos d'agua mensual d'Ochobre y amuesa los [[Intervalu de confianza|intervalo d'enfotu]] basaos na [[distribución binomial]].

== Usu n'estadística computacional ==

=== Xeneración de valores pa una variable aleatoria normal ===
Pa simulaciones por ordenador ye útil, n'ocasiones, xenerar valores que podríen siguir una distribución anormal.
Hai dellos métodos y el más básicu d'ellos ye invertir la función de distribución de la normal estándar p'asina poder realizar la grafica.
Conócense otros métodos más eficientes, unu de los cualos ye la [[tresformamientu de Box-Muller]]. Un algoritmu inclusive más rápidu ye'l [[algoritmu zigurat]]. Dambos alderíquense más embaxo. Un aproximamientu simple a estos métodos ye programalos como sigue: a cencielles súmense 12 esviaciones uniformes (0,1) y réstense 6 (la metá de 12). Esto ye bastante preséu en munches aplicaciones. La suma d'esos 12 valores sigue la [[distribución de Irwin-Hall]]; son escoyíos 12 pa dar a la suma una varianza d'unu, esautamente. Les esviaciones aleatories resultantes tán llindaes al rangu (−6,&nbsp;6) y tienen una densidá que ye una doceava seición d'un aproximamientu polinomial d'undécimu orde a la distribución normal <!-- REVISAR LA TRADUCCIÓN D'ESTA ÚTLIMA FRASE "and have a density which is a 12-section eleventh-order polynomial approximation to the normal distribution" -->.<ref>Johnson NL, Kotz S, Balakrishnan N. (1995) Continuous Univariate Distributions Volume 2, Wiley. Equation(26.48)</ref>

El [[métodu de Box-Muller]] diz que, si tienes dos númberos aleatorios ''O'' y ''V'' [[distribución uniforme continua|uniformemente distribuyíos]] en [0, 1], (por casu, la salida d'un [[xenerador de númberos aleatorios]]), entós ''X'' y ''Y'' son dos variables aleatories estándar de normal distribuyíes, onde:

:<math>X = \sqrt{- 2 \ln O} \, \cos(2 \pi V) .</math>

:<math>Y = \sqrt{- 2 \ln O} \, \sin(2 \pi V) .</math>

Esta formulación apaez porque la distribución χ² con dos graos de llibertá (vease la propiedá 4, más arriba) ye una variable aleatoria [[distribución esponencial|esponencial]] fácilmente xenerada (la cual correspuende a la cantidá ln''O'' nestes ecuaciones). Asina, un ángulu escoyíu uniformemente alredor d'un círculu vía la variable aleatoria ''V'' y un radiu escoyíu pa ser esponencial tresfórmense entós en coordenaes ''x'' y ''y'' de normal distribuyíes.
 
Un métodu muncho más rápido que'l tresformamientu de Box-Muller, pero que sigue siendo exactu ye'l llamáu [[algoritmu Zigurat]], desenvueltu por [[George Marsaglia]]. N'alredor del 97% de los casos usa namái dos númberos aleatorios, un enteru aleatoriu y un uniforme aleatoriu, una multiplicación y un test-si <!-- ARTÍCULU ORIXINAL "...one random integer and one random uniform, one multiplication and an if-test"-->. Namái un 3% de los casos onde la combinación d'estos dos cai fora del "corazón del zigurat", un tipu de refuga muestral usando llogaritmos, esponenciales y númberos aleatorios más uniformes tendríen de ser emplegaos.

Hai tamién dalguna investigación sobre la conexón ente la rápida [[tresformamientu de Hadamard]] y la distribución normal, en virtú de que'l tresformamientu emplega namái adición y sustracción y pol teorema central de la llende los númberos aleatorios de cuasi cualquier distribución van ser tresformaos na distribución normal. Nesta visión pueden combinase una serie de tresformamientos de Hadamard con permutaciones aleatories pa devolver conxuntos de datos aleatorios de normal distribuyíos.

=== Aproximamientos numbéricos de la distribución normal y la so función de distribución ===
La función de distribución normal úsase estensamente en computación científica y estadística. Poro, foi implementada de delles formes.

Abramowitz y Stegun (1964) dan la conocida como "meyor aproximamientu de Hastings" para Φ(''x'') con ''x > 0'' con un error absolutu |''ε''(''x'')|&nbsp;<&nbsp;7.5·10<sup>−8</sup> (algoritmu [http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_932.htm 26.2.17]):
: <math>
 \Phi(x) = 1 - \phi(x)\Big(b_1t + b_2t^2 + b_3t^3 + b_4t^4 + b_5t^5\Big) + \varepsilon(x), \qquad t = \frac{1}{1+b_0x}, </math>
 
onde ''ϕ''(''x'') ye la función de densidá de la distribución normal estándar, :<math>

 \phi(x) = \tfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\, y^{- \frac{\scriptscriptstyle 1}{\scriptscriptstyle 2} x^2}
 </math>
y les constantes son ''b''<sub>0</sub> = 0.2316419, ''b''<sub>1</sub> = 0.319381530, ''b''<sub>2</sub> = −0.356563782, ''b''<sub>3</sub> = 1.781477937, ''b''<sub>4</sub> = −1.821255978, ''b''<sub>5</sub> = 1.330274429.

La [[Biblioteca Científica GNU]] calcula valores de la función de distribución normal estándar usando aproximamientos por [[funciones racionales]] [[a cachos]]. Otru métodu d'aproximamientu usa polinomios de tercer grau n'intervalos.<ref>{{cita web | url=http://www.doc.ic.ac.uk/~dfg/AndysSplineTutorial/BSplines.html | títulu=B-Spline curves | autor=Andy Salter | fechaaccesu=5 d'avientu de 2008}}</ref> L'artículu sobre'l [[llinguaxe de programación bc]] apurre un exemplu de cómo computar la función de distribución en GNU bc.

Pa un discutiniu más detalláu sobre cómo calcular la distribución normal, vease la seición 3.4.1C. de ''[[The Art of Computer Programming]]'' (''L'arte de la programación por ordenador''), de [[Donald Knuth|Knuth]].
<!---

== Usu de tables ==
La probabilidá de qu'una variable aleatoria (que sigue una distribución normal) atopar ente dos valores determinaos va ser polo xeneral malo de calcular (hai qu'usar la integral de la función de probabilidá). Pa ello, esisten [[b:Tables estadístiques/Distribución normal|tables colos valores correspondientes]], magar éstos calcúlense pa la distribución Normal Tipificada.

Básicamente, búscase un valor de ''x'' (por casu, <math>x=0,37 \,\!</math>), y la tabla danos la probabilidá de que <math>Z\le x \,\!</math>: <math>P(Z_{(0,1)} \le 0,37)= 0,644 308 699 \,\!</math>

Nel casu de que la distribución nun seya estándar, por casu, <math>N(\mu ,\sigma^2) \,\!</math> con <math>\mu =2 \,\!</math> y <math>\sigma^2 =9 \,\!</math>, vamos tener que tipificar la variable:
<math>P(X_{(2,3)} \le 2,6)= P\left (\frac{X_{(2,3)} -\mu }{\sigma}\le \frac{2,6-\mu}{\sigma} \right)=P \left(Z_{(0,1)} \le \frac{2,6-2}{3}\right)=P \left(Z_{(0,1)} \le 0,2 \right) \,\!</math>
Llógrase una variable ''Z'' normal, qu'amás ta tipificada. Si agora consúltase na tabla, <math>P(X_{(2,3)} \le 2,6) = P(Z_{(0,1)} \le 0,2) = 0,579 259 687 \,\!</math>

Unu de los programes más usaos pal cálculu de funciones como la distribución normal ye R. 
-->

== Ver tamién ==
* [[Carl Friedrich Gauss]]
* [[Cociente intelectual]]
* [[Desenfoque gaussiano]] y [[convolución]] usando la distribución normal como nucleu.
* [[Distribución χ²]]
* [[Distribución loxística]]
* [[Distribución log-normal]]
* [[Distribución normal multivariante]]
* [[Distribución t de Student]]
* [[Función gaussiana]] (campana de Gauss)
* [[Logit|Función logit]]
* [[Función probit]]
* [[Gráficu de probabilidá normal]]
* [[Iannis Xenakis]], distribución gaussiana en [[música]]
* [[Procesu de Gauss]]
* [[Prueba de Mann-Whitney]] Métodu non paramétrico qu'avera a una normal
* [[b:es:Tablas estadísticas/Distribución normal|Tabla distribución normal tipificada]]
* [[Tamañu de la muestra]]
* [[Teorema de la llende central|Teorema Central de la Llende]]
* [[Tables estadístiques]]

== Referencies ==
{{llistaref}}

== Enllaces esternos ==
* {{Enllaz rotu|1=Graficadora de la distribución normal |2=http://www.calest.com/DistNormal_es.aspx |date=August 2024 |bot=InternetArchiveBot }} - CalEst na Web
* [http://www.calest.com/CalculadoraDist.aspx Calculadora de distribuciones (discretes y continues)] - CalEst na Web
* [http://www.calest.com/Graficadora.aspx Graficadora d'una o delles distribuciones normales] - CalEst na Web
* [https://web.archive.org/web/20060301220448/http://www.digitalreview.com.ar/distribucionnormal/ Árees so la curva normal] Tabla conteniendo los valores de la función normal
* [http://www.ugr.es/~jsalinas/normal.htm Calculadora de probabilidaes nuna distribución Normal]. Dexa faer cálculos direutos ya inversos.
* [http://www.dynstats.com DynStats: Llaboratoriu estadísticu online con calculadora de funciones de distribución] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180330010335/http://www.dynstats.com/ |date=2018-03-30 }}
* [http://www.vaxasoftware.com/doc_edu/mat/dnormal.pdf Tabla de la distribución normal] Tabla de la distribución normal en formatu PDF

=== Axuste por [[software]] d'una [[distribución de probabilidá]] a un conxuntu de datos ===
* [http://www.mathwave.com/articles/distribution_fitting.html Easy fit] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180223085046/http://www.mathwave.com/articles/distribution_fitting.html |date=2018-02-23 }}, "data analysis & simulation" 
* {{enllaz rotu|1=[http://www.mathworks.nl/products/statistics/deamos.html?file=/products/deamos/shipping/stats/cfitdfitdemo.html MathWorks Benelux] |2=http://www.mathworks.nl/products/statistics/deamos.html?file=%2Fproducts%2Fdemos%2Fshipping%2Fstats%2Fcfitdfitdemo.html |bot=InternetArchiveBot }} 
* [http://www.vosesoftware.com/ ModelRisk], "risk modelling software"
* Ricci distributions, [http://cran.r-project.org/doc/contrib/Ricci-distributions-en.pdf fitting distrubutions with R] , Vito Ricci, 2005 
* Risksolver, [http://www.solver.com/risksolver8.htm automatically fit distributions and parameters to samples]
* [http://www.statsoft.com/textbook/distribution-fitting/ StatSoft distribution fitting] 
* [http://www.waterlog.info/cumfreq.htm CumFreq] , llibre ensin costu, inclúi la distribución normal, la [[distribución lognormal|lognormal]], raigañu-normal, cuadráu-normal, y [[intervalu de confianza|intervalo d'enfotu]] a base de la [[distribución binomial]]
* {{Enllaz rotu|1=Calculadora Distribución normal |2=http://www.elektro-energetika.cz/calculations/non.php?language=espanol |date=August 2024 |bot=InternetArchiveBot }}
* [http://cajael.com/mestadisticos/T7DContinuas/node3.php Calcular la probabilidá d'una distribución normal] con [[R (llinguaxe de programación)]]
* Implementación Real en C del algoritmu [https://github.com/juandavm/em4gmm Expectation Maximization] (EM) pa envalorar [https://github.com/juandavm/em4gmm Gaussian Mixture Models] (GMMs).

{{ORDENAR:Normal, Distribucion}}

{{Tradubot|Distribución normal}}

{{control d'autoridaes}}
[[Categoría:Distribuciones continues]]
[[Categoría:Estadística]]