Ver la fonte de Aritmética modular

[[Ficheru:Disqvisitiones-800.jpg|thumb|Cubierta de la edición orixinal de [[Disquisitiones arithmeticae]] de [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]], llibru fundamental de l'aritmética modular.]]

En [[matemática]], la '''aritmética modular''' ye un sistema aritméticu pa [[clase d'equivalencia|clases d'equivalencia]] de [[Númberu enteru|númberos enteros]] llamaes '''clases de congruencia'''. L'aritmética modular foi introducida en [[1801]] por [[Carl Friedrich Gauss|Carl Friedrich Gauß]] nel so llibru ''[[Disquisitiones Arithmeticae]]''.<ref>{{cita llibru |autor= Gauss, Carl Friedrich |capítulu= Cap.1 Numbers congruences in general |títulu= Disquisitiones Arithmeticae |añu= 1965 |editorial= [[Yale University Press]] |id= ISBN 0-300-09473-6}}. [http://www.cimm.ucr.ac.cr/da/files/sec1art1-12.pdf (Traducción al español)] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20111125042616/http://www.cimm.ucr.ac.cr/da/files/sec1art1-12.pdf |date=2011-11-25 }}</ref>

Delles vegaes llámase-y, sugerentemente, ''aritmética del reló'', una y bones los númberos «dan la vuelta» n'algamando ciertu valor llamáu '''''módulu'''''.<ref name="cripto">{{Cita web |url= http://www.matematicaparatodos.com/dellos/criptografia.pdf |títulu=Criptografía |fechaaccesu=28 de febreru de 2011 |apellíu= López |nome=Jorge M. |fecha=28 de febreru de 2011 |formatu=PDF|cita=p.3}}</ref>

== Rellación de congruencia ==
[[Ficheru:Clock group.svg|thumb|right|El tiempu lleváu por esti reló usa aritmética en módulu 12.]]
L'aritmética modular pue ser construyida matemáticamente por aciu la ''[[congruencia (teoría de númberos)|rellación de congruencia]]'' ente enteros, que ye compatible coles operaciones nel [[Aniellu de los númberos enteros|aniellu d'enteros]]: suma y multiplicación. Pa un determináu [[módulu (matemática)|módulu]] ''n'', ésta defínese de la siguiente manera:<ref name="def">{{cita llibru |autor= Gauss, Carl Friedrich |capítulu= Sec.I art.1-3 |títulu= Disquisitiones Arithmeticae |añu= 1965 |editorial= Yale University Press |id= ISBN 0-300-09473-6}}. [http://www.cimm.ucr.ac.cr/da/files/sec1art1-12.pdf (Traducción al español)] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20111125042616/http://www.cimm.ucr.ac.cr/da/files/sec1art1-12.pdf |date=2011-11-25 }}</ref>
{{definición|
''a'' y ''b'' atopar na mesma "clase de congruencia" módulu ''n'', si dambos dexen el mesmu resto si estremar ente ''n'', o, equivalentemente, si ''a'' − ''b'' ye un múltiplu de ''n''.}}

Esta rellación puede espresase cómodamente utilizando la notación de Gauss:<ref name="def" />

:<math>a\equiv b\ \pmod{n}</math>

Asina se tien por casu

:<math>63\equiv 83\ \pmod{10}</math>

yá que dambos, 63 y 83 dexen el mesmu restu (3) al estremar ente 10, o, equivalentemente, 63
− 83 ye un múltiplu de 10. Lléese:<ref name="def" />

«''63 ye congruente con 83, módulu 10''», «''en módulu 10, 63 y 83 son congruentes''», o «''63 y 83 son congruentes unu con otru, módulu 10''».

«Módulu» dacuando embrívese cola pallabra «mod» al falar, de la mesma manera que como ta escritu y provién de la pallabra ''modulus'' del [[llatín]], la llingua de los escritos orixinales de Gauss. Asina, el númberu ''n'', que nesti exemplu ye 10, sería'l '''modulus'''.

Otru exemplu; cuando'l módulu ye 12, entós cualesquier dos númberos qu'estremaos ente dolce dean el mesmu restu son equivalentes (o "congruentes") unu con otru. Los númberos

:..., −34, −22, −10, 14, 26,...

son toos "congruentes módulu 12" unos con otros, yá que cada unu dexa'l mesmu [[restu]] (2) cuando los estremamos ente 12. La coleición de toos esos númberos ye una clase de congruencia.<ref>{{cita llibru |apellíu=Hortalá |nome=María Teresa |apellíos2=Rodríguez |nome2=Mario|apellíos3=Leach |nome3=Javier |títulu=Matemática discreta y lóxica matemática |añu=2001 |ubicación=Madrid |editorial=Complutense S.A. |isbn=84-7491-650-X |páxina=67}}</ref>

== Propiedaes principales ==
=== Clases d'equivalencia módulo ''n'' ===

L'aritmética modular basar nuna [[rellación d'equivalencia]], y les [[clase d'equivalencia|clases d'equivalencia]] d'un enteru ''a'' se denota con [''a'']<sub>''n''</sub> (o a cencielles [''a''] si sobrentendemos el módulu.) Otres notaciones son por casu ''a'' + ''n'''''Z''' o ''a'' mod ''n''. El conxuntu de toles clases d'equivalencia se denota con '''Z'''/''n'''''Z''' = { [0]<sub>''n''</sub>, [1]<sub>''n''</sub>, [2]<sub>''n''</sub>,..., [''n''-1]<sub>''n''</sub> }.<ref name="upm">{{Cita web |url=http://www.dma.fi.upm.es/java/matematicadiscreta/aritmeticamodular/congruencies.html |títulu=Congruencies |fechaaccesu=19 d'abril de 2011 |apellíu=Carmona Collada |nome=Luis Miguel |formatu=HTML |obra=[http://www.dma.fi.upm.es/java/matematicadiscreta/aritmeticamodular/ Introducción a l'aritmética entera y modular] |allugamientu=[[Universidá politéunica de Madrid]]}}</ref>

Esta rellación d'equivalencia tien importantes propiedaes que se siguen darréu de la definición:<ref name="upm" />

Si :
<math>a_1 \equiv b_1 \pmod{n}</math>
y :
<math>a_2 \equiv b_2 \pmod{n}</math>
entós :
<math>a_1 + a_2 \equiv b_1 + b_2 \pmod{n}</math>
y :
<math>a_1 a_2 \equiv b_1 b_2 \pmod{n}</math>

Lo qu'amuesa que la suma y la multiplicación son operaciones [[bien definíu|bien definíes]] sobre'l conxuntu de les clases d'equivalencia. N'otres pallabres, la suma y la multiplicación tán definíes sobre '''Z'''/''n'''''Z''' por aciu les fórmules siguientes:<ref name="upm" />

: <math>[a]_n +[b]_n = [a+b]_n \,\!</math>
: <math>[a]_n \cdot [b]_n = [a \cdot b]_n</math>

D'esta miente, '''Z'''/''n'''''Z''' convertir nun [[Aniellu (matemática)|aniellu]] con ''n'' elementos.
Por casu, nel aniellu '''Z'''/12'''Z''', tiense :[8]<sub>12</sub>[3]<sub>12</sub> + [6]<sub>12</sub> = [30]<sub>12</sub> = [6]<sub>12</sub>.

El conxuntu d'enteros en '''Z'''/''p'''''Z''' forma un [[cuerpu finito]] si y namái si ''p'' ye primu.<ref>Kostrikin: Introducción a la álxebra, Mir, Moscú (1974)</ref>

=== Resolución de congruencies ===

Si ''a'' y ''b'' son enteros, la [[congruencia]]: ''ax'' ≡ ''b'' ('''mod''' ''n'') tien solución ''x'' si y namái si'l [[máximu común divisor]] (''a'', ''n'') estrema a ''b''. Los detalles tán recoyíos nel
[[teorema de congruencia llinial]]. Sistemes de congruencies más complicaos con módulos distintos pueden resolvese usando'l [[teorema chinu del restu]] o'l [[teorema de congruencia llinial#Sistemes de congruencies lliniales|métodu de sustitución socesiva]].<ref>{{cita llibru |apellíu=Santiago Zaragoza |nome=Antonio Cipriano |títulu=Teoría de númberos |fechaaccesu=19 d'abril de 2011|edición=1ª |añu=2009 |editorial= Visión libro |ubicación=Madrid |isbn=978-84-9886-360-4 |capítulu=2.4. Congruencies lliniales |páxines=22-25}}</ref>

Nel aniellu d'enteros, si consideramos la ecuación ''ax'' ≡ 1
('''mod''' ''n''), vemos que ''a'' tien un [[inversu multiplicativu (aritmética modular)|inversu multiplicativu]] si y namái si ''a'' y ''n'' son [[coprimos]]. Por tanto, '''Z'''/''n'''''Z''' ye un [[Cuerpu (matemática)|cuerpu]] si y namái si ''n'' ye un [[Númberu primu|primu]].<ref>{{cita llibru |apellíu=Navarro |nome=Gabriel |títulu= Un cursu d'álxebra |fechaaccesu=19 d'abril de 2011|edición=1ª |añu=2002 |editor=Universitat de València |allugamientu=Valencia |isbn=84-370-5419-2 |páxina=77}}</ref> Puede probase que cada [[cuerpu finito]] ye una estensión de '''Z'''/''p'''''Z''' pa dalgún primu ''p''.

=== Pequeñu teorema de Fermat y teorema de Euler ===
{{AP|Pequeñu teorema de Fermat|Teorema de Euler}}

Un fechu importante sobre aritmética modular, cuando los módulos son númberos primos ye'l [[pequeñu teorema de Fermat]]: si ''p'' ye un númberu primu, entós:<ref name="Gauss PTF">{{cita llibru |autor=Gauss, Carl Friedrich |capítulu=Sec III, art. 50 |títulu=Disquisitiones Arithmeticae |añu=1965 |editorial=Yale University Press |id=ISBN 0-300-09473-6}}. [http://www.cimm.ucr.ac.cr/da/files/sec3arts45-93.pdf (Traducción al español)] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20080920194239/http://www.cimm.ucr.ac.cr/da/files/sec3arts45-93.pdf |date=2008-09-20 }}</ref>

Si ''a'' ye cualesquier enteru:
:<math>a^p \equiv a \pmod{p}</math>

Si ''a'' ye un enteru non divisible ente p:
:<math>a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}</math>

Esto foi xeneralizáu por [[Leonhard Euler|Euler]]: pa tou enteru positivu ''n'' y tou enteru ''a'' relativamente primu a ''n'', :''a''<sup>φ(''n'')</sup> ≡ 1 ('''mod''' ''n''), onde φ(''n'')
denota [[función phi de Euler]] que cunta'l númberu d'enteros ente 1 y ''n'' que sían [[coprimos]] con al respective de ''n''.<ref name="TE">Euler, Leonhard « Theoremata circa residua ex divisione potestatum relicta », en ''Novi Comment. acad. sc. Petrop.'', vol. 7, 1761, p. 49-82. Testu orginal del llatín [http://math.dartmouth.edu/~euler/ Dartmouth College (Euler archive)] con númberu Y262. Traducción al inglés : {{arxiv|math/0608467}}</ref> El teorema de Euler ye una consecuencia del [[teorema de Lagrange (teoría de grupos)|teorema de Lagrange]], aplicáu al casu del grupu de les unidaes del aniellu '''Z'''/''n'''''Z'''.

=== Xeneralizaciones ===

Dos enteros ''a'', ''b'' son '''congruentes módulu ''n''''', escritu como:''a'' ≡ ''b'' ('''mod''' ''n'') si la so diferencia ''a''
− ''b'' ye [[divisible]] ente ''n'', esto ye, si ''a'' − ''b'' = ''kn'' pa dalgún enteru ''k''.

Usando esta definición, podemos xeneralizar a módulos non enteros. Por casu, podemos definir ''a'' ≡ ''b'' ('''[[númberu π|mod 2π]]''') si ''a'' − ''b'' = ''k''2π pa dalgún enteru ''k''. Esta idea desenvuélvese dafechu nel contestu de la [[Aniellu (matemática)|teoría de los aniellos]] y [[función trigonométrica|funciones trigonométriques]].

En [[Álxebra astracta]] vese que l'aritmética modular ye un casu especial del procesu de crear un [[aniellu factorial]] d'un aniellu módulu un [[Ideal (matemática)|ideal]]. Si ''R'' ye un aniellu conmutativu, y ''I'' ye un ideal de ''R'', entós dos elementos ''a'' y ''b'' de ''R'' dícense '''congruentes módulu ''I''''' si ''a'' − ''b'' ye un elementu de ''I''. Como pasaba col aniellu d'enteros, esto conviértese nuna rellación d'equivalencia, y la suma y la multiplicación convertir n'operaciones bien definíes sobre l'aniellu factorial ''R''/''I''.

== Aplicaciones de l'aritmética modular ==

L'aritmética modular, estudiada sistemáticamente en primer llugar por [[Carl Friedrich Gauss]] a la fin del [[Sieglu XVIII]], aplicar en [[teoría de númberos]], [[álxebra astracta]], [[criptografía]], y n'artes visuales y musicales.

Les operaciones aritmétiques qu'anguaño faen la mayoría de los ordenadores son aritméticu modulares, onde'l módulu ye 2<sup>''b''</sup> (''b'' ye'l númberu de bits de los valores sobre los qu'operamos).
Esto vese claro na compilación de llinguaxes de programación como'l [[Llinguaxe de programación C|C]]; onde por casu toles operaciones aritmétiques sobre "int", enteros, tómense módulu 2<sup>32</sup> na mayoría de los ordenadores.

=== Nel arte ===

En música, por cuenta de la equivalencia d'[[octaves]] y [[equivalencia enarmónica]] (esto ye, los pasos en razones de 1/2 o 2/1 son equivalentes, y Do# ye lo mesmo que Reb), l'aritmética modular úsase cuando consideramos la escala de doce tono [[Temperamentu igual|igualmente temperada]], especialmente nel [[dodecafonismu]]. N'artes visuales esta aritmética puede usase pa crear patrones artísticos basaos nes tables de multiplicación módulo ''n'' (ver enllaz embaxo).

== Ver tamién ==

* [[Residuu cuadrático]]
* [[Teorema chinu del restu]]
* [[Pequeñu teorema de Fermat]]
* [[Teorema de Euler]]
* [[Criteriu de Euler]]
* [[Teorema de Lagrange (teoría de grupos)]]
* [[Aritmética de saturación]]

== Referencies ==
{{llistaref}}

== Enllaces esternos ==
* {{MathWorld|ModularArithmetic|Modular arithmetic}}
* [http://archive.develooper.com/perl6-internals@perl.org/msg05492.html Perl arithmetic enhancements] - esplica les razones que s'atopen tres l'operador de Perl ''%''



{{Tradubot|Aritmética modular}}

{{control d'autoridaes}}
[[Categoría:Teoría de grupos]]
[[Categoría:Aritmética modular]]