Ver la fonte de Cálculu

{{Tradubot|Cálculo}}
{{otrosusos}}
* Pa cálculu infinitesimal (diferencial o integral) vease [[Cálculu infinitesimal]]
* Pal estudiu de los númberos reales, los complexos, los vectores y les sos funciones vease [[Analís matemáticu]]

Polo xeneral el términu '''cálculu''' (del [[llatín]] ''calculus'' = piedra)<ref>La pallabra castellana cálculu derivar del [[llatín]] ''calculus'' que significa [[piedra]], yá que s'utilizaben quixarros p'aidase na resolución de los problemes de cálculu aritméticu, pa cuntar y realizar les operaciones aritmétiques elementales. En medicina les piedres de la vesícula o del reñón llámense ''cálculos''</ref> fai referencia, indistintamente, a l'aición o la resultancia correspondiente a l'aición de calcular. '''Calcular''', pela so parte, consiste en realizar les operaciones necesaries pa prever la resultancia d'una aición primeramente concebida, o conocer les consecuencies que pueden derivase d'unos datos primeramente conocíos.

Sicasí, l'usu más común del términu ''cálculu'' ye'l '''lóxicu-matemáticu'''. Dende esta perspeutiva, el cálculu consiste nun ''procedimientu mecánicu, o [[algoritmu]], per aciu el cual podemos conocer les consecuencies que se deriven d'unos datos primeramente conocíos debidamente [[llinguaxe formalizáu|formalizaos]] y [[símbolu|simbolizaos]]''.

== Cálculu como razonamientu y cálculu lóxicu-matemáticu ==
{| {{tablaguapa}} align=right border=1; style="width:450px"
|'''Exemplu d'aplicación d'un cálculu alxebraicu a la resolución d'un problema según la interpretación d'una teoría física'''

----

:<div align=justify>La espresión del cálculu alxebraicu <math>y = xt</math>, indica les rellaciones sintáctiques qu'esisten ente trés variables que nun tienen significáu dalgunu.
 
:Pero si interpretamos <math>y</math> como espaciu, <math>x</math> como velocidá y <math>t</math> como tiempu, tal ecuación modeliza una teoría física qu'establez que l'espaciu percorríu por un móvil con velocidá constante ye direutamente proporcional a la velocidá con que se mueve y de la que dura'l so movimientu.
 
:Coles mesmes, según dicha teoría, sirve pa resolver el problema de calcular cuántos quilómetros percorrió un coche que circula de Madrid a Barcelona a una velocidá constante de 60 km/h mientres 4 hores de percorríu.

:* 240 quilómetros percorríos = 60 km/h x 4 h</div>
|}

Los dos acepciones del cálculu (la xeneral y l'acutada) enriba definíes tán íntimamente amestaes. El cálculu ye una actividá natural y primordial nel home, qu'empieza a la que empieza a rellacionar unes coses con otres nun pensamientu o discursu. El cálculu lóxicu natural como [[razonamientu]] ye'l primer cálculu elemental del ser humanu. El cálculu en sentíu lóxicu-matemáticu apaez cuando se toma conciencia d'esta capacidá de razonar y trata de [[llinguaxe formalizáu|formalizase]].

Poro, podemos estremar dos tipos de '''operaciones''':
# Operaciones empobinaes escontra la consecución d'un fin, como prever, programar, conxeturar, envalorar, precaver, prevenir, proyeutar, configurar, etc. qu'inclúin en cada casu una serie de complexes actividaes y habilidaes tanto de pensamientu como de conducta. Nel so conxuntu diches actividaes adquieren la forma d'[[argumentu]] o razones que xustifiquen una finalidá práutica o cognoscitiva.
# Operaciones formales como [[algoritmu]] que s'aplica bien direutamente a los datos conocíos o a los esquemes simbólicos de la interpretación lóxicu-matemática de dichos datos; les posibles [[conclusión|conclusiones]], [[inferencia|inferencies]] o [[deducción|deducciones]] de dichu algoritmu son la resultancia de l'aplicación de regles puramente establecíes de mano.
:Resultáu que ye:
::[[Conclusión]] d'un procesu de razonamientu.
:: Resultáu aplicable direutamente a los datos iniciales (resolución de problemes).
:: [[Modelu científicu|Modelu]] de rellaciones primeramente establecíu como teoría científica y significativu al respective de determinaes realidaes (Creación de modelos científicos).
::Meru xuegu formal simbólicu de fundamentación, creación y aplicación de les regles que constitúin el sistema formal del algoritmu (Cálculu lóxicu-matemáticu, puramente dichu). 
<div align=justify>Dada la importancia qu'históricamente adquirió l'actividá lóxicu-matemática na cultura humana'l presente artículu referir a esti postreru sentíu.

De fechu la pallabra, nel so usu habitual, cuasi queda acutada a esti ámbitu d'aplicación; pa dalgunos, inclusive, queda amenorgada a un solu tipu de cálculu matemáticu, pos en delles universidaes llamábase "Cálculu" a una asignatura específica de cálculu matemáticu (como pue ser el [[cálculu infinitesimal]], [[analís matemáticu]], [[cálculu diferencial |cálculu diferencial ya integral]], etc.).</div>

<div align=justify>Nun artículu xeneral sobre la tema nun puede desenvolvese'l conteníu de lo que supón el cálculu lóxicu-matemáticu na actualidá.

Equí espónse solamente'l fundamentu de los sos elementos más simples, teniendo en cuenta que sobre estes estructures simples constrúyense los cálculos más complexos tantu nel aspeutu lóxicu como nel matemáticu.</div>

== Historia del cálculu ==

=== De la Roma Clásica a la Edá Media ===
[[Ficheru:RomanAbacusRecon.jpg|thumb|Reconstrucción d'un [[ábaco]] romanu.]]
[[Ficheru:Kugleramme.jpg|thumb|Un ábaco modernu.]]
El términu "cálculu" procede del [[llatín]] ''calculus'', piedrina que se mete nel calzáu y que produz molestia. Precisamente tales piedrines enartaes en tires constituyíen el [[ábaco]] romanu que, xunto col ''[[suanpan]]'' chinu, constitúin les primeres máquines de calcular nel sentíu de cuntar.

Los antecedentes de procedimientu de cálculu, como algoritmu, atopar nos qu'utilizaron les xeómetres griegos, [[Eudoxo]] en particular, nel sentíu de llegar por aproximamientu de restos cada vegada más pequeños, a una midida de figures curves; según [[Diofanto]] precursor del [[álxebra]].

La considerancia del cálculu como una [[llinguaxe formal|forma]] de razonamientu astractu aplicáu en tolos ámbitos de la conocencia deber a [[Aristóteles]], quien nos sos escritos lóxicos foi'l primeru en [[Llinguaxe formalizáu|formalizar]] y simbolizar los tipos de razonamientos [[categóricu|categóricos]] ([[siloxismu|siloxismos]]). Esti trabayu sería completáu más tarde polos [[estoicismu|estoicos]], los [[megara|megáricos]], la [[Escolástica]].

Los [[algoritmu|algoritmos]] actuales del [[cálculu aritméticu]], utilizaos universalmente, son frutu d'un llargu procesu históricu. De vital importancia son les aportaciones de Muhammad ibn [[al-Juarismi]] nel sieglu IX;<ref>la pallabra [[algoritmu]] introducir en matemátiques n'honor a esti matemáticu árabe.</ref>

Introducióse'l 0, yá d'antiguu conocíu na India y constrúyese definitivamente'l [[sistema de numberación decimal|sistema decimal]] de diez cifres con valor posicional de les mesmes, introducíu n'Europa polos árabes. La escritura antiguo de númberos en Babilonia, n'Exiptu, en Grecia o en Roma, faía bien difícil un procedimientu mecánicu de cálculu.<ref>Bien interesante la descripción d'esti procesu en [[Cifra (matemática)]]</ref>

El sistema decimal foi bien importante pal desenvolvimientu de la contabilidá de los comerciantes de la Baxa Edá Media, nos entamos del capitalismu.

El conceutu de función por tables yá yera practicáu d'antiguu pero adquirió especial importancia na [[Universidá d'Oxford]] nel sieglu XIV.<ref>Ver [[lóxica empírica]]</ref> La idea d'un llinguaxe o algoritmu capaz de determinar toles verdaes, incluyíes les de la fe, apaecen nel intentu de [[Raimundo Lulio]] nel so ''Ars Magna''

Con cuenta de llograr una operatividad mecánica iguábense unes tables a partir de les cualos podía xenerase un algoritmu práuticamente mecánicu. Esti sistema de tables perduró en delles operaciones mientres sieglos, como les tables de llogaritmos, o les funciones trigonométriques; les tables veníen ser como la calculadora de güei día; un preséu imprescindible de cálculu. Les amortizaciones de los creitos nos bancos, por casu, calcular a partir de tables elementales hasta que se produció l'aplicación de la informática nel tercer terciu del sieglu XX.

A finales de la Edá Media'l discutiniu ente los partidarios del ábaco y los partidarios del algoritmu decantóse claramente por estos postreros.<ref>Sacrobosco, ''Algoritmos'' 1488; Georg von Peurbach, ''Algorithmus'', 1492; Luca Pacioli; ''Summa de Arithmetica proportioni et porportionalita'', 1494. Bien interesante y risondera esposición d'esta guerra en [[Cifra (matemática)]]</ref> D'especial importancia ye la creación del sistema contable por [[partida doble]] encamentáu por [[Luca Pacioli]] fundamental pal progresu del capitalismu na Renacencia.<ref>Sombart W.: El burgués:Contribución a la hestoria espiritual del home económicu modernu. 1979. Madrid. Alianza</ref>

=== Renacimientu ===
El sistema qu'usamos anguaño foi introducíu por [[Luca Pacioli]] en 1494, y foi creáu y desenvueltu pa responder a la necesidá de la contabilidá nos negocios de la burguesía renacentista.

El desenvolvimientu del [[álxebra]] (cola introducción d'un [[sistema]] de [[símbolu|símbolos]] per un sitiu, y la resolución de problemes per mediu de les [[ecuación|ecuaciones]]) vieno de la mano de los grandes matemáticos renacentistes como [[Tartaglia]], [[Simon Stevin|Stevin]], [[Cardano]] o [[François Viète|Vieta]] y foi esencial pal planteamientu y solución de los más diversos problemes que surdieron na dómina de resultes de los grandes descubrimientos que fixeron posible'l progresu científicu que va surdir nel sieglu XVII.<ref>La brúxula y les grandes rutes marítimes, col descubrimientu d'América; el tresformamientu de la guerra pola aplicación de la pólvora, qu'amena l'interés pol estudiu del movimientu de los proyeutiles [[Tartaglia]];l'aceptación del préstamu con interés y la creación de les sociedaes por aiciones qu'empecipiaron el primer gran capitalismu; la nueves tables astronómiques sustituyendo les tables alfonsinas (Tycho Brahe); y el copernicanismo que ruempe la imaxe medieval del mundu</ref>

=== Sieglos XVII y XVIII ===
[[Ficheru:Leibniz binary system 1703.png|thumb|Páxina del artículu de [[Leibniz]] "Explication de l'Arithmétique Binaire", 1703/1705.]]

Nel sieglu XVII el cálculu conoció un enorme desenvolvimientu siendo los autores más destacaos [[Descartes]],<ref>Que llega a concebir el mundu como racional sometíu a una ''mathesis universal'', la estensión, que convierte'l mundu material nun inmensu mecanismu, teoría mecanicista, perfectamente calculable según un orde matemáticu que surde del analís concebíu como [[métodu científicu|métodu]] d'investigación.</ref> [[Blaise Pascal|Pascal]]<ref>Cálculu de [[cóniques]], estudiu mecánicu de les presiones, [[principiu de Pascal]] d'enorme importancia na hidroestática, y finalmente nel cálculu de probabilidaes.</ref> y, finalmente, [[Leibniz]] y [[Isaac Newton|Newton]]<ref>Col so famosu discutiniu alrodiu de la invención del [[cálculu infinitesimal]] de tanta importancia y que paez comprobáu ser productu independiente de cada unu d'ellos</ref> col [[cálculu infinitesimal]] qu'en munches ocasiones recibió a cencielles, por absorción, el nome de cálculu.

El conceutu de cálculu formal nel sentíu d'algoritmu regláu pal desenvolvimientu d'un razonamientu y la so aplicación al mundu de lo real<ref>Cálculu de movimientos como'l de cayida llibre de los graves, Galileo,; trayeutoria de los planetes, Kepler; trayeutoria de proyeutiles pa l'artillería; midíes astronómiques y xeográfiques; presiones, Torricelli y Pascal; y toles aplicaciones práutiques d'estos cálculos pa la práutica de la navegación y la naciente industria: bombes de vacíu, prensa hidráulica, lletricidá, magnetismu etc.</ref> adquier una importancia y desenvolvimientu enorme respondiendo a una necesidá d'establecer rellaciones matemátiques ente diverses midíes, esencial pal progresu de la ciencia [[física]] que, por cuenta de esto, ye tomada como nuevu modelu de [[Ciencia]] frente a la especulación tradicional filosófica, pol rigor y seguridá qu'ufierta'l cálculu matemáticu. Camuda asina'l sentíu tradicional de la Física como Ciencia de la Naturaleza y toma el sentíu de ciencia qu'estudia los cuerpos materiales, en cuanto materiales.

A partir d'entós el mesmu sistema de cálculu dexa establecer [[modelos]] sobre la realidá física, que la so comprobación [[esperimentu|esperimental]]<ref>Vease en [[Lóxica empírica]] la so aplicación por Galileo al movimientu de cayida llibre de los graves.</ref> supón la [[verificación|confirmación]] de la teoría como [[sistema]]. Ye'l momentu del afitamientu del llamáu [[métodu científicu]] que'l so meyor esponente ye naquel momentu la Teoría de la Gravitación Universal y les lleis de la Mecánica de Newton.<ref>El modelu de Newton basar nuna xeometría analítica espacial de tres dimensiones inmutables como ''espaciu absolutu'' y una socesión constante ya inmutable nuna direición de ''tiempu absolutu'' nos qu'una infinidá de partícules materiales [[masa|mases]] mover según un principiu universal la [[Gravitación Universal]] <math>G={m*m' \over r^2}</math>, y unes lleis dinámiques que rixen el movimientu: Principiu d'inercia; Principiu d'aición y reaición; y Principiu fundamental de la dinámica, <math>f=m*a</math></ref>

=== Sieglos XIX y XX ===
[[Ficheru:George Boole.jpg|thumb|[[George Boole]].]]

Mientres el sieglu XIX y XX el desenvolvimientu científicu y la creación de modelos teóricos fundaos en sistemes de cálculu aplicables tantu en mecánica como n'electromagnetismu y radioactividá, etc. según n'astronomía foi impresionante. Les [[xeometría non euclidiana|xeometríes non euclidianes]] atopen aplicación en modelos teóricos d'astronomía y física. El mundu dexa de ser un conxuntu d'infinites partícules que se mueven nun espaciu-tiempu absolutu y conviértese nun [[espaciu de configuración]] o [[espaciu de fases]] de <math>n</math> dimensiones que físicamente se faen consistentes na [[teoría de la relatividá]], la [[mecánica cuántica]], la [[teoría de cuerdes]] etc. que camuda por completu la imaxe del mundu físicu.

La lóxica coles mesmes sufrió un tresformamientu radical.<ref>La Lóxica d'[[Aristóteles]] caltúvose práuticamente como tal a lo llargo de los sieglos. Kant, a finales del sieglu XVIII, cuntaba que la Lóxica aristotélica nun sufriera cambeos sustanciales mientres tanto tiempu por tratase d'una ciencia [[a priori]] y analítica y, por tanto, constituyise como un [[llinguaxe formal]]; consideraba que diera de sí tou lo que podía ufiertar. Kant. Prólogu a la Crítica de la Razón Pura.</ref> La formalización simbólica foi capaz d'integrar les lleis lóxiques nun cálculu matemáticu, hasta'l puntu que la distinción ente razonamientu lóxicu-formal y cálculu matemáticu vien considerase como puramente utilitaria.

Na segunda metá del sieglu XIX y primer terciu del XX, a partir del intentu de [[Llinguaxe formalizáu|formalización]] de tol sistema matemáticu, [[Frege]], y de matematización de la lóxica, ([[Bernard Bolzano|Bolzano]], [[Boole]], [[Whitehead]], [[Bertrand Russell|Russell]]) foi posible la xeneralización del conceutu como cálculu lóxicu. Llográronse métodos bien potentes de cálculu, sobremanera a partir de la posibilidá de tratar como “oxetu” conxuntos d'infinitos elementos, dando llugar a los númberos transfinitos de [[Cantor]].

Por aciu el cálculu la lóxica atopa nuevos desarrollos como [[lóxica modal|lóxiques modales]] y [[lóxica polivalente|lóxiques polivalentes]].

Los intentos d'[[axoma]]tizar el cálculu como cálculu perfectu per parte de [[Hilbert]] y [[Poincaré]], llevaron, de resultes de diverses [[paradoxa|paradoxes]] (Cantor, Russell etc.) a nuevos intentos de axiomatización, [[Axomes de Zermelo-Fraenkel]] y a la demostración de [[Teorema de Gödel|Gödel]] de la imposibilidá d'un sistema de cálculu perfectu: [[consistencia (lóxica)|consistente]], [[decidibilidad|decidible]] y [[completitud semántica|completu]] en 1931, de grandes implicaciones lóxiques, matemátiques y científiques.

=== Actualidá ===
Na actualidá, el cálculu nel so sentíu más xeneral, en cuantes que cálculu lóxicu interpretáu matemáticamente como sistema binariu, y físicamente fechu material per aciu la [[puerta lóxica|lóxica de circuitos]] eléctrónicos, adquirió una dimensión y desenvolvimientu impresionante pola potencia de cálculu consiguida polos ordenadores, puramente máquines [[computación|ordenadores]]. La capacidá y velocidá de cálculu d'estes máquines fai lo que humanamente sería imposible: millones d'operaciones por [[segundu]].

El cálculu asina utilizáu convertir nun preséu fundamental de la investigación científica poles posibilidaes qu'ufierta pa la [[modelu matemáticu|modelización]] de les [[modelu científicu|teoríes científiques]], adquiriendo especial relevancia nello'l [[cálculu numbéricu]].

== Conceutu xeneral de cálculu ==
El cálculu ye un [[sistema]] de [[símbolos]] non interpretaos, esto ye, ensin significáu dalgunu, nel que s'establecen per aciu regles estrictes, les rellaciones [[sintaxis|sintáctiques]] ente los símbolos pa la construcción de [[Fórmula bien formada|fórmules bien formaes]] ('''fbf'''), según les [[Regla de inferencia|regles]] que dexen tresformar diches espresiones n'otres [[equivalencia lóxica|equivalentes]]; entendiendo por equivalentes que dambes tienen siempres y de forma necesaria'l mesmu valor de verdá. Diches tresformamientos son puramente [[tautoloxía|tautoloxíes]].

Un cálculu consiste en:

# '''Un conxuntu d'elementos primitivos'''. Dichos elementos pueden establecese por enumeración, o definíos por una propiedá tal que dexe discernir ensin dala dulda cuándo un elementu pertenez o nun pertenez al sistema.
# '''Un conxuntu de regles de formación de “espresiones bien formaes”'''(EBFs) que dexen en tou momentu establecer, ensin forma de dulda, cuándo una espresión pertenez al sistema y cuándo non.
# '''Un conxuntu de regles de tresformamientu d'espresiones''', per aciu les cualos partiendo d'una espresión bien formada del cálculu vamos poder llograr una nueva espresión equivalente y bien formada que pertenez al cálculu.

Cuando nun cálculu asina definíu establécense delles espresiones determinaes como verdaes primitives o [[axomes]], dicimos que ye un sistema formal axomáticu.

Un cálculu asina definíu si cumple coles mesmes estos trés condiciones dicimos que ye un Cálculu Perfectu:

# '''Ye consistente''': Nun ye posible que dada una espresión bien formada del sistema, <math>f</math>, y la so negación, <math>non-f</math>, sían dambes [[teoremas]] del sistema. Nun puede haber contradicción ente les espresiones del sistema.
# '''Decidible''': Dada cualquier espresión bien formada del sistema podemos atopar un métodu que nos dexe decidir per aciu una serie finita d'operaciones si dicha espresión ye o nun ye un teorema del sistema.
# '''Completu''': Cuando dada cualquier espresión bien formada del sistema, podemos establecer la [[demostración matemática]] o prueba de que ye un teorema del sistema.

La mesma lóxica-matemática demostró que tal sistema de cálculu perfectu "nun ye posible" (vease'l [[Teorema de Gödel]]).

=== Cálculu infinitesimal: curtia reseña ===
{{AP|Cálculu infinitesimal}}

El cálculu infinitesimal, llamáu por brevedá "cálculu", tien el so orixe na antigua [[xeometría]] griega. [[Demócrito]] calculó'l volume de [[pirámide (xeometría)|pirámides]] y [[conu (xeometría)|conos]] considerándolos formaos por un númberu [[infinitu]] de seiciones de grosez [[infinitesimal]] (infinitamente pequeñu). [[Eudoxo]] y [[Arquímedes]] utilizaron el "[[métodu d'escosamientu]]" o exhaución p'atopar l'área d'un [[círculu]] cola exactitú finita riquida per aciu l'usu de [[polígonu|polígonos]] regulares inscritos de cada vegada mayor númberu de llaos. Nel periodu tardíu de Grecia, el neoplatónicu [[Pappus d'Alexandría]] fixo contribuciones sobresalientes nesti ámbitu. Sicasí, les dificultaes pa trabayar con [[Númberos Irracionales|númberos irracionales]] y les [[paradoxa|paradoxes]] de [[Zenón d'Elea]] torgaron formular una teoría sistemática del cálculu nel periodu antiguu. 

Nel [[sieglu XVII]], [[Cavalieri]] y [[Torricelli]] ampliaron l'usu de los infinitesimales, [[Descartes]] y [[Fermat]] utilizaron el [[álxebra]] p'atopar el [[área]] y les [[Tanxente (xeometría)|tanxentes]] ([[integración]] y [[derivación (matemática)|derivación]] en términos modernos). [[Fermat]] y [[Isaac Barrow]] teníen la certidume de que dambos cálculos taben rellacionaos, anque fueron [[Isaac Newton|Newton]] (escontra [[1660]]), n'Inglaterra y [[Leibniz]] n'Alemaña (escontra [[1670]]) quien demostraron que los problemes del área y la tanxente son inversos, lo que se conoz como [[teorema fundamental del cálculu]]. 

El descubrimientu de [[Isaac Newton|Newton]], a partir del so [[teoría de la gravitación universal]], foi anterior al de Leibniz, pero'l retrasu na so publicación entá provoca discutinios sobre quién de los dos foi'l primeru. Newton utilizó'l cálculu en mecánica nel marcu del so tratáu "Principios matemáticos de filosofía natural", obra científica por excelencia, llamando al so métodu de "flusiones". Leibniz utilizó'l cálculu nel problema de la tanxente a una curva nun puntu, como llende d'aproximamientos socesivos, dando un calter más filosóficu al so discursu. Sicasí, terminó per adoptar se la [[notación de Leibniz]] pola so versatilidad. 

Nel [[sieglu XVIII]] aumentó considerablemente'l númberu d'aplicaciones del cálculu, pero l'usu imprecisu de les cantidaes infinites ya infinitesimales, según la intuición xeométrica, causaben inda tracamundiu y dulda sobre los sos fundamentos. Ello ye que la noción de llende, central nel estudiu del cálculu, yera entá vaga ya imprecisa nesi entós. Unu de los sos críticos más notables foi'l filósofu [[George Berkeley]]. 

Nel [[sieglu XIX]] el trabayu de los analistes matemáticos sustituyeron eses vaguedades por fundamentos sólidos basaos en cantidaes finitas: [[Bernard Bolzano|Bolzano]] y [[Cauchy]] definieron con precisión los conceutos de [[Llende d'una función llende]] en términos de épsilon_delta y de [[Función derivada|derivada]], [[Cauchy]] y [[Riemann]] fixeron lo propio coles [[integración|integrales]], y [[Julius Wilhelm Richard Dedekind|Dedekind]] y [[Weierstrass]] colos [[númberu real|númberos reales]]. Foi'l periodu de la fundamentación del cálculu. Por exemplu, súpose que les funciones diferenciables son continues y que les [[función continua|funciones continues]] son integrables, anque los recíprocos son falsos. Nel [[sieglu XX]], l'analís non convencional, legitimó l'usu de los [[Infinitesimal|infinitesimales]], coles mesmes que l'apaición de los [[ordenadores]] amontó les aplicaciones y velocidá del cálculu.

Anguaño, el cálculu infinitesimal tien un doble aspeutu: per un sitiu, consolidóse'l so calter disciplinariu na formación de la sociedá culta de la conocencia, destacando nesti ámbitu testos propios de la disciplina como'l de Louis Leithold, el de Earl W. Swokowski o'l de James Stewart ente munchos otros; por otru'l so desenvolvimientu como disciplina científica que desaguó n'ámbitos tan especializaos como'l cálculu fraccional, la teoría de funciones analítiques de variable complexa o l'analís matemáticu. L'ésitu del cálculu foi estendíu col tiempu a les [[ecuación diferencial|ecuaciones diferenciales]], al [[espaciu vectorial|cálculu de vectores]], al [[cálculu de variaciones]], al [[analís complexu]] y a les [[topoloxía alxebraica]] y [[topoloxía diferencial]] ente munches otres cañes.

El desenvolvimientu y usu del cálculu tuvo efeutos bien importantes en cuasi toles árees de la vida moderna: ye fundamentu pal cálculu numbéricu aplicáu en cuasi tolos campos téunicos y/o científicos que la so principal carauterística ye la continuidá de los sos elementos, cuantimás na física. Práuticamente tolos desarrollos téunicos modernos como la construcción, aviación, tresporte, meteoroloxía, etc. faen usu del cálculu. Munches fórmules alxebraiques úsense anguaño en balística, calefaición, refrigeración, etc.

Como complementu del cálculu, en rellación a sistemes teóricos o físicos que los sos elementos escarecen de continuidá, desenvolvióse una caña especial conocida como Matemática discreta.

== El cálculu lóxicu ==
{{AP|Cálculu lóxicu}}

Entendemos equí por '''cálculu lóxicu''', un [[algoritmu]] que dexa cómoda y fácilmente inferir o deducir un enunciáu verdaderu a partir d'otru o otros que se tienen como [[validez lóxica|válidamente]] verdaderos.

La [[inferencia]] o [[deducción]] ye una operación lóxica que consiste en llograr un [[enunciáu]] como [[conclusión]] a partir d'otru(s) ([[premises]]) per aciu l'aplicación de [[regla de inferencia|regles de inferencia]].<ref>La deducción suel definise como una inferencia na qu'a partir de verdaes universales conclúyese verdaes particulares. Esti criteriu nun s'afai bien a la lóxica actual, pos se prefier la idea de inferencia como tresformamientu conforme les regles establecíes; seya que non diches regles, que necesariamente se basen en tautoloxíes, pueden considerase como principios universales o xenerales, sobre los cualos constrúyese una deducción; por ello la distinción nun dexa de ser una matización téunica de poca importancia.</ref>

Dicimos que daquién infier -o deduz- "T" de "R" si acepta que si "R" tien valor de verdá V, entós, [[necesariu|necesariamente]], "T" tien valor de verdá V.

Los homes na nuesa xera diaria, utilizamos constantemente'l razonamientu deductivu. Partimos d'enunciaos empíricos -supuestamente [[verdá]]eros y [[validez (epistemoloxía)|válidos]]- pa concluyir n'otru enunciáu que se deriva d'aquellos, según les lleis de la lóxica natural.<ref>L'habilidá peculiar del Sr.Holmes</ref> 

La lóxica, como [[ciencia formal]], ocupar d'analizar y sistematizar diches lleis, encontales y convertiles nes regles que dexen el tresformamientu d'unos enunciaos -premises- n'otres conclusiones- con oxetu de convertir les operaciones nun algoritmu rigorosu y eficaz, que garantiza que dada la verdá de les premises, la conclusión ye [[necesariu|necesariamente]] verdadera.

Al aplicar les regles d'esti cálculu lóxicu a los enunciaos que formen un [[argumentu]] per aciu la simbolización fayadiza de fórmules o Espresiones bien formaes (EBF) construyimos un modelu o sistema deductivu.

=== Sistematización d'un cálculu de deducción natural ===

==== Regles de formación de fórmules ====
I. Una lletra enunciativa (con o ensin subíndice) ye una EBF.

II. Si A ye una EBF, ¬ A tamién lo ye.

III. Si A ye una EBF y B tamién, entós A <math>\land</math> B; A <math>\lor</math> B; A <math>\rightarrow</math> B; A <math>\leftrightarrow</math> B, tamién lo son.

IV. Nenguna espresión ye una fórmula del Cálculu sinón en virtú d'I,II,III.

:Notes:
:* A, B,... con mayúscules tán utilizaes como [[metallinguaxe]] nel que cada variable espresa cualesquier [[proposición]], atómica (p,q,r,s....) o molecular (p/\q), (p\/q)...
:* A, B,... son símbolos que signifiquen '''variables'''; ¬, <math>\land</math>, <math>\lor</math>, →, <math>\leftrightarrow</math>, son símbolos '''constantes'''.
:* Esisten diverses formes de simbolización. Utilizamos equí la d'usu más frecuente n'España.<ref>Desgraciadamente la representación gráfica de los símbolos nun ta normalizada, lo que lleva dacuando a ciertes dificultaes d'interpretación.</ref>

==== Regles de tresformamientu de fórmules ====
'''1) Regla de sustitución (R.T.1)''':

Dada una tesis EBF del cálculu, na qu'apaecen variables d'enunciaos, la resultancia de sustituyir una, dalgunes o toes eses variables por espresiones bien formaes (EBF) del cálculu, va ser tamién una tesis EBF del cálculu. Y ello con una única restricción, magar bien importante: cada variable hai de ser sustituyida siempres qu'apaez y siempres pol mesmu sustitutu.

Veamos l'exemplu:

{| border="1" cellpadding="10"
|-align="center" 
| 1|| <math>\left [ \left ( p \land q \right ) \lor r \right ]\rightarrow t \lor s</math>||Tresformamientu
|-align="center"

| 2|| <math>A \lor r \rightarrow B </math> || onde <math> A = \left ( p \land q \right )</math> ; y onde <math> B = \left ( t \lor s \right )</math> 
|-align="center"
| 3|| <math> C \rightarrow B</math> || onde <math> C = A \lor r </math> 
|}

O viceversa

{| border="1" cellpadding="10"
|-align="center"
| 1||<math> C \rightarrow B</math>||Tresformamientu
|-align="center"

| 2|| <math>A \lor r \rightarrow B </math> || onde <math> A \lor r = C </math> 
|-align="center"
| 3|| <math>\left [ \left ( p \land q \right ) \lor r \right ]\rightarrow t \lor s</math> || onde <math> (p \land q) = A</math> ; y onde <math> (t \lor s) = B </math> 
|}

'''2) Regla de separación (R.T.2)''': 

Si X ye una tesis EBF del sistema y ser tamién X <math>\rightarrow</math> Y, entós Y ye una tesis EBF del sistema.

=== Esquemes de inferencia ===
Sobre la base d'estos dos regles, siempres vamos poder amenorgar un argumentu cualesquier a la forma:

<math>[A \land B \land C....\land N]\rightarrow Y</math> 

lo que constitúi un [[inferencia|esquema de inferencia]] nel qu'una vegada conocida la verdá de caúna de les premises A, B,...N y, por tanto, del so productu, podemos llograr la conclusión Y con valor de verdá V, siempres y cuando dichu esquema de inferencia seya una llei lóxica, ye dicir la so [[tabla de verdá]] amuésenos que ye una [[tautoloxía]]. 

Pola regla de separación vamos poder concluyir Y, de forma independiente como verdá.

Dada la poca operatividad de les [[tables de verdá]], el cálculu constrúyese como una cadena deductiva aplicando a les premises o a los teoremas deducíos les lleis lóxiques utilizaes como regles de tresformamientu, como s'espón en [[cálculu lóxicu]].

=== El llinguaxe natural como modelu d'un cálculu lóxicu ===
Naturalmente'l cálculu lóxicu ye útil porque puede tener aplicaciones, pero ¿en qué consisten o cómo se faen tales aplicaciones?

Podemos considerar que'l llinguaxe natural ye un modelu de C si podemos sometelo, esto ye, aplica-y una correspondencia en C.<ref>Cuando nun Cálculu C, establezse una "correspondencia" de cada símbolu con elementos determinaos individuales estremables ente sigo, d'un Universu L, real, (tal universu L nun ye un conxuntu vacíu, poles mesmes condiciones qu'establecimos) ENTÓS dizse que L ye un MODELU de C.</ref>

Pa ello ye necesariu someter al llinguaxe natural a un procesu de [[llinguaxe formalizáu|formalización]] de tala forma que podamos amenorgar les espresiones llingüístiques del llinguaxe natural a EBFs d'un cálculu per aciu regles estrictes calteniendo'l sentíu de verdá lóxica de diches espresiones del llinguaxe natural. Esto ye lo que s'espón en [[cálculu lóxicu]].

Les diverses formes en que tratemos les espresiones llingüístiques [[llinguaxe formalizáu|formalizaes]] como [[proposición|proposiciones]] lóxiques dan llugar a sistemes diversos de formalización y cálculu:

* '''Cálculu proposicional o cálculu d'enunciaos'''
: Cuando se toma la oración simple significativa del llinguaxe natural con posible valor de verdá o falsedá como una [[proposición|proposición atómica]], como un tou ensin analizar.

* '''Cálculu como lóxica de clases'''
: Cuando se toma la oración simple significativa del llinguaxe natural con posible valor de verdá o falsedá como resultancia del analís de la oración como una rellación d'individuos o posibles individuos que tienen o nun tener una [[propiedá (lóxica)|propiedá común determinada]] como pertenecientes o non pertenecientes a una [[clase natural]] o a un [[conxuntu]] como [[individuu|individuos]].

* '''Cálculu de predicaos o cuantificacional'''
: Cuando se toma la oración simple significativa del llinguaxe natural con posible valor de verdá o falsedá como resultancia del analís de la mesma de forma que una posible función predicativa (P), predicar d'unos posibles suxetos variables (x) [<small>tomaos en tola so posible estensión: (Tolos x); o referente a dellos indeterminaos: (dellos x)</small>], o d'una constante individual esistente (a).

* '''Cálculu como lóxica de rellaciones'''
:Cuando se toma la oración simple significativa con posible valor de verdá propiu, verdado o falsu, como resultancia del analís de la oración como una rellación "R" que s'establez ente un suxetu y un predicáu.

La simbolización y formación de EBFs en cada unu d'esos cálculos, según les regles de cálculu tratar en [[cálculu lóxicu]].

== Ver tamién ==
{{columnes}}
* [[Aritmética]]
* [[Cálculu lóxicu]]
* [[Algoritmu d'Euclides]]
* [[Llinguaxe formalizáu]]
* [[Llinguaxe formal]]
* [[Lóxica proposicional]]
* [[Lóxica de primer orde]]
* [[Sistema formal]]
* [[Siloxismu]]
* [[Cálculu del raigañu cuadráu]]
{{nueva columna}}
* [[Cifra (matemática)]]
* [[Puerta lóxica]]
* [[Tabla de valores de verdá]]
* [[Teoría de conxuntos]]
* [[Historia del hardware d'ordenador]]
* [[Regla de cálculu]]
* [[Sistema de numberación]]
* [[Teoría de númberos]]
* [[Matemátiques nel Antiguu Exiptu]]
{{nueva columna}}
* [[Numberación exipcia]]
* [[Numberación griega]]
* [[Numberación romana]]
* [[acarretu]]
* [[Potenciación]]
* [[Radicación]]
* [[Logaritmación]]
* [[Álxebra]]
* [[Álxebra elemental]]
* [[Modelu científicu]] 
{{final columnes}}

== Referencies ==
{{llistaref|2}}

=== Bibliografía ===
* {{cita llibru |
autor = BERGADÁ, D.
| títulu = La matemática renacentista. Historia de la Ciencia |
añu = 1979
| editorial = BARCELONA.ED.PLANETA |
id = ISBN 84-320-0842-7
}}
* {{cita llibru |
autor = BLACKBURN, S.
| títulu = Enciclopedia Oxford de Filosofía |añu=2001
| editorial = Madrid. Editorial Tecnos
| id = ISBN 84-309-3699-8
}}
* {{cita llibru |
autor = BUNGE, M.
| títulu = Teoría y realidad |añu=1972
| editorial = Barcelona. Ariel
| id = ISBN 84-344-0725-6
}}
* {{cita llibru |
autor = COPI, IRVING M.
| títulu = LÓXICA SIMBÓLICA |
añu = 1982
| editorial = MEXICO 22 D.F: EDITORIAL CONTINENTAL S.A. DE C.V.
| id = ISBN 968-26-0134-7
}}
* {{cita llibru |
autor = DEAÑO, ALFREDO |
títulu = INTRODUCCIÓN A LA LÓXICA FORMAL
| añu = 1974
| editorial = MADRID: ALIANZA EDITORIAL
| id = ISBN 84-206-2064-5
}}
* {{cita llibru |
autor = GARRIDO, M.
| títulu = LÓXICA SIMBÓLICA |
añu = 1974
| editorial = MADRID. EDITORIAL TECNOS S.A.
| id = ISBN 84-309-0537-5
}}
* {{cita llibru |
autor = HONDERICH, T. (Editor)
| títulu = Enciclopedia Oxford de Filosofía. Trd. Carmen García Trevijano
| añu = 2001
| editorial = Madrid. Editorial Tecnos
| id = ISBN 84-309-3699-8
}}
* {{cita llibru |
autor = MITCHELL, D.
| títulu = INTRODUCCIÓN A LA LÓXICA | 
añu = 1968
| editorial = BARCELONA: EDITORIAL LLABOR
}}
* {{cita llibru |
autor = NAVARRO, C. Y NADAL, B.
| títulu = Aspecto de la Matemática nel sieglu XX. Historia de la Ciencia |
añu = 1982
| editorial = BARCELONA.ED.PLANETA |
id = ISBN 81-320-0840-0
}}
* {{cita llibru |
autor = PERELLÓ I VALLS, C.
| títulu = El cálculu nos sieglos XVII y XVIII. Historia de la Ciencia |
añu = 1979
| editorial = BARCELONA.ED.PLANETA |
id = ISBN 84-320-0842-7
}}
* {{cita llibru |
autor = QUINE, W.V.
| títulu = FILOSOFÍA DE LA LÓXICA |
añu = 1981
| editorial = MADRID: ALIANZA EDITORIAL
| id = ISBN 84-206-2043-2
}}
* {{cita llibru |
autor = STEWART I.
| títulu = Concepto de matemática moderna |
añu = 1977
| editorial = Madrid. Alianza Universidá |
id = ISBN 84-206-2187-0
}}
* Tables d'Aritmética. Ed.EDIVAS S.L. Ref. 25. Zamudio. España.
* {{cita llibru |
autor = Trueta i Raspall, J. et alii.
| títulu = Historia de la Ciencia. I |
añu = 1977
| editorial = BARCELONA.ED.PLANETA |
id = ISBN 84-320-0841-9
}}

== Enllaces esternos ==
{{wikiquote|Cálculu}}

* {{MathWorld | urlname=Calculus |títulu=Calculus |fechaaccesu=29 de mayu de 2010}}
* [http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?module=tool/analysis/function.es Cálculu de funciones]
* http://www.cenidet.edu.mx/dda/docs/aplicacionteoriaactividad.pdf.
* [http://portales.educared.net/wikiEducared/index.php?title=L%C3%B3gica_de_clases Introducción a la lóxica de clases] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110105200054/http://portales.educared.net/wikiEducared/index.php?title=L%C3%B3gica_de_clases |date=2011-01-05 }}
* [http://www.vantir.com/Calculos.aspx Cálculos financieros] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120718083336/http://www.vantir.com/Calculos.aspx |date=2012-07-18 }}
* [https://docs.google.com/fileview?id=0B5owB881KkqYYzZlMDcxZTEtNmQzZS00NGE3LWE5MmYtODNmMGZlMGIyZmU3&hl=en Cálculos Diferencial nuna variable - Llibru Gratis]
{{DEFAULTSORT:Calculo}}
{{control d'autoridaes}}
[[Categoría:Cálculu]]
[[Categoría:Wikipedia:Artículos con plantía Otros usos a páxines que nun esisten]]