Ver la fonte de Conmutatividá

[[Ficheru:Commutative Addition.svg|thumb|upright=1.5|Exemplu qu'amuesa la conmutatividá de la suma: 3&nbsp;+&nbsp;2&nbsp;=&nbsp;2&nbsp;+&nbsp;3.]]
En [[matemátiques]], la '''propiedá conmutativa''' o '''conmutatividá''' ye una propiedá fundamental que tienen delles [[operación binaria|operaciones]] según la cual la resultancia d'operar dos elementos nun depende del orde en que se tomen. Esto cumplir na [[Adición (matemática)|adición]] y la [[multiplicación]] ordinaries: el ''orde de los sumandos nun alteria la suma'', o ''l'orde de los factores nun alteria'l productu''. 

La conmutatividá de les operaciones elementales de sumar y multiplicar yá yera conocida implícitamente dende l'antigüedá, anque nun foi llamada asina hasta principios del sieglu XIX, dómina en que les matemátiques contemporánees empezaben a [[formalización|formalizase]]. Les socesives ampliaciones del conceutu de [[númberu]] (númberos naturales, númberos enteros, númberos racionales, númberos reales) ampliaron l'algame de les operaciones de sumar y multiplicar, pero en toes elles caltiénse la conmutatividá. Esta propiedá tamién se satisfai en munches otres operaciones, como la suma de vectores, polinomios, matrices, funciones reales, etc., o'l productu de polinomios o de funciones reales.

En contraposición a la adición y la multiplicación de númberos, la [[sustraición]] y la [[división]] nun son operaciones conmutatives. Ente les operaciones non conmutatives cabo destacar tamién la [[función compuesta|composición de funciones]], el [[multiplicación de matrices|productu de matrices]] y el [[productu vectorial]].

A pesar de ser una propiedá aplicada básicamente a les operaciones matemátiques, la conmutatividá o la non conmutatividá son relevantes n'otros campos cercanos como la [[lóxica proposicional]] y delles operaciones de [[teoría de conxuntos]], y en delles aplicaciones físiques tales como'l [[Rellación d'indetermín de Heisenberg|principiu d'incertidume]] de la [[mecánica cuántica]]. Fora del ámbitu científicu, tamién pueden atopase exemplos na vida cotidiana, una y bones la execución consecutiva de dos remanes puede tener un resultáu distinta según l'orde en que s'executen.

== Definición ==
Ello ye que la conmutatividá ye un casu particular del conceutu de [[función simétrica]]. N'efeutu, una operación binaria en ''M'' nun ye más qu'una aplicación μ: ''M''&nbsp;×&nbsp;''M'' <math>\rightarrow</math> ''M'', y afirmar qu'esta ye simétrica, μ(''x'',''y'') = μ(''y'',''x''), ye esautamente lo mesmo que lo que rique la propiedá conmutativa.

Dada una operación binaria <math>\star</math> un conxuntu ''M'', dizse que dos elementos ''x'', ''y'' de ''M'' conmutan (o que son ''permutables'') cuando se cumple que ''x''<math>\star</math>''y'' = ''y''<math>\star</math>''x''. Con éses una operación ye conmutativa cuando dos elementos cualesquier conmutan.

== Exemplos básicos: adición y multiplicación de númberos ==
La importancia fundamental de la propiedá conmutativa anicia nel fechu de que la adición y la multiplicación de númberos naturales, los númberos que dexen cuntar los conxuntos finitos, son conmutatives. Por casu:
: <math>
 2 + 3 =
 5 =
 3 + 2
</math>

: <math>
 2 \cdot 3 =
 6 =
 3 \cdot 2
</math>

Espresáu de manera xeneral: pa cualesquier ''x'', ''y'' de '''N''':
: <math>
 x + y =
 y + x
</math>

: <math>
 x \cdot y =
 y \cdot x
</math>

L'ampliación del sistema de los númberos naturales a otros [[número|sistemes numbéricos]]: [[númberu enteru|númberos enteros]] (<math>\mathbb{Z}</math>), [[númberu racional|númberos racionales]] (<math>\mathbb{Q}</math>), [[númberu real|númberos reales]] (<math>\mathbb{R}</math>), y [[númberu complexu|númberos complexos]] (<math>\mathbb{C}</math>), faise estendiéndose les operaciones de adición y multiplicación, y de manera que éstes siguen siendo conmutatives. Por casu:
: <math>
 \cfrac{1}{2} + \cfrac{1}{3} =
 \cfrac{1}{3} + \cfrac{1}{2}
</math>

Esto nun quier dicir que cualquier ampliación d'un sistema numbéricu necesariamente vaya a respetar les propiedaes previes. L'exemplu más importante d'esti fechu vien dau pol cuerpu de los [[cuaterniones]] ''H'', que, al igual que'l de los númberos complexos, tamién ye una estensión del cuerpu de los númberos reales, pero con trés [[unidá imaxinaria|unidaes imaxinaries]] ''i'', ''j'', ''k'' en llugar d'una. La multiplicación de ''H'' ''non'' ye conmutativa,{{sfn|Bourbaki|1970|p= A&nbsp;III.19}} una y bones por casu ''i''·''j'' = ''k'', ye distintu de ''j''·''i'' = -''k''.

En contraste coles operaciones de adición y multiplicación, les operaciones que les dexen invertir, [[resta|sustraición]] y [[División (matemática)|división]], son claramente ''non conmutatives''. Basta poner un par d'exemplos:
* La [[resta|substraición]] nun ye conmutativa, yá que 1-2 <math>\neq</math> 2-1.
* La [[división]] nun ye conmutativa, yá que 1/2 <math>\neq</math> 2/1.
Nótese que pa poder efectuar estos cálculos hai que trabayar nel sistema numbéricu apropiáu: '''Z''' pa poder restar, y '''Q''' pa poder estremar por un númberu distintu de &nbsp;0

== Propiedaes ==

Ye importante destacar que pa sacar provechu de la conmutatividá d'una operación ye necesariu qu'ésta seya [[Asociatividá (álxebra)|asociativa]], yá que nesti casu la composición de ''n'' elementos ''x''<sub>1</sub>, …, ''x''<sub>''n''</sub> puede representase (ensin paréntesis) como ''x''<sub>1</sub><math>\star</math>…<math>\star</math>''x''<sub>''n''</sub>. Por casu{{sfn|Bourbaki|1970|p= A&nbsp;I.8}}{{sfn|Lang|2002|p=5}}
* (''Teorema de conmutatividá'') Si una operación ye asociativa y conmutativa entós la composición de ''n'' elementos puede calculase en 
:pa cualesquier permutación (y 1,..., y n) de los índices (1,..., n ).
Si una operación <math>\star</math> asociativa y dos elementos ''x'', ''y'' conmutan, entós tamién conmutan les sos «potencies»: <math>(\star^m x) \star (\star^n y) = (\star^n y) \star (\star^m x)</math>, pa cualesquier ''m'' y ''n'' númberos naturales non nulos. En particular, toles potencies» <math>\star^n x</math> (''n''> 0) conmutan ente elles.
* Sía <math>\star</math> operación asociativa en ''M''. Si ''x'' conmuta con ''y'' y con ''z'', entós tamién conmuta con ''y''<math>\star</math>''z''

=== Centru ===
{{AP|Centru (álxebra)}}
Dau un conxuntu ''M'' con una operación interna, el [[Centru (álxebra)|centru]] de M ye'l subconxuntu formáu polos elementos que conmutan con tolos demás; dacuando represéntase por Z(''M''). Afirmar que la operación ye conmutativa significa que'l centru de ''M'' ye tou ''M''.

De resultes de la postrera de les propiedaes anteriores, si la operación ye asociativa entós el centru de ''M'' ye una parte estable pa la operación (esto ye, si dos elementos ''x'', ''y'' pertenecen al centru entós x <math>\star</math> tamién pertenez.)

== Estructures alxebraiques y conmutatividá ==

Una [[estructura alxebraica]] vien dada por unu o dellos conxuntos dotaos d'[[operación binaria|operaciones binaries]] o operaciones esternes. Na definición de cada tipu d'estructura alxebraica impon qu'estes operaciones cumplan ciertes propiedaes, ente les que puede tar la propiedá conmutativa. Cuando en dalguna d'estes operaciones nun s'impon que satisfaiga la propiedá conmutativa pero sicasí satisfacer, entós añader l'axetivu ''conmutativu'' el nome de la estructura en cuestión.{{sfn|Bourbaki|1970|p= cap.&nbsp;1.}}
* Un [[Magma (álxebra)|magma]] ye un conxuntu dotáu d'una operación binaria. Cuando esta ye conmutativa llámase ''magma conmutativu''.
* Un [[monoide]] ye un conxuntu dotáu d'una operación asociativa con elementu neutru. Si tamién ye conmutativa, dizse ''monoide conmutativu''. Por casu, ('''N''',+) y ('''N''',·) son monoides conmutativos.
* Un [[Grupu (matemática)|grupu]] ye un conxuntu dotáu d'una operación asociativa, con [[elementu neutru]], y onde tou elementu ye [[Elementu simétricu|simetritzable]]. Si la operación ye conmutativa llámase '''[[grupu conmutativu]]''' o ''grupu abelianu''. Por casu, ('''Z''',+) ye un grupu conmutativu.
* Un [[Aniellu (matemática)|aniellu]] ye un conxuntu ''A'' dotáu de dos operaciones binaries, davezu denotadas con notación aditiva (+) y notación multiplicativa (·). Al respective de la primera, (''A'',+) ye un ''grupu conmutativu''. Al respective de la segunda, (''A'',·) ye un monoide. Amás, la segunda ten de ser [[Distributividá|distributiva]] al respective de la primera. Cuando la multiplicación ye conmutativa, llámase '''[[aniellu conmutativu]]'''. Por casu, ('''Z''',+, ·) ye un aniellu conmutativu.
* Un [[Cuerpu (matemátiques)|cuerpu]] ye un aniellu onde 0≠1 y tou elementu non nulu ye invertible. Un cuerpu llámase '''cuerpu conmutativu''' cuando la multiplicación ye conmutativa. Por casu, cola suma y productu habituales, '''Q''', '''R''' y '''C''' son cuerpos conmutativos, ente que'l cuerpu de los cuaterniones '''H''' ye un cuerpu non conmutativu. (Nótese, sicasí, que dellos autores prefieren riquir la conmutatividá del productu dientro de la definición de cuerpu, en que'l so contestu los cuerpos non conmutativos son llamaos ''aniellos de división''.)
* Un [[espaciu vectorial]] sobre un cuerpu ''K'' ye un conxuntu Y dotáu d'una adddició al respective de la que (''Y'',+) ye un grupu conmutativu, y de una operación esterna que dexa multiplicar elementos de ''Y'' (vectores) pa elementos de K (angulares). Si en llugar d'un cuerpu considérase un aniellu la estructura resultante llámase [[Módulu (matemática)|módulu]].
* Dau un cuerpu conmutativu ''K'' (o, más xeneralmente, un aniellu conmutativu), una ''K''-[[Álxebra sobre un cuerpu|álxebra]] ye un conxuntu A dotáu d'una estructura de ''K''-espaciu vectorial (''K''-módulu si ''K'' ye un aniellu) y de una segunda operación binaria, usualmente representada con notación multiplicativa. Cuando esta operación ye conmutativa llámase ''K-''álxebra conmutativa''. Por casu, '''C''' y '''H''' son '''R'''-álxebres asociatives y unitaries; la primera ye conmutativa y la segunda non. Otru exemplu de gran importancia ye'l conxuntu de los polinomios nuna variable con coeficientes en ''K'', ''K''[X], que coles operaciones habituales de suma y productu de polinomios y de productu por angulares ye una ''K''-álxebra asociativa, conmutativa y unitaria.

Hai, sicasí, un casu especial nel que l'axetivu ''conmutativu'' nun tien esautamente'l mesmu significáu que nos casos anteriores:

* Una ''K''-[[álxebra de Lie]] ye una ''K''-álxebra que'l so productu, usualmente denotado por (''x'',''y'') <math>\mapsto</math> [''x'',''y''], satisfai les propiedaes de ser [[aplicación alternada|alternáu]] ([''x'',''x''] = 0 pa tou ''x'') y la [[identidá de Jacobi]]. Dizse que ye una ''K''-'''álxebra de Lie conmutativa''' cuando'l productu de dos elementos cualesquier ye nulu: [''x'',''y'']=0.{{sfn|Bourbaki|1971|p= cap.&nbsp;1}}

L'axetivu ''conmutativu'' apaez tamién nel nome d'una caña del [[Álxebra astracta|álxebra]]: el '''[[álxebra conmutativa]]''', qu'estudia los [[aniellu conmutativu|aniellos conmutativos]] y los sos [[Módulu (matemática)|módulos]].

== Historia ==

[[Ficheru:Commutative Word Origin.PNG|right|thumb|upright=1.5|El primer usu conocíu del términu conmutativu» foi nun artículu de servos en francés, en 1814.]]
Los primeros usos implícitos de la propiedá conmutativa remontar a l'antigüedá. Los [[Exiptu|exipcios]] utilizaben la propiedá conmutativa de la multiplicación pa simplificar el cálculu de [[Productorio|productos]].{{sfn|Lumpkin|1997|p=11}}{{sfn|Robins|Shute|1987}}
Na [[Antigua Grecia]], [[Euclides]] asumió la propiedá conmutativa de la multiplicación na so obra ''[[Elementos d'Euclides|Elementos]]''.{{sfn|O'Connor|Robertson|2005}}
Los usos formales de la propiedá conmutativa apaecieron a finales del sieglu XVIII y los entamos del XIX, cuando los matemáticos empezaron a trabayar nel campu de la teoría de funciones.

El primer usu documentada del axetivu ''conmutativu'' foi nun artículu de [[François Servois]] de 1814 los ''Annales de Gergonne'',{{sfn|Servois|1814|p= 98}}{{sfn|Miller|2013}}{{sfn|O'Connor|Robertson|2000}}
onde apaez la espresión en francés ''conmutatives ente elles'' pa describir, na terminoloxía actual, el fechu de que dos funciones conmutan.
En 1841 Duncan Farquharson Gregory usó la espresión n'inglés ''commutative law'' nel so llibru ''Examples of the processes of the differential and integral calculus''{{sfn|Gregory|1841|p= 233}} pa referise a la posibilidá de conmutar dos operaciones. Esti usu foi recoyíu pocu dempués, en 1844, por [[George Boole]] nun artículu en ''Philosophical Transactions''.{{sfn|Boole|1844|p= 225}}

== Otros usos y exemplos de conmutatividá ==
{{Regles de tresformamientu}}

=== Lóxica proposicional ===
La propiedá conmutativa tamién ye aplicable a delles operaciones de la [[lóxica proposicional]]. En lóxica proposicional, la conmutación atopar en delles regles de sustitución:
:<math>(P \lor Q) \Leftrightarrow (Q \lor P)</math>
y :<math>(P
\land Q) \Leftrightarrow (Q \land P)</math>, onde "<math>\Leftrightarrow</math>"
ye un [[símbolu (lóxica)|símbolu]] [[metalógica|metalógico]] que significa «nuna demostración formal, puede sustituyise con...».

== Conectivos de funciones de verdá ==
La conmutatividá ye una propiedá de delles [[conectiva lóxica|conectivas lóxiques]] de la [[lóxica proposicional]], que s'espresa con [[equivalencia lóxica|equivalencies lóxiques]]:

''Conmutatividá de la conxunción''
:<math>(P \land Q) \leftrightarrow (Q \land P)</math>
''Conmutatividá de la dixunción''
:<math>(P \lor Q) \leftrightarrow (Q \lor P)</math>
''Conmutatividá de la implicación'' (tamién llamada llei de la permutación)
:<math>(P \to (Q \to R)) \leftrightarrow (Q \to (P \to R))</math>
''Conmutatividá de la equivalencia'' (tamién llamada llei conmutativa completa de la equivalencia)
:<math>(P \leftrightarrow Q) \leftrightarrow (Q \leftrightarrow P)</math>

=== Teoría de conxuntos ===
La [[unión]] y la [[Interseición de conxuntos|interseición]] de [[conxuntu|conxuntos]] son operaciones conmutatives.{{sfn|Bourbaki|1970.|p= Y&nbsp;II.23.}} Anque estes operaciones pueden efectuase con families arbitraries de conxuntos, cuando se trata de dos conxuntos estes propiedaes esprésense :<math>A \cup
B = B \cup A, \quad A \cap B = B \cap A</math>.

La suma y el productu de cardinales son operaciones conmutatives.{{sfn|Bourbaki|1970.|p= Y&nbsp;III.26.}}
Si <math>\mathfrak{a}</math> i <math>\mathfrak{b}</math> son dos cardinales, entós :<math>\mathfrak{a}
+ \mathfrak{b} = \mathfrak{b} + \mathfrak{a}, \quad \mathfrak{a} \mathfrak{b} = \mathfrak{b} \mathfrak{a}</math>.
Esto implica en particular que la suma y el productu de númberos naturales (esto ye, los cardinales de los [[conxuntu finito|conxuntos finitos]]) son conmutatives. La conmutatividá de la suma ye consecuencia de la de la unión de conxuntos. La conmutatividá del productu ye consecuencia de qu'un productu cartesianu de conxuntos tien el mesmu númberu d'elementos independientemente de cómo se realice esti productu.

En contraste colos cardinales, polo xeneral la suma y el productu d'[[ordinal]]es transfinitos nun son conmutatives.{{sfn|Cantor|2006|p=131}}{{sfn|Halmos|p=83-84}} Por casu, si ω ye l'ordinal de&nbsp;'''N''', 1 + ω ≠ ω + 1.

== Otres operaciones alxebraiques ==
Amás de la adición y multiplicación de númberos, hai otres operaciones análogues que son conmutatives.
Ente elles destaca la adición de [[Vector (matemática)|vectores]] nun espaciu vectorial cualesquier, como por casu l'espaciu euclidianu '''R'''<sup>''n''</sup>, l'espai M<sub>''m,n''</sub>('''R''') de les matrices ''m''×''n'' con coeficientes reales, o l'espaciu de les [[función real|funciones reales]] <math>\mathcal{F}</math>(''Y'','''R''') definíes nun conxuntu cualesquier ''Y''.
Tamién se diz que'l [[productu angular]] de vectores nun espaciu euclidianu ye conmutativu, anque, al nun tratase d'una operación interna, sería más apropiáu dicir que ye ''simétricu''.

=== Vida cotidiana ===
Na vida cotidiana pueden atopase numberosos exemplos d'operaciones conmutatives, como por casu l'aición de ponese los calcetos: nun importa qué calcetu se ponga primeru, de cualesquier de los dos maneres la resultancia final (tener los dos calcetos puestos) ye'l mesmu. Un exemplu qu'utiliza la conmutatividá de la adición reparar cuando se paga un productu o serviciu con monedes: independientemente del orde en que se dean nel caxeru, el total acumuláu siempres ye'l mesmu.

== Exemplos d'operaciones non conmutatives ==

=== Teoría de conxuntos ===
La [[composición de funciones]] nun ye una operación conmutativa. Por casu, consideremos les funciones ''f'',''g'': '''R''' → '''R''' definíes por ''f''(''x'')=''x''+1, ''g''(''x'')=''x''<sup>2</sup>. Entós
:<math>(g \circ f)(x) = x^2+2x+1</math> &nbsp; que ye distintu de &nbsp; <math>(f \circ g)(x) = x^2+1</math>.

Un casu particular interesante ye'l de les biyecciones d'un conxuntu en sí mesmu, esto ye, les permutaciones, que formen un grupu dichu grupu simétricu. Esti nun ye conmutativu cuando'l conxuntu tien 3 o más elementos.

== Operaciones alxebraiques ==
Tocantes a operaciones non conmutatives en matemátiques, y amás de la sustraición y división yá mentaes, delles operaciones binaries non conmutatives son les siguientes:
La [[potenciación]] nun ye conmutativa, yá que, por casu, 2³ = 8 ye distintu de 3² = 9.
La [[productu de matrices|multiplicación de matrices]] nun ye conmutativa; por casu, :<math>

\begin{bmatrix}
0 & 0 \\
1 & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
</math>, que ye distintu de <math>
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0 & 0 \\
1 & 0
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{bmatrix}
</math>.
Más xeneralmente, si ''n''≥2, l'aniellu de les matrices cuadraes M<sub>''n''</sub>('''R''') nun ye conmutativu, y el so centru ta formáu poles matrices angulares, esto ye, les matrices múltiples de la identidá.{{sfn|Bourbaki|1970|p= A II.182}}
El productu vectorial de dos vectores nel espaciu tridimensional ye [[Anticonmutatividá|anticonmutativa]], esto ye, b × a = - a × b. Asina tenemos, por casu, '''i'''×'''j''' = '''k''', diferent de '''j'''×'''i''' = -'''k'''.

=== Vida cotidiana ===
Na vida del día ente día pueden atopase ensame d'exemplos d'operaciones non conmutatives.
Un exemplu senciellu podría ser el de llavar y planchar la ropa: les aiciones de llavar y planchar (nesti orde) producen un resultáu distinta que planchar y depués llavar.
Otru exemplu ye la [[concatenación]] de testos, esto ye, l'aición de xuntar cadenes de calteres. Nun ye lo mesmo escribir LA y depués CA (LACA) qu'escribir primeru CA y depués LA (CALA).
Finalmente, un últimu exemplu: los movimientos del [[cubu de Rubik]] non conmutan (ello ye que toos ellos formen un grupu non conmutativu).

== Conmutador ==

{{AP|Conmutador de dos operadores}}

El [[Conmutador de dos operadores|conmutador]] da una indicación de la midida en qu'una cierta operación binaria nun consigue ser conmutativa. Pa poder definilo, hai una cierta estructura adicional, yá seya que la operación ye la d'un grupu, o bien que seya la multiplicación nun aniellu o álxebra.

=== Nun grupu ===

Nun [[Grupu (matemática)|grupu]], el '''conmutador''' de dos elementos ''x'' y ''y'' ye l'elementu:
: <math>
 [x,y] =
 x^{-1} y^{-1} xy
</math>

(Tamién puede definise con otru conveniu, invirtiendo les segundes ''x'' y ''y'' en llugar de les primeres.)
Ta claro que [''x'',''y''] = ''y'' (elementu neutru del grupu) si ''x'' y ''y'' conmutan. Un grupu ye conmutativu [[si y namái si|sii]] tolos conmutadores son l'elementu neutru.

El conxuntu de los conmutadores d'un grupu ''G'' nun ye polo xeneral un subgrupu, pero xenera un subgrupu normal llamáu subgrupu de los conmutadores o subgrupu deriváu. El cociente G / D de G pol so subgrupu deriváu ye un grupu conmutativu llamáu ''grupu abelianitzat'' de ''G''; ye'l más grande de los cocientes conmutativos de&nbsp;''G''.

=== Nun aniellu o una álxebra ===
Nun [[Aniellu (matemática)|aniellu]] o, más xeneralmente, nuna álxebra, el '''conmutador''' de dos elementos ''x'' y ''y'' ye l'elementu :[''x'',''y'']
= ''xy'' − ''yx''.
De nuevu, ta claro que [''x'', ''y''] = 0 sii ''x'' y ''y'' conmutan. Un aniellu o álxebra son conmutativos si tolos conmutadores son nulos.

Si ''A'' ye una ''K''-álxebra asociativa, entós el productu (''x'',''y'') <math>\mapsto</math> [''x'',''y''] definíu pol conmutador ye alternáu y satisfai la [[identidá de Jacobi]], de manera A ye tamién una ''K''-álxebra de Lie. La álxebra asociativa ''A'' ye conmutativa si la so álxebra de Lie acomuñada tamién lo ye.

== Propiedaes rellacionaes ==

=== Asociatividá ===
{{AP|Propiedá asociativa}}

La propiedá asociativa ta bien rellacionada cola conmutativa. La propiedá asociativa d'una espresión que contién dos o más escurrimientos del mesmu operador postula que l'orde que se lleven a cabu les operaciones nun afecta al resultáu final, siempres que l'orde de los términos nun camude. Otra manera, la propiedá conmutativa diz que l'orde de los términos nun afecta al resultáu final.

La mayoría d'operaciones conmutatives que s'atopen na práutica tamién son asociatives. Sicasí, la conmutatividá nun implica la asociatividá. Un contraejemplo senciellu ye'l siguiente:

:<math>m(x, y) = \frac{x + y}{2}\,.</math>

Esta operación ye claramente conmutativa (l'intercambiu ente ''x'' y ''y'' nun afecta la resultancia final porque se trata d'una suma) pero nun ye asociativa, yá que, por casu, ''m''(1,''m''(2,3)) = 7/4, pero ''m''(''m''(1,2),3) = 9/4. Al nun ser asociativa nun puede aplicase el teorema de conmutatividá, como se ve por casu en que ''m''(1,''m''(2,3))
≠ ''m''(2,''m''(1,3)).

Esiste una rellación interesante ente asociatividá y conmutatividá. Consideremos un conxuntu ''M'' dotáu d'una operación que vamos representar multiplicativamente. Consideremos, pa cada ''a'' de ''M'', les correspondientes traslaciones pola izquierda y la derecha:
: L<sub>''a''</sub>: ''M'' → ''M'', L<sub>''a''</sub>(''x'') = ''ax'', :
R<sub>''a''</sub>: ''M'' → ''M'', R<sub>''a''</sub>(''x'') = ''xa''.
La asociatividá de la operación significa que (''xy'')''z'' = ''x''(''yz'') pa cualesquier ''x,y,z''. Pero esta espresión puede escribise
R<sub>''z''</sub> <math>\circ</math> L<sub>''x''</sub> (''y'') =
L<sub>''x''</sub> <math>\circ</math> R<sub>''z''</sub> (''y''), polo que la operación
ye asociativa si toa traslación pola izquierda conmuta con toa traslación pola derecha.

=== Simetría ===
{{AP|Simetría}}
[[Ficheru:Symmetry Of Addition.svg|right|thumb|Gráficu qu'amuesa la simetría de la función suma.]]
Delles formes de simetría pueden rellacionase direutamente cola conmutatividá. Cuando un operador conmutativu escribi como una función binaria entós la función resultante ye simétrica a lo llargo de la llinia ''y = x''. Por casu, si la función ''f'' representa la suma (una operación conmutativa) de tal manera que ''f''(''x'',''y'') = ''x'' + ''y'', entós ''f'' ye una función simétrica (vease la imaxe de la derecha, onde se repara la simetría al respective de la diagonal).

Tocantes a rellaciones ente dos variables, hai una estrecha conexón ente conmutatividá y la [[rellación simétrica]]. Afirmar qu'una rellación R ye simétrica significa que <math>x\,R\,y \Leftrightarrow y\,R\,x</math>.

== Operadores que non conmutan en mecánica cuántica ==
{{AP|Principiu d'incertidume de Heisenberg}}

En [[mecánica cuántica]], tal como la formuló [[Erwin Schrödinger|Schrödinger]], les magnitúes observables físiques corresponder con un ciertu tipu d'[[Aplicación llinial|operadores lliniales]], los operadores autoadjuntos nun [[espaciu de Hilbert]] apropiáu. Por casu, nun movimientu unidimensional la posición ''x'' y la cantidá de movimientu p d'una partícula tán representaes respeutivamente polos operadores <math>\hat x</math> y <math>\hat p</math>. Cuando l'estáu del sistema representar por aciu una [[función d'onda]] ''ψ''(''x'') de [[Espacios Lp|L²('''R''')]], entós esti operadores interpreten como <math>\hat x \psi = x\,\psi(x)</math> (multiplicar por ''x'') y <math>\hat p = -\mathrm{i} \hbar \,\mathrm{d}/\mathrm{d}x</math> (onde ''ħ'' ye la [[constante de Planck amenorgada]]). Estos dos operadores non conmutan, tal como puede comprobase considerando la resultancia de componelos actuando sobre ''ψ''(''x'') (omitimos el factor constante -i''ħ''):

:<math>x \left({d\over dx} \psi\right) = x \psi'</math> &nbsp;distintu de&nbsp; <math>{d\over dx}(x\psi(x)) = \psi + x\psi'
</math>

Esta non conmutación tamién puede espresase calculando'l so conmutador:
:<math>[\hat x,\hat p] = \mathrm{i} \hbar\, \mathrm{Id}\,.</math>

Según el [[principiu d'incertidume de Heisenberg]], si los operadores que representen dos magnitud observables non conmutan, entós éstes non pueden midise de forma precisa y simultánea. Asina pos la posición y la cantidá de movimientu (nuna direición dada) non pueden determinase simultáneamente. De manera más precisa, esta incertidume mínima vien cuantificada precisamente pol valor esperáu del [[conmutador (matemática)|conmutador]] de los dos operadores, y nel casu que nos ocupa esto significa que les [[Esviación estándard|esviaciones estándares]] de la posición y el momentu satisfaen la desigualdá σ<sub>x</sub>σ<sub>p</sub>

== Referencies ==
{{llistaref|2}}

== Bibliografía ==
{{refcomienza}}
{{columnes|100%}}

=== Llibros ===
* {{cita llibru|apellíu=Bourbaki|nome=N.|títulu=Algèbre, Chapitres 1 à 3|editorial=Hermann|allugamientu=Paris|añu=1970|idioma=francés}}
:''Éléments de mathématique (Elementos de matemática), llibru d'álxebra.''
* {{cita llibru|apellíu=Bourbaki|nome=N.|títulu=Groupes et algèbres de Lie, Chapitre 1|editorial=Hermann|allugamientu=Paris|añu=1971|idioma=francés}}
:''Éléments de mathématique, llibru de grupos y álxebres de Lie.''
* {{cita llibru|apellíu=Bourbaki|nome=N.|títulu=Théorie des ensembles|editorial=Hermann|allugamientu=Paris|añu=1970.|idioma=francés}}
:''Éléments de mathématique, llibru de teoría de conxuntos.''
* {{cita llibru|apellíu=Halmos|nome=Paul R.|títulu=Naive set theory|editorial=Van Nostrand|fecha=1960|allugamientu=Nueva York}}
:''Testu clásicu de teoría de conxuntos.''
* {{cita llibru|apellíu=Cantor|nome=Georg|títulu=Fundamento pa una teoría xeneral de conxuntos editorial=Crítica|fecha=2006|ubicación=Barcelona|isbn=84-8432-695-0}}
* {{cita llibru|apellíu=Castellet|nome=Manuel|apellíu2=Llerena|nome2=Isabel|títulu=Àlgebra llinial i geometria|editorial=Publicacions de la Universitat Autònoma de Barcelona|fecha=1990|ubicación=Inglaterra|isbn=84-7488-943-X|idioma=catalán}}
:''Llibru de primer cursu d'universidá, onde se define o s'estudia la conmutatividá de delles operaciones.''
* {{cita llibru|apellíu=Lang|nome=Serge|títulu=Algebra|edición=3a ed.|editorial=Springer|allugamientu=Nueva York|añu=2002|isbn=0-387-95385-X|idioma=inglés}}
:''Testu clásicu d'álxebra.''
* {{cita llibru|apellíu=Robins|nome=Gay|apellíu2=Shute|nome2=Charles|fecha=1987|títulu=The Rhind mathematical papyrus: An ancient Egyptian text|ubicación=Londres|editorial=British Museum Publications|isbn=0-7141-0944-4|idioma=inglés}}
:''Traducción ya interpretación del [[papiru de Rhind]].''

{{columna nueva|50\%}}

=== Fontes históriques ===
* {{cita web|
apellíu=Boole| nome=George|
artículu=[http://rstl.royalsocietypublishing.org/content/134/225.full.pdf+html On a Xeneral Method in Analysis]|
publicación=Philosophical Transactions|
volume=134|
fecha=1844|
páxina=p. 225-282}}
* {{cita web|
apellíu=Servois|
artículu=[http://www.numdam.org/numdam-bin/fitem?id=AMPA_1814-1815__5__93_0 Analise transcendante. Essai sur un nouveau mode d'exposition des principes du calcul differentiel]|
publicación=Annales de Gergonne|
volume=5|
fecha=1814|
páxina=p. 93-140|
idioma=catalán}}
:"Artículu de servos onde introduz el términu "conmutativu ".''
* {{cita llibru|apellíu=Gregory|nome=Duncan Farquharson|títulu=[https://books.google.es/books?id=h7JT-QDuAHoC Examples of the processes of the differential and integral calculus]|fecha=1841|allugamientu=Cambridge|editorial=University Press}}
:''Llibru de Gregory onde usa la espresión "llei conmutativa".''

:''Artículu de Boole onde usa la espresión "llei conmutativa".''

=== Recursos en llinia ===
* {{cita web|
títulu= Commutative|
url=http://planetmath.org/commutative|
editor=[[PlanetMath]]|
fecha=2013|
idioma=inglés}}
:''Definición de conmutatividá y exemplos senciellos d'operaciones conmutatives y non conmutatives.''
* {{cita web|
url=http://www.ethnombreath.org/resources/lumpkin1997.pdf|
apellíu=Lumpkin|nome=Beatrice|
fecha=1997|
títulu=The Mathematical Legacy Of Ancient Egypt - A Response To Robert Palter|
idioma=inglés}}
:''Artículu ensin publicar que describe la capacidá matemática de les civilizaciones antigües.''
* {{cita web|
apellíu=Miller |nome=Jeff |
títulu= Commutative and distributive |
obra = Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics|
url=http://jeff560.tripod.com/c.html|
fecha=2013|
idioma=inglés}}
:"Páxina sobre los primeros usos de términos matemáticos.''
* {{cita web|
apellíu=O'Connor|nome=J.J.|
apellíu2=Robertson|nome2=Y.F.|
url=http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Real_numbers_1.html|
títulu=The real numbers: Pythagoras to Stevin|
editorial=[[MacTutor|MacTutor History of Mathematics]]|
fecha=2005|
idioma=inglés}}
:''Artículu sobre la hestoria de los númberos reales''
* {{cita web|
apellíu=O'Connor|nome=J.J.|
apellíu2=Robertson|nome2=Y.F.|
url=http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Servois.html |
títulu=François Joseph Servois|
editor=[[MacTutor|MacTutor History of Mathematics]]|
fecha=2000|
idioma=inglés}}
:''Biografía sobre Servois.''
{{final columnes}}
{{reftermina}}

== Ver tamién ==
* [[Anticonmutatividá]]
* [[Distributividá|Propiedá distributiva]]

== Enllaces esternos ==
* [https://www.youtube.com/watch?v=B2mUF91036s Propiedá conmutativa de la suma], videu en YouTube
* [https://www.youtube.com/watch?v=LfICB1TySso Propiedá conmutativa de la multiplicación], videu en YouTube
{{Traducíu ref|ca|Propietat commutativa|oldid=14536360|trad=total}}

{{Tradubot|Conmutatividad}}

{{control d'autoridaes}}
[[Categoría:Álxebra elemental]]
[[Categoría:Álxebra astrauta]]
[[Categoría:Simetría]]
[[Categoría:Rellaciones]]
[[Categoría:Regles de inferencia]]
[[Categoría:Operadores binarios]]
[[Categoría:Conceutos fundamentales de la física]]
[[Categoría:Analís funcional]]