Ver la fonte de Álxebra multilineal

Na [[matemática]], el '''álxebra multilineal''' ye una área d'estudiu que xeneraliza los métodos del [[álxebra llinial]]. Los oxetos d'estudiu son los [[productu tensorial|productos tensoriales]] d'[[espaciu vectorial|espacios vectoriales]] y los tresformamientos multi-lliniales ente los espacios.

== Notación ==
La álxebra multilineal fai un usu intensivu de la notación multi-índiz. Una notación d'esi tipu fai representar les [[combinación llinial|combinaciones lliniales]] por un conxuntu de dos o más índices repitíos. 

* Nel casu elemental (tensores de '''rangu unu contravariantes''') tenemos, usando la [[Conveniu de sumación d'Einstein|convención de la suma]] d'[[Albert Einstein|Einstein]]: <math>\scriptstyle X=X^se_s\,</math>. Lo cual indica que ''l'oxetu'' X, ye la combinación llinial:
{{ecuación|
<math>\sum_{s=1}^{n}X^se_s=X^1y_1+X^2y_2+\cdots+X^ne_n</math>
||left}}
:sobre los ''vectores básicos'' <math>\scriptstyle y_s\,</math>, y los <math>\scriptstyle X^s\,</math> llamaos ''los componentes'' de X. Equí <math>n</math> ye la [[dimensión|dimensión (alxebraica)]] d'espaciu onde "vive" X. Por convención llamar a estos [[Vector columna|1-contra-tensores]]. 
* En '''rangu unu''' tamién tán los [[covector|1-co tensores]], ye dicir [[Función matemática|mapeos]] lliniales dende l'espaciu escoyíu escontra'l [[Cuerpu (matemática)|campu]] d'esguilar. Ellos escríbense como combinación llinial de los [[funcional llinial|funcionales lliniales]] <math>y^s</math>, [[tresformamientu llinial|tresformamientos lliniales]] <math>\scriptstyle V\to\mathbb{K}</math> que satisfaen: <math>\scriptstyle y^s(y_{\sigma})={\delta^s}_{\sigma}</math>, onde (como clásicamente) ta usándose la [[delta de Kronecker]]. Asina cualesquier [[covector]] <math>\scriptstyle f\colon V\to\mathbb{K}</math> escríbese como <math>\scriptstyle f=f_se^s\,</math>, notación qu'embrive <math>\scriptstyle f=f_1y^1+\cdots+f_ne^n\,</math>.
* Tensores de '''rango dos''':
** Un tensor de '''rango dos contravariante''' ye <math>\scriptstyle B=B^{st}y_s\otimes y_t</math>.
** Un tensor de '''rango dos covariante''' ye <math>\scriptstyle C=C_{st}y^s\otimes y^t</math>.
** Y un tensor de rango dos mistu ye <math>\scriptstyle D={D^s}_t y_s\otimes y^t</math>. Esto indica una combinación llinial '''bi-indexada'''.
:Por casu, {{ecuación|

<math>B=B^{11}y_1\otimes y_1+B^{12}y_1\otimes y_2+B^{21}y_2\otimes y_1+B^{22}y_2\otimes y_2 </math>
||left}}
:si la dimensión del espaciu ye dos.
* Xeneralizando lo anterior escríbese <math>\scriptstyle {A^{i_1i_2...i_p}}_{j_1j_2...j_q}</math> pa representar ''los componentes'' d'un ''tensor mistu'' A, que ye p-contravariante y q-covariante. Pero {{ecuación|

<math>A={A^{i_1i_2...i_p}}_{j_1j_2...j_q}y_{i_1}\otimes\cdots\otimes y_{i_p}\otimes y^{j_1}\otimes\cdots\otimes y^{j_q}</math>
||left}}
:representa una combinación llinial multi-indexada.

Tou lo anterior namái foi considerando que l'espaciu vectorial ye de dinensión finita igual a ''n''.

== Productu tensorial ==
Teniendo dos espacios vectoriales ''V'', ''W'', con respeutives bases <math>\{b_1,...,b_n\}</math>, <math>\{c_1,...,c_m\}</math> defínese'l so productu tensorial
{{ecuación|
<math>V\otimes W:=\langle\{ b_i\otimes c_j\}\rangle</math>
||left}}
ye dicir l'espaciu vectorial xeneráu polos nuevu símbolos 
{{ecuación|
<math>\{b_1\otimes c_1, b_1\otimes c_2,...,b_n\otimes c_{m-1},b_n\otimes c_m\}</math>
||left}}
Y por lo tanto si un oxetu ''X'' que ''vive en'' (pertenez a) <math>\scriptstyle V\otimes W</math> entós él puédese representar como una combinación llinial
{{ecuación|
<math>X=X^{11}b_1\otimes c_1+X^{12}b_1\otimes c_2+\cdots+
X^{ij}b_i\otimes c_j+\cdots+X^{nm} b_n\otimes c_m</math>
||left}}
y la cual vase a '''embrivir''' como {{ecuación|

<math>X=X^{st}b_s\otimes c_t</math>
||left}}
los índices repitíos ''s'' o ''t'', '''una vegada enriba y una vegada embaxo -ta conveníu- indica sumación, cada unu'''.

Esta definición ye absolutamente astracta, pero dende'l puntu de vista alxebraicu nun hai nengún problema esplorar toles posibilidaes del productu tensorial. Una plétora d'espacios surde (y d'importancia capital) a cencielles al considerar un espaciu vectorial ''V'' y el so [[espaciu dual|dual]] <math>V^*</math> unu llogra los espacios:
{{ecuación|
<math>V\otimes V\otimes V=V^{3\otimes}</math>
||left}}
<math>\scriptstyle V\otimes V^*={\rm Hom}(V)</math>

<math>\scriptstyle V^*=\Lambda^1(V)\,</math>

<math>\scriptstyle V\wedge V</math>

<math>\scriptstyle \Lambda^k(V)\,</math>

Toos ellos d'usu cotidianu na [[xeometría diferencial]], [[xeometría alxebraica]], [[álxebra conmutativa]], [[relatividá]] y [[cuántica]], [[teoríes de campu]], [[QFT]], [[TQFT]] y otres.

== Tensores y formes ==
Sía <math>V</math> xeneráu polos <math>b_i</math>. Simbolicemos con 
<math>\beta^{\mu}</math> la base de dual <math>\scriptstyle V^*</math>.
Cualquier elementu de <math>\scriptstyle V^*\otimes V^*</math> escribir de la forma <math>\scriptstyle
B_{\mu\nu}\beta^{\mu}\otimes\beta^{\nu}</math>. Esta mesma espresión puede ser vista como un [[Función matemática|mapa]] [[bilineal]] 

::<math>\scriptstyle V\times V
\stackrel{B_{\mu\nu}\beta^{\mu}\otimes\beta^{\nu}
}
\longrightarrow \mathbb{R}</math>

:::<math>\scriptstyle(b_i,b_j)\mapsto B_{\mu\nu}\beta^{\mu}\otimes\beta^{\nu}(b_i,b_j)=B_{ij}</math>
sabiendo que <math>\scriptstyle 

\beta^{\mu}\otimes\beta^{\nu}(b_i,b_j)={\delta^{\mu}}_i{\delta^{\nu}}_j
</math> - kronecker.

Otru de rango dos ye <math>\scriptstyle V\otimes V^*</math>. Los elementos d'equí vense como combinaciones lliniales bi-indexadas <math>\scriptstyle {B^{\mu}}_\nu b_{\mu}\otimes \beta^{\nu}</math>.

==Dellos conceutos desenvueltos (llista incompleta)==
* [[tensor]]
* [[espaciu dual]]
* [[covector]]
* [[xeometría diferencial]]
* [[cálculu tensorial]]
* [[analís vectorial]]
* [[covariante|covariancia y contravariancia]]
* [[tensor métricu]]
* [[derivada covariante]]
* [[conexón]]
* [[tensor de combadura|tensor de combadura de Riemann]]
* [[símbolos de Christoffel]]
* [[productu esterior|álxebra esterior]]
* [[forma diferencial]]
* [[combadura]]
* [[teorema de Stokes]]
* [[Símbolu de Levi-Civita]]
* [[Seición (matemática)]]
* [[Campu vectorial]]
* [[Campu tensorial]]
* [[Pullback]]

== Referencies ==
{{llistaref}}
=== Bibliografía ===
* Robert M. Wald, ''Xeneral Relativity'', Chicago University Press, ISBN 0-226-87033-2. 

{{ORDENAR:Algebra multilineal}}


{{Tradubot|Álgebra multilineal}}

{{control d'autoridaes}}
[[Categoría:Álxebra multilineal]]
[[Categoría:Xeometría diferencial]]